高中數(shù)學人教A版第一章三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)（區(qū)一等獎）

第1章第2課時1.2.1三角函數(shù)線課前準備溫故知新：復(fù)習單位圓及三角函數(shù)定義，過渡到三角函數(shù)的圖形即幾何表示.學習目標：1.理解三角函數(shù)的幾何表示-----三角函數(shù)線的定義.2.會利用三角函數(shù)線解決一些簡單問題，如解三角不等式，比較三角函數(shù)值的大小等.課前思考：若從圖形角度認識三角函數(shù)，又會有什么收獲呢？課堂學習一、學習引領(lǐng)1．有向線段的定義：帶有方向的線段，即為有向線段.2．三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交于點.圖圖圖圖圖圖圖圖我們分別稱圖中的有向線段MP、OM、AT為角正弦線、余弦線、正切線.3．三角函數(shù)線及有關(guān)注意事項⑴三角函數(shù)線是與單位圓有關(guān)的平行于坐標軸的某些特定的有向線段，用它們的長度和方向來表示三角函數(shù)的值:eq\o\ac(○,1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)的值絕對值;eq\o\ac(○,2)方向表示三角函數(shù)的值的正負.具體說正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點，與軸同向的為正值，反向的為負值；余弦線由原點指向垂足，與軸同向的為正值，與軸反向的為負值；正切線由切點指向與的終邊的交點，與軸同向的為正值，反向的為負值.⑵三角函數(shù)線的定義不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，還給出了角的三角函數(shù)線的畫法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，以“形”說“數(shù)”，也就是在“數(shù)”的角度認識任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，又從圖形角度幫助認識任意角的三角函數(shù)，即用有向線段來表示三角函數(shù)的值，這也是三角函數(shù)與其它基本初等函數(shù)不同的地方.特別特別提醒：⑴當角的終邊與軸重合時，正弦線、正切線變成一個點，此時角的余弦值為1或-1，正弦值和正切值都為0；當角的終邊與軸重合時，余弦線變成一個點，正切線不存在，此時角的正弦值為-1或1，余弦值為0，正切值不存在.⑵在用字母表示三角函數(shù)線時注意方向，分清始點與終點，書寫時不能顛倒順序.二、合作探究例1．利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?）與（2）tan與tanAoT2TAoT2T1P2P1M2M1S的終邊、，由三角函數(shù)的正弦線的定義知，，,因為，所以則有同理，可得、的正切線分別為、，因為二者的方向與y軸正方向相反，所以二者表示負數(shù)，所以長度長的反而小，即有，即tantan.點評：這是三角函數(shù)線的應(yīng)用之一，比較三角函數(shù)值的大小.要利用三角函數(shù)線，關(guān)鍵需要把單位圓和對應(yīng)角的終邊畫出來，找二者的交點，再根據(jù)三角函數(shù)線的定義畫出相應(yīng)需要的三角函數(shù)線，初學者，容易忽視三角函數(shù)線的始點和終點，這一點務(wù)必請同學們重視，三角函數(shù)線的起點均在x軸上，再具體搞清具體哪個三角函數(shù)線具體的起點特征是什么?。ㄟ@一點可以參看學習引領(lǐng)中相關(guān)總結(jié)）例2．利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角x的集合.（1），（2）.解析：（1）如圖，過點（0，）作軸的平行線交單位圓于兩點，知：當時，角x滿足的集合為：；（2）由圖知：當時，角x滿足的集合為：.點評：1.解三角函數(shù)不等式常有兩種思路：一是利用單位圓及三角函數(shù)線；二是借助三角函數(shù)的圖象，其實利用好三角函數(shù)的意義--三角函數(shù)線，數(shù)形結(jié)合解決此類問題非常簡便！2.用三角函數(shù)線解三角函數(shù)不等式時，要注意以下幾點：①綜合考慮三角函數(shù)線中有向線段的長度與方向所對應(yīng)的三角函數(shù)值的大小和正負；②“臨界”位置的確定；③解集區(qū)間的開閉；④對于求本題中（2）小題要注意正切函數(shù)的定義域，并注意集合寫成最簡形式.例3在內(nèi)，使成立的的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）解：在單位圓中，作出正弦線及余弦線如圖，觀察圖象，得，選三、課堂練習1．若角的余弦線長為0，則它的正弦線的長度為（）.A．1B．0C．D．2．角（0＜＜2π）的正弦線與余弦線的長度相等且符號相同，則的值為().A．B．或C．D．或3．設(shè)和分別是角的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：①；②；③；④，其中正確的是________.4．函數(shù)y＝的定義域是.5．若且，求滿足條件的的集合.四、課后作業(yè)1．已知，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2．已知sin＞sin，那么下列命題成立的是（）A.若、是第一象限角，則cos＞cosB.若、是第二象限角，則tan＞tanC.若、是第三象限角，則cos＞cosD.若、是第四象限角，則tan＞tan3．若eq\f(π,4)<<eq\f(π,2)，則下列不等式中成立的是（）A．sin>cos>tanB．cos>tan>sinC．tan>sin>cosD．sin>tan>cos4．寫出滿足下列條件的角的集合：（1）；（2）≤-.5．已知：為銳角，證明sin＋cos>1.學后反思自我總結(jié)知識歸納方法總結(jié)錯誤總結(jié)附詳細解答三、課堂練習1．C解析：角的余弦線長為0，則正弦線長為1，則sin=±1．2．D解析：角（0＜＜2π）的正弦線與余弦線的長度相等且符號相同，則角的終邊在直線y=x上，在0～2π內(nèi)只有或π.3．=2\*GB3②解析：.4．(解析：要使函數(shù)有意義，即0＜tan1,畫出正切線，數(shù)形結(jié)合可得之.5．分析：運用單位圓、三角函數(shù)線求解．解：在軸的正方向上取，過N作x軸的平行線交單位圓于P1，P2兩點，過P1，P2分別作P1M1⊥x軸，P2M2⊥x軸，垂足分別為，顯然，在內(nèi)，適合,同理找出適合cos,求交集得．四、課后作業(yè)1．B解析：畫出單位圓，作直線y=，數(shù)形結(jié)合可得之．2．D解析：作出單位圓中的三角函數(shù)線，數(shù)形結(jié)合可判斷之，A選項中，若、是第一象限角，且sin＞sin，可得角的余弦線長度小于角的余弦線長度，且二者方向均與x軸正向相同，所以應(yīng)有cos<cos，所以A錯；同理，可判斷B,C論斷錯誤，D選項正確．3．C解析：在單位圓上，作（eq\f(π,4)，eq\f(π,2)）范圍內(nèi)的角的終邊，分別畫出正弦線，余弦線，正切線比較長度可得．4．分析：先作出滿足，的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角