高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量平面向量的實(shí)際背景及其基本概念 向量

課題：平面向量的概念及表示（一課時(shí)）一、教學(xué)設(shè)計(jì)1.教材內(nèi)容分析《平面向量》是“人教A版”數(shù)學(xué)4的第二章，本節(jié)課包括“章引言”和“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”兩部分．向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題．向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用．因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法，減法，實(shí)數(shù)與向量的積，向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等．之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法．本章共分五大節(jié)．第一節(jié)是“平面向量的實(shí)際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念，向量的幾何表示，相等向量與共線向量．本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用。本節(jié)概念課，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關(guān)概念，而是能讓學(xué)生去體會認(rèn)識與研究數(shù)學(xué)新對象的方法和基本思路，進(jìn)而提高提出問題，解決問題的能力．本節(jié)從物理學(xué)中的位移，力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示，向量的長度，零向量，單位向量，平行向量，共線向量，相等向量等基本概念．根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為教學(xué)重點(diǎn)：向量概念，向量的幾何表示，以及平行向量概念．2．學(xué)生學(xué)情診斷在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量），此外學(xué)生曾學(xué)習(xí)物理中的矢量的概念，線段的平行與共線，還有三角函數(shù)中的有向線段等．在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程，實(shí)數(shù)的絕對值（線段的長度），數(shù)的相等，0和1的特殊性，線段的平行或共線等，這些將為學(xué)生自覺，有序、有效地認(rèn)知向量概念提供“固著點(diǎn)”．根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：教學(xué)難點(diǎn)：理解零向量，單位向量，相等向量，平行向量的含義，讓學(xué)生感受向量，平行或共線向量等概念形成過程.3．教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置本課的教學(xué)，應(yīng)力求使學(xué)生理了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的問題。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)注意從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路，使學(xué)生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務(wù)；微觀上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究特殊向量的關(guān)系。在引導(dǎo)學(xué)生展開對向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，恰如其分地“以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，在質(zhì)疑——反思的過程中深化概念的理解，使概念的理解成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果．4．教學(xué)策略分析具體教學(xué)時(shí)，要設(shè)計(jì)一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例（位移、力、速度等）中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數(shù)的集合認(rèn)識“向量的集合”，類比直線（段）的基本關(guān)系認(rèn)識向量的基本關(guān)系．要使學(xué)生從中體會到認(rèn)識一個數(shù)學(xué)概念的“基本套路”：從具體背景中抽象出共同本質(zhì)特征——定義——表示——定義“相等”（這件事情很重要，但往往不被注意）、“單位元”，“0元”——某些特殊關(guān)系．從而培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)，類比的方法研究向量；獲得研究數(shù)學(xué)新問題的基本思路，學(xué)會概念思維；使學(xué)生自然的，水到渠成的實(shí)現(xiàn)“概念的形成”；讓學(xué)生積極參與到概念本質(zhì)特征的概括活動中，享受寓教于樂的樂趣．教學(xué)流程：情景引入——探究新知——鞏固提升——?dú)w納小結(jié)二、課堂實(shí)錄1.問題情境：情景：在同一時(shí)刻,老鼠由A向東北方向以6m/s的速度逃竄,貓?jiān)贐處向東南方向10m/s的速度追,貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬上得出結(jié)論:追不上,貓的速度再快也沒用,因?yàn)榉较蝈e了．