高中數(shù)學北師大版1第三章變化率與導數(shù)第3章4

第三章§4一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知函數(shù)f(x)＝xex則f′(2)等于()A．3e2 B．2e2C．e2 D．2ln2解析：f′(x)＝(x)′ex＋x(ex)′＝ex＋xex，∴f′(2)＝e2＋2e2＝3e2，故選A.答案：A2．設f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值等于()\f(19,3) B．eq\f(16,3)\f(13,3) D．eq\f(10,3)解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a所以a＝eq\f(10,3).答案：D3．若f(x)＝－2exsinx，則f′(x)等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)解析：y′＝－2(exsinx)′＝－2[(ex)′sinx＋ex(sinx)′]＝－2[exsinx＋excosx]＝－2ex(sinx＋cosx)．答案：D4．已知f(x)＝x2＋2x·2f′(1)，則f′(0)等于A．0 B．－2C．－4 D．－6解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)∴f′(1)＝2＋2f′(1)∴f′(1)＝－2，故得f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．若函數(shù)f(x)＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)的導數(shù)為g(x)，則函數(shù)g(x)的最小值為________．解析：由于f′(x)＝(x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)sinx))′＝x′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx))′＝1－eq\f(1,2)cosx，所以g(x)＝1－eq\f(1,2)cosx，故函數(shù)g(x)的最小值等于eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________．解析：∵f′(x)＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2，∴f′(0)＝3.∴函數(shù)f(x)在點(0,1)處的切線方程為y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋1三、解答題(每小題10分，共20分)7．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(x2,sinx)；(2)y＝eq\f(x＋3,x2＋3)；(3)y＝xsinx－eq\f(2,cosx).解析：(1)y′＝eq\f(x2′sinx－x2sinx′,sin2x)＝eq\f(2xsinx－x2cosx,sin2x)；(2)y′＝eq\f(1·x2＋3－2xx＋3,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32)；(3)y′＝(xsinx)′－(eq\f(2,cosx))′，＝sinx＋xcosx－eq\f(cosx·2′－2cosx′,cos2x)＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).8．設定函數(shù)f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩個根分別為1,4.當a＝3且曲線y＝f(x)過原點時，求f(x)的解析式．解析：由f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，因為f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩個根分別為1,4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋c－9＝0,16a＋8b＋c－36＝0))(*)，當a＝3時，(*)式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c－6＝0,8b＋c＋12＝0))，解得b＝－3，c＝12，又因為曲線y＝f(x)過原點，所以d＝0，故f(x)＝x3－3x2＋12x.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)(1)設f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，求f′(0)；(2)利用導數(shù)求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1，n∈N＋)．解析：(1)令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，則f(x)＝x·g(x)，∴f′(x)＝x′·g(x)＋x·g′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，∴f′(0)＝g(0)＝1×2×3×4×…×n.(2)∵x＋x2＋x3＋…＋xn＝eq\f(x1－xn,1－x)(x≠1且x≠0)．對上式兩邊求導，得：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f