高中數(shù)學(xué)人教A版第一章解三角形學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)3

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（三）(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．為了測(cè)量B，C之間的距離，在河岸A，C處測(cè)量，如圖1-2-9，測(cè)得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是()圖1-2-9A．c與αB．c與bC．b，c與βD．b，α與γ【解析】因?yàn)闇y(cè)量者在A，C處測(cè)量，所以較合理的應(yīng)該是b，α與γ.【答案】D2．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開(kāi)海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile【解析】到14時(shí)，輪船A和輪船B分別走了50nmile，30nmile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70(nmile)．【答案】B3．如圖1-2-10，要測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(eq\r(3)＋1)，則A，B間距離是()圖1-2-10A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．20eq\r(6)米 D．40eq\r(2)米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(米)．【答案】C4．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D．60m【解析】如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】C5．如圖1-2-11所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()圖1-2-11A．15eq\r(6)m B．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D．30eq\r(6)m【解析】設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)， ①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h). ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.【答案】D二、填空題6．有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)千米．【解析】如圖，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．【答案】eq\r(2)7．如圖1-2-12，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度是m.圖1-2-12【解析】tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.【答案】608．一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖1-2-13所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)dm的C處截住足球.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05920231】圖1-2-13【解析】設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，設(shè)BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴該機(jī)器人最快可在線段AD上距A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球．【答案】7三、解答題9．A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)，如圖1-2-14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2km，C，D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A，B兩景點(diǎn)的距離．圖1-2-14【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝2.答：A，B兩景點(diǎn)的距離為2km.10．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，求兩條船之間的距離．【解】如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.[能力提升]1．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為()A．d1>d2 B．d1＝d2C．d1<d2 D．不能確定大小【解析】如圖，B，C，D分別是第一、二、三輛車所在的位置，由題意可知α＝β.在△PBC中，eq\f(d1,sinα)＝eq\f(PB,sin∠PCB)，在△PCD中，eq\f(d2,sinβ)＝eq\f(PD,sin∠PCD)，∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(PB,PD).∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】C2．如圖1-2-15，在湖面上高為10m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30°，測(cè)得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到m,eq\r(3)＝()圖1-2-15A．2.7m B．17.3mC．37.3m D．373m【解析】在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)(m)．在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)(m)，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈(m)．【答案】C3.如圖1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC.小明在山腳B處看索道AC，此時(shí)視角∠ABC＝120°；從B處攀登200米到達(dá)D處，回頭看索道AC，此時(shí)視角∠ADC＝150°；從D處再攀登300米到達(dá)C處．則石竹山這條索道AC長(zhǎng)為米．圖1-2-16【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因?yàn)椤螦DB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°).所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)(米)．故石竹山這條索道AC長(zhǎng)為100eq\r(39)米．【答案】100eq\r(39)4．2023年10月，在鄒平縣啟動(dòng)了山東省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測(cè)量試點(diǎn)工作，用上了無(wú)人機(jī)．為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，無(wú)人機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖1-2-17)，無(wú)人機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟．圖1-2-17【解】方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d.②第一步：計(jì)算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；第二步：計(jì)算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：計(jì)算MN.由余弦定理MN＝