設(shè)計(jì)意圖：向量概念不是憑空產(chǎn)生的。用這一簡單直觀的問題讓學(xué)生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生會產(chǎn)生親切感，有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．2.探究新知：（1）向量的概念問題1你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)．（學(xué)生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學(xué)過的量．）追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例．設(shè)計(jì)意圖：形成區(qū)別不同量的必要性．（學(xué)生所舉的例子有年齡、身高、面積等．）概念抽象需要典型豐富的實(shí)例．讓學(xué)生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領(lǐng)悟，形成對概念的初步認(rèn)識，為進(jìn)一步抽象概括做準(zhǔn)備．教師：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實(shí)中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向．?dāng)?shù)學(xué)中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，就形成一種新的量——向量向量——既有大小又有方向的量數(shù)量——只有大小沒有方向的量思考：判斷下列說法是否正確:=1\*GB3①由于零上溫度可以用正數(shù)來表示,零下溫度可以用負(fù)數(shù)來表示,所以溫度是向量.=2\*GB3②坐標(biāo)平面上的x軸和y軸是向量.設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生熟悉的知識引入，以此更加自然地引入向量概念,并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).（2）向量的表示問題2數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表示它．從向量的定義看，向量是既有大小又有方向的量，那么該怎樣把向量表示出來呢？教師：在物理中，我們用什么方法表示一個豎直向下的4N的力？類比幾何中有向線段及有向線段長度的表示方法，得到向量及向量大小的表示方法=1\*GB3①幾何表示法：常用一條有向線段表示向量(如圖所示).=2\*GB3②符號表示：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段，記作.(注意起終點(diǎn)順序).=3\*GB3③字母表示法：可表示為.(一定要學(xué)生規(guī)范書寫:印刷用黑體,書寫用)=4\*GB3④向量的大小——向量長度（或稱為向量的模）.記作：.思考：=1\*GB3①與相同嗎？與相同嗎？=2\*GB3②若，則一定有嗎？（3）兩個特殊向量問題3在實(shí)數(shù)集中，0和1是兩個特殊的元素，0是正負(fù)分界點(diǎn)，有0就可以定義相反數(shù)，1是單位，作用很大。類比實(shí)數(shù)，在向量中，你認(rèn)為哪些向量比較特殊？（學(xué)生普遍認(rèn)為零向量、單位向量是特殊的．）=1\*GB3①零向量——長度為零的向量，記作.規(guī)定：零向量的方向是任意的。=2\*GB3②單位向量——長度等于1個單位長度的向量．思考：=1\*GB3①單位向量唯一嗎?=2\*GB3②在平面上把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)的集合組成什么圖形？（4）相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的概念問題4觀察圖中的正六邊形ABCDEF．給圖中的任意兩個線段加上箭頭表示向量，并說說你所標(biāo)注的向量之間的關(guān)系．（舉例）設(shè)計(jì)意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習(xí)鞏固，而是讓學(xué)生參與概念的形成過程，使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物．留給學(xué)生足夠的時(shí)間，并提出問題5，組織學(xué)生交流．問題5你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認(rèn)為它們有怎樣的關(guān)系？相等結(jié)論：方向相同：大小不相等相等方向相反：大小不相等方向既不相同也不相反教師：任意兩個非零向量之間的關(guān)系，我們將在本章中逐步學(xué)習(xí)，這節(jié)課我們先學(xué)習(xí)其中的特殊關(guān)系，，那么從方向來看大家認(rèn)為哪些向量的關(guān)系是特殊的？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生由方向相同或相反的向量得出平行向量的定義．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,記作．規(guī)定：與任一向量平行．教師：從大小和方向一起看，又有哪些向量是特殊的？由學(xué)生討論得出結(jié)論：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記作長度相等且方向相反的向量叫做相反向量，記作并得到結(jié)論：只要大小和方向不變，向量和位置無關(guān)，可以在平面內(nèi)任意平移．問題6如果圖中的三個向量的起點(diǎn)平移到同一起點(diǎn)處，那么這三個向量的位置有何特征?結(jié)論：平行向量又叫做共線向量。思考：思考：下列各組向量是否平行？ABCABC①④③②想一想：向量的平行與線段的平行有沒有區(qū)別?