高等代數(shù)選講第六講線性變換的特征值、特征向量

1第三節(jié)線性變換的特征值、特征向量2從本節(jié)開(kāi)始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使V的某個(gè)線性變換在這組基下的矩陣就是一個(gè)對(duì)角矩陣?引入有限維線性空間V中取定一組基后，V的任一線性希望這個(gè)矩陣越簡(jiǎn)單越好，如對(duì)角矩陣.

變換都可以用矩陣來(lái)表示.為了研究線性變換性質(zhì)，3設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，

則稱(chēng)為的一個(gè)特征值（eigenvalue），稱(chēng)為的一、特征值與特征向量

定義若對(duì)于P中的一個(gè)數(shù)存在一個(gè)V的非零向量使得的特征向量（eigenvector）.

屬于特征值4下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過(guò)渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理

設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基相似矩陣有相同的特征值。5（1）

在V中任取一組基寫(xiě)出在這組基下就是的全部特征值.（2）

求A的特征多項(xiàng)式在P上的全部根它們1、求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.6（3）把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量在基并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值如果特征值對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：則下的坐標(biāo).)7就是屬于這個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.8解：A的特征多項(xiàng)式

例1

設(shè)線性變換在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

9把代入齊次方程組得

即

它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

10因此，屬于5的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為把代入齊次方程組得

解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：

而屬于5的全部特征向量為11二、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)1、設(shè)則A的特征多項(xiàng)式由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系還可得

（2）

A的全體特征值的積＝（1）

A的全體特征值的和＝122、相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.證:設(shè)于是，則存在可逆矩陣X，使得13有相同特征多項(xiàng)式的矩陣未必相似.它們的特征多項(xiàng)式都是，但A、B不相似.如

注意設(shè)為A的特征多項(xiàng)式,則3、哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理144、設(shè)為有限維線性空間V的線性變換，是的特征多項(xiàng)式，則15練習(xí)1已知為A的一個(gè)特征值，則1.必有一個(gè)特征值為

;2.必有一個(gè)特征值為

;3.A可逆時(shí)，必有一個(gè)特征值為

;4.A可逆時(shí)，必有一個(gè)特征值為

.5.則必有一個(gè)特征值為

.16行列式＝

.練習(xí)2已知3階方陣A的特征值為：1、－1、2，則矩陣的特征值為：

，17定義1

設(shè)維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存在V的一個(gè)基，使在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣，則稱(chēng)線性變換可對(duì)角化（diagonalization）.矩陣，則稱(chēng)矩陣A可對(duì)角化.定義2

矩陣A是數(shù)域上的一個(gè)級(jí)方陣.如果存在一個(gè)上的級(jí)可逆矩陣，使為對(duì)角三、可對(duì)角化的概念

18下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過(guò)渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理

設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基191、（定理

）設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對(duì)角化

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.2、（定理

）設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān).20例1

設(shè)求非奇異矩陣，使得為對(duì)角陣。21特別地，（推論2）在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，3、（推論1）設(shè)為n

維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對(duì)角化.如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則可如果的特征多項(xiàng)式在數(shù)域

P

中有n個(gè)不同特征值，對(duì)角化.22特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則向量線性無(wú)關(guān).4、（定理

）設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換，

是的不同特征值，而是屬于為的特征子空間.

5、設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換，為全部不同的特征值，則可對(duì)角化23例2

設(shè)求特征值、特征向量和.例3

設(shè)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，并求和相應(yīng)的對(duì)角陣。24例6

設(shè)是n階方陣，E是n階單位陣。證明：若，則E-A可逆。例4

設(shè)均是n階矩陣，證明與有相同的特征值。例7

設(shè)