高考數(shù)學試卷（模擬題）

第第頁高考數(shù)學試卷（模擬題）（含答案解析）題號一二三總分得分一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）設集合，，則(

)A. B. C. D.若為實數(shù)，是純虛數(shù)，則復數(shù)為(

)A. B. C. D.若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值是(

)A. B. C. D.設，則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件某幾何體的三視圖如圖所示單位：，則該幾何體的體積單位：是(

)A. B. C. D.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(

)A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度

C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度已知，，則(

)A. B. C. D.如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則(

)A.

B.

C.

D.已知，，若對任意，，則(

)A.， B.， C.， D.，已知數(shù)列滿足，，則(

)A. B. C. D.二、填空題（本大題共7小題，共36.0分）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中，，是三角形的三邊，是三角形的面積．設某三角形的三邊，，，則該三角形的面積______．已知多項式，則______，______．若，，則

，

．已知函數(shù)則______；若當時，，則的最大值是______．現(xiàn)有張卡片，分別寫上數(shù)字，，，，，，從這張卡片中隨機抽取張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則______，______．已知雙曲線的左焦點為，過且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且若，則雙曲線的離心率是______．設點在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是______．三、解答題（本大題共5小題，共74.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分

在中，角，，所對的邊分別為，，已知，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ若，求的面積．本小題分

如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為設，分別為，的中點．

Ⅰ證明：；

Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．本小題分

已知等差數(shù)列的首項，公差記的前項和為

Ⅰ若，求；

Ⅱ若對于每個，存在實數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．本小題分

如圖，已知橢圓設，是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線，分別交直線于，兩點．

Ⅰ求點到橢圓上點的距離的最大值；

Ⅱ求的最小值．本小題分

設函數(shù)．

Ⅰ求的單調區(qū)間；

Ⅱ已知，，曲線上不同的三點，，處的切線都經(jīng)過點證明：

(ⅰ)若，則；

(ⅱ)若，，則．

注：是自然對數(shù)的底數(shù)答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】

本題考查集合的運算，首先求出集合，運用交集的定義即可求解．

【解答】

解：因為，

則．

故選B．

2.【答案】

【解析】【分析】本題考查了復數(shù)的概念，屬于基礎題．

根據(jù)復數(shù)的分類求出實數(shù)，后可得結論．【解答】解：由題意，，

，，

所以．

故選C．

3.【答案】

【解析】解：實數(shù)，滿足約束條件

則不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分，

由已知可得，

由圖可知：當直線過點時，取最大值，

則的最大值是，

故選：．

先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合圖象求解即可．

本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，重點考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬基礎題．

4.【答案】

【解析】解：當時，滿足，但，即充分性不成立，

當時，滿足，但不成立，即必要性不成立，

即“”是“”的既不充分也不必要條件，

故選：．

根據(jù)三角函數(shù)值的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合三角函數(shù)的關系是解決本題的關鍵．

5.【答案】

【解析】解：由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，

所以幾何體的體積為：

故選：．

判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，是中檔題．

6.【答案】

【解析】解：把圖象上所有的點向右平移各單位可得的圖象．

故選：．

由已知結合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解．

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎題．

7.【答案】

【解析】【分析】求出，利用換底公式得，由此能求出結果．

本題考查對數(shù)的運算，考查對數(shù)的性質、運算法則等基礎知識，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，是基礎題．【解答】解：，，

，

．

故選：．

8.【答案】

【解析】解：正三棱柱中，，

正三棱柱的所有棱長相等，設棱長為，

如圖，過作，垂足點為，連接，則，

與所成的角為，且，

又，，

與平面所成的角為，且，

，，

再過點作，垂足點為，連接，

又易知底面，底面，

，又，平面，

二面角的平面角為，且，又，

，，，

又，，，

由得，又，，，在單調遞增，

，

故選：．

根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉化求解即可．

本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉化思想，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：取，則不等式為，顯然，且，

觀察選項可知，只有選項D符合題意．

故選：．

取特值，結合選項直接得出答案．

本題考查絕對值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】【分析】分析可知數(shù)列是單調遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到，由此可推得，再將原式變形確定下限，可得，由此可推得，綜合即可得到答案．

本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調性等知識，對化簡變形能力要求較高，考查運算求解能力，邏輯推理能力，屬于難題．【解答】解：，

為遞減數(shù)列，

又，且，

，

又，則，

，

，

，則，

；

由得，

得，

累加可得，，

，

；

綜上，．

故選：．

11.【答案】

【解析】解：由，

故答案為：．

直接由秦九韶計算可得面積．

本題考查學生的閱讀能力，考查學生計算能力，屬基礎題．

12.【答案】

【解析】解：，

；

令，則，

令，則，

．

故答案為：，．

相當于是用中的一次項系數(shù)乘以展開式中的一次項系數(shù)加上中的常數(shù)項乘以展開式中的二次項系數(shù)之和，分別令，，即可求得的值．

本題考查二項式定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導公式、同角三角函數(shù)關系式、二倍角公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．