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區(qū)分，真正抓住向量的本質(zhì)特征，完成“數(shù)學(xué)化”的過程．3.鞏固提升練習(xí)一：判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由．（1）與非零向量平行的單位向量有無數(shù)個．（2）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共線向量．（3）若，則直線AB與直線CD平行．（4）若，則．練習(xí)二：如圖,D、E、F分別是△ABC各邊上的中點(diǎn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段表示的向量中，請分別寫出：（1）與向量相等的向量有__個,分別是___________；（2）與向量的模一定相等的向量有__個,分別是_________________；（3）與向量方向相反的向量有___個,分別是______________________；設(shè)計(jì)意圖：通過兩組題目，由淺入深，以學(xué)生研究討論得出結(jié)論，能充分調(diào)動大家的積極性．４.歸納小結(jié)（引導(dǎo)學(xué)生完成）老師補(bǔ)充：今天我們學(xué)習(xí)向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量這個集合，發(fā)現(xiàn)了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關(guān)系．同學(xué)們要認(rèn)真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質(zhì)特征——下定義——符號表示——認(rèn)識特殊對象——考察某些特殊關(guān)系．另外，我們用類比數(shù)集的方法初步認(rèn)識了向量的集合．我們知道，引進(jìn)一種新的數(shù)，就要研究關(guān)于它的運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律．今天我們引進(jìn)了一個新的量——向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？設(shè)計(jì)意圖：通過類比“數(shù)及其運(yùn)算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā)，再一次體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路，為本章后面的知識作鋪墊．５.課后作業(yè)習(xí)題第1、2小題。2.在實(shí)際的生活中還有許多離不開方向和大小的實(shí)例，請大家在課后進(jìn)行收集、討論。設(shè)計(jì)意圖：通過作業(yè)，進(jìn)一步內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并弄清知識和方法上的易混點(diǎn)、易錯點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)踐、合作探究能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．三、課后反思在學(xué)生建立向量的概念之初，與數(shù)、形的相關(guān)概念類比與聯(lián)系是值得重視的．在學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)中，與本課內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程，實(shí)數(shù)的絕對值（線段的長度），數(shù)的相等，單位長度，0和1的特殊性，線段的平行與共線等．因此在具體教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了一個能讓學(xué)生開展概括活動的過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征，類比數(shù)的概念獲得向量概念的定義及表示，類比直線的基本關(guān)系認(rèn)識向量的基本關(guān)系．使學(xué)生從中體會到認(rèn)識一個數(shù)學(xué)概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學(xué)習(xí)上．在向量的幾何表示中，我讓學(xué)生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導(dǎo)，學(xué)生補(bǔ)充改進(jìn)，最終明確向量幾何表示的正確方法．整個過程全體同學(xué)熱情參與，自我教育，互幫互學(xué)，課堂氣氛生動活潑．但是本節(jié)課由于時(shí)間關(guān)系，在這堂課中完成了知識結(jié)構(gòu)體系的建構(gòu)后，沒有時(shí)間去對本節(jié)知識點(diǎn)上的易混點(diǎn)、易錯點(diǎn)進(jìn)行深入鞏固，若時(shí)間充裕，可考慮布置一定數(shù)量的練習(xí)讓學(xué)生在解題的過程中加深鞏固本節(jié)課所學(xué)到的知識．四、教學(xué)點(diǎn)評1．起始課應(yīng)把“基本套路”作為核心目標(biāo)本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用．因此，本課的目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)出這一地位。具體有如下三個方面：（1）形成平面向量的概念，特別是要讓學(xué)生體會“向量集形與數(shù)于一身”的特征；（2）讓學(xué)生體會用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的方法研究向量（主要是聯(lián)系數(shù)及其運(yùn)算、直線（段）的平行和共線等）；（3）通過類比“數(shù)及其運(yùn)算”而獲得研究的內(nèi)容與方法的啟發(fā)，再一次體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路（思路）．