MATLAB與線性代數(shù)課件

MATLAB與線性代數(shù)1矩陣的MATLAB指令

2計算實驗：線性方程組求解3

建模實驗：投入產(chǎn)出分析矩陣的MATLAB表示直接輸入

>>A=[12,3;456;7,89]

按【Enter】鍵，指令被執(zhí)行。在指令執(zhí)行后，MATLAB指令窗中將顯示以下結(jié)果：

A=123456789冒號操作符

>>a=0:1:10>>a=linspace(0,1,10)

用linspace函數(shù)格式：linspace（初值、終值、點數(shù)）

下標操作矩陣下標（按列優(yōu)先排列）用兩個下標來表示。第i行j列的元素用A(i,j)來表示用一個下標來表示。對于矩陣按列操作，可用單下標引用A(i)。在下標的表達式中使用冒號表示矩陣的一部分。下標引用從序號1開始。下標操作A=123456789>>A(4)+A(8)行列刪除>>B=[123;456;789];>>B(2,:)=[]>>B=123789矩陣的尺寸為了判斷矩陣的尺寸，Matlab提供了以下函數(shù)：[m,n]=size(A) %返回矩陣的行數(shù)m和列數(shù)nM=size(A) %在矩陣M中返回矩陣的行數(shù)、列數(shù)

len=length(A) %返回矩陣A行數(shù)和列數(shù)中的最大值

特殊矩陣單位矩陣

eye(n)

%生成n維單位陣

eye(m,n)

%生成m×n的單位陣

eye([m,n])%生成m×n的單位陣

eye(size(A))%生成與A矩陣同樣大小的單位矩陣

oneszeros

特殊矩陣全1矩陣

ones(n)ones(m,n)ones([m,n]) ones(size(A))全零矩陣

zeros(n)zeros(m,n)zeros([m,n]) zeros(size(A))隨機矩陣

rand(n)rand(m,n)rand([m,n])rand(size(A))生成的隨機矩陣的各個元素值在0和1之間。對角陣diag(n)對角陣魔術矩陣

magic(n)魔術矩陣的所有行元素和、列元素和、對角線元素和均相等陣列的運算符號

除了加減符號外其余的陣列運算符號均須多加.符號。陣列運算功能(注意:一定要多加.符號)+加-減.*乘./左除.\右除.^次方.’轉(zhuǎn)置矩陣的幾種基本變換操作（1）

通過在矩陣變量后加’的方法來表示轉(zhuǎn)置運算

>>a=[10,2,12;34,2,4;98,34,6];>>a'

ans=10349822341246（2）

矩陣求逆>>inv(a)ans=-0.01160.0372-0.00150.0176-0.10470.03450.0901-0.0135-0.0045（3）

矩陣的特征值>>[u,v]=eig(a)u=-0.29600.3635-0.3600-0.2925-0.41280.7886-0.9093-0.83520.4985v=48.8395000-19.8451000-10.9943MATLAB下矩陣的運算矩陣的代數(shù)運算轉(zhuǎn)置B=A’加減乘A+BA-BA*B左除A\B即AX=B的解X=A-1B右除A/B即XB=A的解X=AB-1翻轉(zhuǎn)fliplr

flipudrot90乘方A^B點運算A.*BA./BA.\BA.^BA.’函數(shù)方陣的行列式

把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對應的行列式的值的函數(shù)是det(A)。矩陣的秩與跡矩陣的秩

矩陣線性無關的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構成對角陣D，并求A的特征向量構成V的列向量。1知識要點：線性代數(shù)

線性方程組

記為Ax=b3

計算實驗：線性方程組求解矩陣除法(1)當A為方陣，A\B結(jié)果與inv(A)*B一致；(2)當A不是方陣,AX=B存在唯一解,A\B將給出這個解；(3)當A不是方陣,AX=B為不定方程組(即無窮多解)，A\B將給出一個具有最多零元素的特解；(4)當A不是方陣,AX=B若為超定方程組（即無解）,A\B給出最小二乘意義上的近似解，即使得向量AX－B的模達到最小。

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計算實驗：線性方程組求解例1解方程組

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計算實驗：線性方程組求解例2線性方程組通解用rref化為行最簡形以后求解用除法求出一個特解，再用null求得一個齊次組的基礎解系用符號數(shù)學工具箱中的solve求解(第七章)

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計算實驗：線性方程組求解相似對角化及應用

如果n階方陣A有n個線性無關的特征向量，則必存在正交矩陣P,使得P-1AP=,其中是A的特征值構成的對角矩陣，P的列向量是對應的n個正交特征向量。使用MATLAB函數(shù)eig求得的每個特征向量都是單位向量(即模等于1)，并且屬于同一特征值的線性無關特征向量已正交化，所以由此容易進行相似對角化。

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計算實驗：線性方程組求解例3

用相似變換矩陣P將A相似對角化，并求

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建模實驗設有n個經(jīng)濟部門，xi為部門i的總產(chǎn)出，cij為部門j單位產(chǎn)品對部門i產(chǎn)品的消耗，di為外部對部門i的需求，fj為部門j新創(chuàng)造的價值。分配平衡方程組消耗平衡方程組

i=1,2,…,n投入產(chǎn)出分析令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F(xiàn)=(f1,…,fn)’,則

X=CX+D令A=E－C，E為單位矩陣，則

AX=DC稱為直接消耗矩陣A稱為列昂杰夫（Leontief）矩陣。Y=[1,1,…,1]BY表示各部門的總投入，稱為投入向量。新創(chuàng)造價值向量F=X–Y

'B=CB表示各部門間的投入產(chǎn)出關系，稱為投入產(chǎn)出矩陣。

例4某地有三個產(chǎn)業(yè)，一個煤礦，一個發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25元的運輸費;生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費;創(chuàng)收一元錢的運輸費,鐵路要支付0.55元的煤費和0.10元的電費，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對地方鐵路沒有需求。解：這是一個投入產(chǎn)出分析問題。設x1為本周內(nèi)煤礦總產(chǎn)值，x2為電廠總產(chǎn)值,x3為鐵路總產(chǎn)值,則問三個企業(yè)間一周內(nèi)總產(chǎn)值多少才能滿足自身及外界需求？三個企業(yè)間相互支付多少金額？三個企業(yè)各創(chuàng)造多少新價值?直接消耗矩陣C=

外界需求向量D=產(chǎn)出向量X

=

則原方程為(E-C)X=D

投入產(chǎn)出矩陣為

B=C*diag(X)總投入向量