高中數(shù)學人教A版第三章不等式 模塊綜合評價(一)

模塊綜合評價(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若a＞b，則下列正確的是()A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c＞bcC．a(chǎn)c2＞bc2 D．a(chǎn)－c＞b－c解析：A選項不正確，因為若a＝0，b＝－1，則不成立；B選項不正確，c≤0時不成立；C選項不正確，c＝0時不成立；D選項正確，因為不等式的兩邊加上或者減去同一個數(shù)，不等號的方向不變．答案：D2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．30°解析：因為A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2).因為a＞b，所以A＞B，所以B＝45°.答案：C3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，若an＝2017，則n＝()A．667B．668C．669D．673解析：因為an＋1＝an＋3，所以an＋1－an＝3，所以{an}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.因為an＝2017，所以n＝673.答案：D4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,x＋1)))＞0))，則M∩N＝()A．{x|x＜－2} B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＜－2或x＞3} D．{x|x＞3}解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．又eq\f(3－x,x＋1)＞0，得－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}；所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．答案：B5．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1·a9＝16，則a2·a5·a8的值為()A．16B．32C．48D．64解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a1·a9＝aeq\o\al(2,5)＝16.因為an＞0，所以a5＝4，所以a2·a5·a8＝aeq\o\al(3,5)＝64，故選D.答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若acosB＝bcosA，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：因為eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以acosB＝bcosA變形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0.又A和B都為三角形的內(nèi)角，所以A－B＝0，即A＝B，則△ABC為等腰三角形．答案：A7．若實數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤3，,x＋y≥1，))則S＝2x＋y－1的最大值為()A．8B．4C．3D．2解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，由圖可知，當目標函數(shù)過圖中點(2，3)時取得最大值6.答案：A8．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，S8＝32，則S10等于()A．18B．24C．60D．90解析：因為a4是a3與a7的等比中項，所以aeq\o\al(2,4)＝a3a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①又因為S8＝8a1＋eq\f(56,2)d＝32，整理得2a1＋7d＝8.由①②聯(lián)立，解得d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋eq\f(90,2)d＝60，故選C.答案：C9．設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＝3，且對任意的n∈N*，點Pn(n，an)都有PnPn＋1＝(1，2)，則{an}的前n項和SnA．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))) B．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,4)))C．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(2,3))) D．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))解析：因為PnPn＋1＝(1，2)，(1，an＋1－an)＝(1，2)，an＋1－an＝2，公差為d＝2.所以a1＋2(a1＋2)＝3，3a1＋1＝0，a1＝－eq\f(1,3)，所以Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(n（n－1）,2)·2所以Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))).答案：A10．已知{an}為等差數(shù)列，a1＝15，S5＝55，則過點P(3，a2)，Q(4，a4)的直線的斜率為()A．4\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)解析：S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝55，所以d＝－2.所以a2＝15－2＝13，a4＝13－6＝9，所以P(3，13)，Q(4，9)，所以KPQ＝eq\f(9－13,4－3)＝－4.答案：C11．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()\f(24,5)\f(28,5)C．5D．6解析：因為x＋3y＝5xy，所以eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1.所以3x＋4y＝(3x＋4y)·1＝(3x＋4y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(3x,5y)＋eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，當且僅當eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)時等號成立．答案：C12．已知向量a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為()A．[－2，2] B．[－2，3]C．[－3，2] D．[－3，3]解析：因為a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，所以a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的區(qū)域為圖中陰影部分，所以當2x＋3y－z＝0過點B(0，－1)時，zmin＝－3，當2x＋3y－z＝0過點A(0，1)時，zmax＝3.所以z∈[－3，3]．答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A＝eq\f(2,3)，則sinA＋cosA＝________．解析：由sin2A＝2sinAcosA＞0，可知A是銳角，所以sinA＋cosA＞0，又(sinA＋cosA)2＝1＋sin2A＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).答案：eq\f(\r(15),3)14．已知a＜b∈R，且ab＝50，則|a＋2b|的最小值為________．解析：因為ab＝50＞0，所以a與b同號，若二者均為正數(shù)，則|a＋2b|≥2eq\r(2ab)＝20，只有a＝2b時等式成立，所以a＝10，b＝5(不合題意，舍去)．若二者均為負數(shù)，則－a＞0，－b＞0，|a＋2b|＝－(a＋2b)≥2eq\r(2ab)＝20，只有a＝2b時等式成立，所以a＝－10，b＝－5符合題意．所以最小值為20.答案：2015．已知點A(4，1)，B(7，5)，C(0，4)，則△ABC中的∠BAC的大小是________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，3)，因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×(－4)＋4×3＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠BAC＝90°.答案：90°16．在△ABC中，A、B、C是三角形的三內(nèi)角，a、b、c是三內(nèi)角對應的三邊，已知b2＋c2－a2＝bc，sin2A＋sin2B＝sin2C，則角解析：由b2＋c2－a2＝bc?cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，所以A＝60°.再由sin2A＋sin2B＝sin2C?a2＋b2＝c2，所以C所以B＝30°.答案：30°三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的公差d不為零，首項a1＝2且前n項和為Sn.