2．概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動是使概念課生動活潑、優(yōu)質(zhì)高效的關(guān)鍵。這就要求我們一方面充分利用新舊知識蘊(yùn)含的矛盾，激發(fā)認(rèn)知沖突，把學(xué)生卷入其中；另一方面要讓學(xué)生有參與的時(shí)間與機(jī)會，特別是有思維的實(shí)質(zhì)性參與．概念的形成過程充滿矛盾沖突，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與熱情的內(nèi)在條件．比如，考察司空見慣的“量”，有的“只有大小沒有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比較中就產(chǎn)生了區(qū)別的需要，這就是向量概念的生長點(diǎn)．與人出生后要起名字一樣，我們要給新的數(shù)學(xué)對象命名，并且要與它的本質(zhì)相吻合，要區(qū)別于其他概念，“方向”就成了區(qū)別的標(biāo)準(zhǔn)，沒有“方向”的叫數(shù)量，有“方向”的叫向量，概念的產(chǎn)生自然而然．概念抽象需要典型實(shí)例．誰來找例子？教師自作自畫，自己舉例、概括，自己給定義，就可能枯燥乏味．比如，告訴學(xué)生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，學(xué)生被動聽，沒有參與機(jī)會，不僅枯燥乏味，而且會使學(xué)生理解不透．如果讓學(xué)生舉例，要求盡量舉不同的例，就會迫使他們開動腦子，就有可能舉出不同的、有趣的例，就會百花齊放．這樣，生動活潑的場面自然形成，而且在舉例過程中，有獨(dú)立思考、合作交流，甚至有爭辯，這就形成了促進(jìn)概念理解的機(jī)制．讓學(xué)生舉例可以促進(jìn)學(xué)生思維的深度參與，因?yàn)楹美有枰岳斫飧拍畹谋举|(zhì)屬性為基礎(chǔ)．實(shí)際上，概念教學(xué)中的“參與”，其關(guān)鍵是參與從典型實(shí)例中概括概念本質(zhì)特征的活動．事實(shí)上，由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，對任何一個貌似簡單的概念，學(xué)生往往都要費(fèi)很大周折才能理解。許多教師對此不能保持高度警覺，常常認(rèn)為自己容易的學(xué)生也然，沒有意識到自己的“容易”是經(jīng)歷了千辛萬苦、長期積累才得到的。這種心理導(dǎo)致了師生交流的許多障礙，是造成教師不是從學(xué)生的角度出發(fā)，針對學(xué)生的理解困難展開教學(xué)的主要原因。因此，教師要對這種心理保持高度警惕，努力從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，保證學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動，確保學(xué)生有自己想明白的機(jī)會和時(shí)間，這是非常要緊的．3．概念教學(xué)要使學(xué)生自然地、水到渠成地實(shí)現(xiàn)“概念的形成”從課堂教學(xué)的要求看，概念教學(xué)的自然和水到渠成應(yīng)包括兩方面：一是知識的邏輯順序自然；二是學(xué)生心理邏輯的自然，主要是思維過程的自然．“自然的概念教學(xué)過程”是上述兩方面的融合．因此，向量概念的教學(xué)中，我們注意了從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路，使學(xué)生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務(wù)；微觀上，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，有序地給出向量的定義（區(qū)別于“只有大小沒有方向的量”）、討論向量的表示（重點(diǎn)是幾何表示）、定義特殊的向量、研究特殊的關(guān)系（特別是相等向量）．在引導(dǎo)學(xué)生展開對向量及其相關(guān)概念的學(xué)習(xí)過程中，主要強(qiáng)調(diào)了“讓學(xué)生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學(xué)生的思維和活動，恰時(shí)恰點(diǎn)地“以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，在“追問（質(zhì)疑）——反思”的過程中深化概念的理解，使“概念的理解”成為學(xué)生自己主動思維的結(jié)果．4．“創(chuàng)造性地使用教材”的前提是深刻理解教材“平行向量”、“共線向量”等概念，教材是這樣呈現(xiàn)的：先介紹概念，然后以一個例子作為概念的應(yīng)用與鞏固；“相反向量”在向量的減法運(yùn)算中給出．教科書按知識的邏輯順序呈現(xiàn)，無疑是正確的．如果按教材順序組織教學(xué)，一定能順利完成任務(wù)，學(xué)生也會掌握得不錯．但這是“教師告訴，提醒注意，練習(xí)鞏固”的辦法，學(xué)生的主動思維無法調(diào)動．因此我們根據(jù)教材的基本思路，先讓學(xué)生研究問題4，目的是給學(xué)生參與概括概念本質(zhì)特征的機(jī)會，實(shí)實(shí)在在地經(jīng)歷概念的形成過程．觀察過程中，必然要利用向量的定義，要從“方向”和“大小”兩個方面展開思考．于是，平行向量（共線向量）就很容易被概括出來；相等向量、相反向量等概念的產(chǎn)生也比較自然．教師適時(shí)介入，強(qiáng)化本質(zhì)特征、規(guī)范概念表達(dá)，與學(xué)生一起完成概念的定義．值得指出的是，這樣處理教材，自然而然地要求學(xué)生聯(lián)系相關(guān)概念．比如，由圖形呈現(xiàn)的“平行直線段”自然產(chǎn)生了“平行向量”；再增加長度相等、方向相同或相反，就產(chǎn)生了相等向量或相反向量．屬差決定了向量