高中數(shù)學蘇教版3第二章概率 校賽得獎

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．設(shè)隨機變量X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于________.【導學號：29440055】【解析】∵X～B(40，p)，E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)2．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，則E(X)＝________.【解析】∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴6＝4E(X)－2，∴E(X)＝2.【答案】23．某一隨機變量X的概率分布如下表．X0123Pmn且E(X)＝，則m－eq\f(n,2)的值為________．【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝，,m＋2n＋＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝，,n＝，))∴m－eq\f(n,2)＝－＝.【答案】4．甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準的零件，X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考察，X，Y的分布列分別是：X0123PY0123P0據(jù)此判定________車床生產(chǎn)的質(zhì)量好．【解析】E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.顯然E(X)＜E(Y)，由數(shù)學期望的意義知，甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量好．【答案】甲5．口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的期望為________．【解析】X＝2,3，P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)6．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的期望E(X)＝________.【導學號：29440056】【解析】由題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，∴E(X)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)7．設(shè)10件產(chǎn)品中含有3件次品，從中抽取2件檢查，則查得次品數(shù)X的數(shù)學期望為________．【解析】由題意可知，次品數(shù)X服從超幾何分布，其中n＝2，M＝3，N＝10，∴E(X)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)8．如圖2-5-2，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于________．圖2-5-2【解析】125個小正方體中8個三面涂漆，36個兩面涂漆，54個一面涂漆，27個沒有涂漆，∴從中隨機取一個正方體，涂漆面數(shù)X的均值E(X)＝eq\f(54,125)×1＋eq\f(36,125)×2＋eq\f(8,125)×3＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)二、解答題9．某俱樂部共有客戶3000人，若俱樂部準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領(lǐng)?。僭O(shè)任一客戶去領(lǐng)獎的概率為4%.問俱樂部能否向每一位客戶都發(fā)出領(lǐng)獎邀請？【解】設(shè)來領(lǐng)獎的人數(shù)ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3000)k(1－3000－k，則ξ～B(3000,，那么E(ξ)＝3000×＝120(人)>100(人)．∴俱樂部不能向每一位客戶都發(fā)送領(lǐng)獎邀請．10．(2023·重慶高考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個．(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．【解】(1)令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(個)．能力提升]1．設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件次品，從中抽取150件進行檢查，由于產(chǎn)品數(shù)量較大，每次檢查的次品率看作不變，則檢查得次品數(shù)X的數(shù)學期望為________．【解析】次品率為p＝eq\f(1000,15000)＝eq\f(1,15)，由于產(chǎn)品數(shù)量特別大，次品數(shù)服從二項分布．由公式，得E(X)＝np＝150×eq\f(1,15)＝10.【答案】102．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)＞，則p的取值范圍是________．【解析】X的所有可能取值為1,2,3.P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝1－p(1－p)－p＝1－2p＋p2，∴E(X)＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－2p＋p2)＝3－3p＋p2.由E(X)＞，得3－3p＋p2＞，解得p＜eq\f(1,2)或p＞eq\f(5,2)(舍去)，∴p的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________.【解析】∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2).隨機變量X的可能值為0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).【答案】eq\f(5,3)4．(2023·山東高考)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望E(X)．【解】(1)個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，隨機變量X的取值為：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq