自動(dòng)控制原理第七章

非線性系統(tǒng)的分析第7章7.1非線性微分方程的線性化7.2典型非線性特性及其對(duì)系7.3統(tǒng)性能的影響7.4描述函數(shù)法7.5用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)本章小結(jié)7.1非線性微分方程的線性化

對(duì)于非線性系統(tǒng)可以建立對(duì)應(yīng)的非線性微分方程。然而由于非線性特性類型不同，非線性微分方程的解析異常困難，對(duì)其是沒有通用的解析方法的。在理論研究時(shí)總是盡可能地將非線性問題在合理的情況下進(jìn)行線性化處理。“小偏差法”是常用的線性化方法之一?！靶∑罘ā笔且蕴├占?jí)數(shù)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的，然后得到變量對(duì)平衡點(diǎn)的線性增量方程。“小偏差法”的適用條件：系統(tǒng)正常工作時(shí)有一個(gè)平衡工作點(diǎn)(X0,Y0)，且在(X0,Y0)附近小范圍變化；非線性函數(shù)在平衡點(diǎn)(X0,Y0)處各階導(dǎo)數(shù)存在（從圖上反映為，必須是一個(gè)光滑的曲線）。對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性，則不能進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，因而不能使用“小偏差法”，只能作為非線性問題來處理。如繼電器特性、間歇特性等。小偏差法假設(shè)線圈處于平衡工作點(diǎn)，端電壓為U0，電流為i0，則

(1)鐵芯線圈的電流與磁鏈的關(guān)系為非線性，線圈的微分方程為(2)在平衡點(diǎn)i0附近區(qū)域內(nèi)的磁鏈ψ可用泰勒級(jí)數(shù)展開，即(3)忽略掉高階無窮小項(xiàng)及余項(xiàng)，得到近似式用增量的形式表示(4)將原方程中的輸入電壓、磁鏈、電流均用平衡點(diǎn)附近的增量形式表示，則有(5)在實(shí)際使用中，常常略去增量符號(hào)寫成以下最終形式：

鐵芯線圈的線性化微分方程注意Ur、I都是在平衡點(diǎn)的微小增量，L是平衡點(diǎn)處線圈的電感值。小偏差法線性化的例子7.1非線性微分方程的線性化7.2典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)的影響7.2.1典型非線性特性也稱死區(qū)，當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近的某一小范圍之內(nèi)時(shí)，沒有相應(yīng)的輸出信號(hào)；只有當(dāng)輸入信號(hào)大于此范圍時(shí)，才有輸出信號(hào)。含有死區(qū)特性元件的系統(tǒng)，可以提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但增加了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)跟蹤精度的降低。不靈敏區(qū)特性不靈敏區(qū)的特性曲線不靈敏特性的等效增益曲線7.2典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)的影響當(dāng)輸入信號(hào)超過某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值。含有飽和特性元件的系統(tǒng)在大信號(hào)作用下將使系統(tǒng)開環(huán)增益有所減小，一定程度上提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，然而卻降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。飽和特性飽和特性曲線飽和特性的等效增益曲線7.2典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)的影響也稱回環(huán)，機(jī)械傳動(dòng)中為保證齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)靈活不卡齒，主動(dòng)輪、從動(dòng)輪齒輪之間必須有適當(dāng)?shù)拈g隙存在，使得兩者不能同步運(yùn)轉(zhuǎn)，即從動(dòng)輪滯后主動(dòng)輪。含有間隙特性的系統(tǒng)，其輸出相位滯后于輸入相位，從而減小了系統(tǒng)的相穩(wěn)定裕度，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞，同時(shí)增大了系統(tǒng)的穩(wěn)差。間隙特性齒輪間隙間隙特性的等效增益曲線7.2典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)的影響繼電器線圈上的電壓大于某個(gè)數(shù)值時(shí)，觸點(diǎn)吸合；線圈上的電壓小于某個(gè)數(shù)值時(shí)，觸點(diǎn)釋放；其吸合、釋放的電壓可能不同，因而繼電特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性。利用繼電特性可以使被控制的執(zhí)行電動(dòng)機(jī)工作在額定或最大電壓下，從而充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)能力，實(shí)現(xiàn)快速跟蹤。帶死區(qū)、飽和的繼電特性會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但可以提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。繼電器特性繼電器特性曲線（a）理想繼電特性（b）具有死區(qū)、飽和的繼電特性（c）具有回環(huán)的繼電特性（d）具有死區(qū)、回環(huán)的繼電特性7.2典型非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)的影響7.2.2非線性系統(tǒng)特性

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和元件特性有關(guān)，而且與系統(tǒng)初始條件也有關(guān)。因而對(duì)非線性系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地講系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

非線性系統(tǒng)中，除了發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動(dòng)形式外，還會(huì)發(fā)生自激振蕩，即無外界作用時(shí)系統(tǒng)自身產(chǎn)生的具有一定振幅和頻率的振蕩。有時(shí)同一系統(tǒng)還可能產(chǎn)生不止一種振幅和頻率的自激振蕩。