由誘導公式求出，再由同角三角函數(shù)關系式推導出，由此能求出的值．【解答】解：，，

，

，

，

，

解得，，

．

故答案為：；．

14.【答案】

【解析】解：函數(shù)，，

；

作出函數(shù)的圖象如圖：

由圖可知，若當時，，則的最大值是．

故答案為：；．

直接由分段函數(shù)解析式求；畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合得答案．

本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應用，考查數(shù)形結合思想，是中檔題．

15.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可得：的取值可為，，，，

又，

，

，

，

，

故答案為：；．

根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義即可求解．

本題考查組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義，屬基礎題．

16.【答案】

【解析】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，

由于且，則點在漸近線上，不妨設，

設直線的傾斜角為，則，則，即，則，

，

又，則，

又，則，則，

點的坐標為，

，即，

．

故答案為：．

過點作軸于點，過點作軸于點，依題意，點在漸近線上，不妨設，根據(jù)題設條件可求得點的坐標為，代入雙曲線方程，化簡可得，的關系，進而得到離心率．

本題考查雙曲線的性質，考查數(shù)形結合思想及運算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】

【解析】解：以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，，，，

設，

則，

，，

，

，

即的取值范圍是，

故答案為：．

以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，求出正八邊形各個頂點坐標，設，進而得到，根據(jù)點的位置可求出的范圍，從而得到的取值范圍．

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質，考查了學生分析問題和轉化問題的能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：Ⅰ因為，所以，且，

由正弦定理可得：，

即有；

Ⅱ因為，

所以，故A，

又因為，所以，

所以；

由正弦定理可得：，

所以，

所以．

【解析】Ⅰ根據(jù)，確定的范圍，再求出，由正弦定理可求得；

Ⅱ根據(jù)，的正、余弦值，求出，再由正弦定理求出，代入面積公式計算即可．

本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎題．

19.【答案】證明：由于，，

平面平面，平面，平面，

所以為二面角的平面角，

則，平面，則．

又，

則是等邊三角形，則，

因為，，，平面，平面，

所以平面，因為平面，所以，

又因為，平面，平面，

所以平面，因為平面，故F；

解：Ⅱ由于平面，如圖建系：

于是，則，

，

設平面的法向量，

則，，令，則，，

平面的法向量，

設與平面所成角為，

則．

【解析】Ⅰ根據(jù)題意證出平面，即可得證；Ⅱ由于平面，如圖建系，求得平面的法向量，代入公式即可求解．

本題考查了線線垂直的證明和線面角的計算，屬于中檔題．

20.【答案】解：Ⅰ因為等差數(shù)列的首項，公差，

因為，可得，即，

，即，

整理可得：，解得，

所以，

即；

Ⅱ因為對于每個，存在實數(shù)，使，，成等比數(shù)列，

則

整理可得：，則，

即或，

整理可得或，

當時，可得或，而，

所以舍，

所以的范圍為；

時，或，而，

所以此時，

當為大于的任何整數(shù)，或，而，

所以舍，恒成立；

綜上所述，時，；

為不等于的正整數(shù)時，的取值范圍為，都存在，使，，成等比數(shù)列．

【解析】Ⅰ由等差數(shù)列的首項及可得關于公差的方程，再由公差的范圍可得的值，再由等差數(shù)列的前項和公式可得的解析式；

Ⅱ由，，成等比數(shù)列，可得關于的二次方程，由判別式大于可得的表達式，分類討論可得的取值范圍．

本題考查等差數(shù)列的性質的應用及等比數(shù)列的性質的應用，恒成立的判斷方法，屬于中檔題．

21.【答案】解：Ⅰ設橢圓上任意一點，則，，

而函數(shù)的對稱軸為，則其最大值為，

，即點到橢圓上點的距離的最大值為；

Ⅱ設直線：，

聯(lián)立直線與橢圓方程有，消去并整理可得，，

由韋達定理可得，，

，

設，，直線：，直線：，

聯(lián)立以及，

可得，

由弦長公式可得，當且僅當時等號成立，

的最小值為．

【解析】Ⅰ設橢圓上任意一點，利用兩點間的距離公式結合二次函數(shù)的性質即可得解；

Ⅱ設直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，進而表示出，再分別聯(lián)立直線，直線與直線，得到，兩點的坐標，由此可表示出，再轉化求解即可．

本題考查直線與橢圓的綜合運用，涉及了兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質求最值，弦長公式等基礎知識點，考查邏輯推理能力，運算求解能力，屬于難題．

22.【答案】解：Ⅰ函數(shù)，

，，

由，得，在上單調遞增；

由，得，在上單調遞減．

Ⅱ證明：設經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象相切時切點坐標為，

則切線方程為：，

，切線的方程為，

，

令，，

曲線上不同的三點，，處的切線都經(jīng)過點，

函數(shù)有三個不同的零點，

，

，，或時，，單調遞增，

時，，單調遞減，從而，，

，且，

由得，由有，

，要證明，

只需證明，即，

令，則，單調遞增，

，，

綜上，若，則；

(ⅱ)證明：由知有三個不同的零點，

設，則化為，

在三個不同的零點，，，且，

，，

，

解得，

要證明結論，只需證明，

即，

把式代入得只需證明，

即，

令，由題意