(1)當S9＝36時，在數(shù)列{an}中找一項am(m∈N*)，使得a3，a9，am成為等比數(shù)列，求m的值；(2)當a3＝6時，若自然數(shù)n1，n2，…，nk，…滿足3＜n1＜n2＜…nk＜…，并且a1，a3，an1，…，ank，…是等比數(shù)列，求nk.解：(1)數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝2，S9＝36，所以36＝9×2＋eq\f(1,2)×9×8d，所以d＝eq\f(1,2)，所以a3＝3，a9＝6.由a3，a9，am成等比數(shù)列，則aeq\o\al(2,9)＝a3·am，得am＝12，又12＝2＋(m－1)·eq\f(1,2)，所以m＝21.(2)因為{an}是等差數(shù)列，a1＝2，a3＝6，所以an＝2n.又a1，a3，an1成等比數(shù)列，所以公比q＝3.所以ank＝a1·qk＋1＝2·3k＋1.又ank是等差數(shù)列中的項，所以ank＝2nk，所以2nk＝2·3k＋1，所以nk＝3k＋1(k∈N*)．18．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2，2＋d，2＋4d成等比數(shù)列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化簡得：d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.當d＝0時，an＝2；當d＝4時，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，從而得數(shù)列{an}的通項公式為an＝2或an＝4a(2)當an＝2時，Sn＝2n.顯然2n＜60n＋800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立．當an＝4n－2時，Sn＝eq\f(n[2＋（4n－2）],2)＝2n2.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值為41.綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的n；當an＝4n－2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.19．(本小題滿分12分)小王在年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為25－x萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)．(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出？(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大(利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出)?解：(1)設大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元，則y＝25x－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6x＋\f(x（x－1）,2)·2))－50，(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50，(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－5eq\r(2)＜x＜10＋5eq\r(2)，而2＜10－5eq\r(2)＜3，故從第3年開始運輸累計收入超過總支出．(2)因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出．所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,x)[y＋(25－x)]＝eq\f(1,x)(－x2＋19x－25)＝19－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而19－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤19－2eq\r(x·\f(25,x))＝9，當且僅當x＝5時取得等號．即小王應當在第5年年底將大貨車出售，才能使年平均利潤最大．20．(本小題滿分12分)實系數(shù)一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有兩個根，一個根在區(qū)間(0，1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求：(1)點(a，b)對應的區(qū)域的面積；(2)eq\f(b－2,a－1)的取值范圍；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．解：方程x2＋ax＋2b＝0的兩根區(qū)間(0，1)和(1，2)上的幾何意義分別是：函數(shù)y＝f(x)＝x2＋ax＋2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0，1)和(1，2)內(nèi)，由此可得不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＞0，,f（1）＜0，,f（2）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＞0，,a＋2b＋1＜0，,a＋b＋2＞0.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,a＋b＋2＝0，))解得A(－3，1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2＝0，,b＝0，))解得B(－2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,b＝0，))解得C(－1，0)，所以在下圖所示的aOb坐標平面內(nèi)，滿足約束條件的點(a，b)對應的平面區(qū)域為△ABC(不包括邊界)．(1)△ABC的面積為S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·h＝eq\f(1,2)(h為A到Oa軸的距離)．(2)eq\f(b－2,a－1)的幾何意義是點(a，b)和點D(1，2)連線的斜率．因為kAD＝eq\f(2－1,1＋3)＝eq\f(1,4)，kCD＝eq\f(2－0,1＋1)＝1，由圖可知kAD＜eq\f(b－2,a－1)＜kCD，所以eq\f(1,4)＜eq\f(b－2,a－1)＜1，即eq\f(b－2,a－1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(3)因為(a－1)2＋(b－2)2表示區(qū)域內(nèi)的點(a，b)與定點(1，2)之間距離的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．21．(本小題滿分12分)已知eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差數(shù)列．又數(shù)列{an}(an＞0)中，a1＝3，此數(shù)列的前n項的和Sn(n∈N*)對所有大于1的正整數(shù)n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求數(shù)列{an}的第n＋1項；(2)若eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn.解：因為eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差數(shù)列，所以eq\f(\r(f（x）),2)×2＝eq\r(x)＋eq\r(3).所以f(x)＝(eq\r(x)＋eq\r(3))2.因為Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝f(Sn－1)＝(eq\r(Sn－1)＋eq\r(3))2.所以eq\r(Sn)＝eq\r(Sn－1)＋eq\r(3)，eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\r(3).所以{eq\r(Sn)}是以eq\r(3)為公差的等差數(shù)列．因為a1＝3，所以S1＝a1＝3.所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)eq\r(3)＝eq\r(3)＋eq\r(3n)－eq\r(3)＝eq\r(3)n.所以Sn＝3n2(n∈N*)．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.(2)因為數(shù)列eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中項，所以(eq\r(bn))2＝eq\f(1,an＋1)·eq\f(1,an)，所以bn＝eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,3（2n＋1）·3（2n－1）)＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,18)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,9（2n＋1）).22．(本小題滿分12分)規(guī)定：max(a，b，c)與min(a，b，c)分別表示a，b，c中的最大數(shù)與最小數(shù)，若正系數(shù)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