非線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)為正弦函數(shù)，其穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)通常是包含高次諧波的非正弦周期函數(shù)，且周期與輸入信號(hào)相同。

對(duì)于非線性系統(tǒng)是沒有一種通用的方法來處理的，且不能用線性微分方程來描述，在研究時(shí)也不一定要對(duì)暫態(tài)過程進(jìn)行求解，而常將討論的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定？會(huì)不會(huì)產(chǎn)生自激振蕩及如會(huì)產(chǎn)生，其振幅和頻率為多少?如何消除自激振蕩等。12347.3.1非線性元件的描述函數(shù)7.3描述函數(shù)法因?yàn)楸静糠钟懻摰牡湫头蔷€性特性都是奇對(duì)稱的，所以，則輸出的基波分量為

將y（t）用傅氏級(jí)數(shù)表示，那么將設(shè)式中式中稱為非線性元件的描述函數(shù)，它表示當(dāng)非線性元件的輸入信號(hào)為正弦函數(shù)時(shí)，輸出信號(hào)的基波分量與輸入信號(hào)在幅值和相位上的相互關(guān)系，類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性。N（A）表示非線性元件，G（s）表示線性元件。7.3描述函數(shù)法7.3.2非線性特性的描述函數(shù)非線性特性

描述函數(shù)7.3描述函數(shù)法非線性特性

描述函數(shù)7.4用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)7.4.1非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析7.4用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)7.4.2非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的簡化

若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可將兩個(gè)環(huán)節(jié)的特性歸化為一個(gè)特性，即以第一個(gè)非線性環(huán)節(jié)的輸入和第二個(gè)非線性環(huán)節(jié)的輸出分別作為歸化后非線性特性的輸入和輸出，從而作出等效非線性特性。注意，若兩個(gè)非線性特性的描述函數(shù)分別為和，等效非線性的描述函數(shù)為絕不等于和的乘積，并且串聯(lián)非線性環(huán)節(jié)的次序不可交換。對(duì)于多個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，其處理方法可以按照串聯(lián)的次序，先歸化前兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)，等效后的非線性特性再與第三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行歸化變換。非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)

若兩個(gè)并聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)其描述函數(shù)分別為和，則并聯(lián)后的等效非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)

系統(tǒng)的線性部分與前面所講的現(xiàn)性系統(tǒng)的等效變換一樣，簡化的原則是信號(hào)的等效變換，但對(duì)于非線性的處理要遵循1、2的處理原則。結(jié)構(gòu)圖的等效變換7.4用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)7.4.3利用非線性特性改善控制系統(tǒng)的性能

某系統(tǒng)的控制特性如a)中曲線①所示，是二階振蕩曲線。通過線性校正(添加局部反饋環(huán))得到了曲線②，可見超調(diào)量沒有了，系統(tǒng)也不振蕩了，但快速性是上述幾條中最差的。在系統(tǒng)中加入非線性環(huán)節(jié)，使得系統(tǒng)的響應(yīng)曲線變?yōu)棰?，在響?yīng)起始階段具有很好的快速性，在快要達(dá)到控制目標(biāo)時(shí)通過死區(qū)特性的作用使穩(wěn)定性得以保證。

這樣我們可以用一些極為簡便的非線性裝置，便能使系統(tǒng)的性能得到較大地改善，成功地解決系統(tǒng)快速性能和振蕩性能之間的矛盾。7.4用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)7.4.4綜合舉例

圖示控制系統(tǒng)方框圖中含有一個(gè)繼電特性的非線性元件，其參數(shù)是試完成以下要求：（1）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）若不使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩，該繼電特性應(yīng)如何調(diào)整。解：1．將繼電特性的參數(shù)代入相應(yīng)公式得到：根據(jù)

，求得的極值為7.4用描述函數(shù)法分析非線性控制系統(tǒng)2．調(diào)整繼電特性使系統(tǒng)不產(chǎn)生自激振蕩的極值點(diǎn)（該點(diǎn)處有）應(yīng)小于與實(shí)軸的交點(diǎn)，即(其中

，有→。)所以如果取2，則，，顯然與曲線不相交，系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生自激振蕩?？梢援嫵?、的曲線如右圖。可見曲線與曲線相交，說明系統(tǒng)存在自激振蕩，其振幅可由下式求得：

第7章小結(jié)任何物理系統(tǒng)在某種程度上都存在一定的非線性。對(duì)于非線性系統(tǒng)或元件的微分方程則采用“小偏差法”，該方法用于系統(tǒng)平衡工作點(diǎn)附近的因非線性引起的較小偏差較準(zhǔn)確，對(duì)于較嚴(yán)重的非線性情況，該方法不適用。當(dāng)系統(tǒng)的非線性程度較嚴(yán)重時(shí)，必須對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行專門的研究和處理。在實(shí)際控制系統(tǒng)中最常見典型非線性特性有：死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、繼電器特性等?？?/p>