高中數(shù)學(xué)北師大版4第二章參數(shù)方程 市一等獎(jiǎng)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(π,6)))的位置，可按如下規(guī)則確定()A.作射線OP，使∠x(chóng)OP＝eq\f(π,6)，再在射線OP上取點(diǎn)M，使|OM|＝2B.作射線OP，使∠x(chóng)OP＝eq\f(7π,6)，再在射線OP上取點(diǎn)M，使|OM|＝2C.作射線OP，使∠x(chóng)OP＝eq\f(7π,6)，再在射線OP的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M，使|OM|＝2D.作射線OP，使∠x(chóng)OP＝－eq\f(π,6)，再在射線OP上取點(diǎn)M，使|OM|＝2【解析】當(dāng)ρ＜0時(shí)，點(diǎn)M(ρ，θ)的位置按下列規(guī)定確定：作射線OP，使∠x(chóng)OP＝θ，在OP的反向延長(zhǎng)線上取|OM|＝|ρ|，則點(diǎn)M就是坐標(biāo)(ρ，θ)的點(diǎn)，故選B.【答案】B2.若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點(diǎn)M1(ρ1，θ1)與點(diǎn)M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是()A.關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D.關(guān)于過(guò)極點(diǎn)與極軸成eq\f(π,4)角的直線對(duì)稱【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(－ρ，π－θ)，由此可知點(diǎn)(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱，故選A.【答案】A3.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(2,3)π))，若P的極角滿足－π<θ<π，ρ∈R，則下列點(diǎn)中與點(diǎn)P重合的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(8,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(4,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，\f(5,3)π))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，－\f(4,3)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(π,3)))【解析】因?yàn)椋?lt;θ<π，故只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，－\f(π,3)))與P點(diǎn)重合.【答案】D4.在極坐標(biāo)系中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，－\f(π,6)))，則OA，OB的夾角為()\f(π,6) \f(π,3) \f(5π,6)【解析】如圖所示，夾角為eq\f(π,3).【答案】C5.在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(4π,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6)))【解析】點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,3)))關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3))).【答案】B二、填空題6.點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到極軸所在直線的距離為_(kāi)_______.【解析】依題意，點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(5π,6)))到極軸所在的直線的距離為d＝6×sineq\f(5π,6)＝3.【答案】37.已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,12)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8，\f(π,12)))，則AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990006】【解析】eq\f(3－8,2)＝－eq\f(5,2)，∴AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)可以寫(xiě)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(π,12))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(π,12)))8.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)π))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______.【解析】由條件可知∠AOB＝90°，即△AOB為直角三角形，所以AB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)三、解答題9.在極坐標(biāo)系中作下列各點(diǎn)，并說(shuō)明每組中各點(diǎn)的位置關(guān)系.(1)A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)π))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,4)π))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(11,6)π))；(2)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,4)π))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,4)π))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4))).【解】(1)所有點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上.(2)所有點(diǎn)都在與極軸的傾斜角為eq\f(π,4)，且過(guò)極點(diǎn)的直線上.10.已知A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,6)))，求A，B兩點(diǎn)間的距離和△AOB的面積.【解】求兩點(diǎn)間的距離可用如下公式：|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ1－θ2)＝eq\r(4＋16－2×2×4×cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3))))＝eq\r(20)＝2eq\r(5).S△AOB＝eq\f(1,2)|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×4×sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)×2×4＝4.能力提升]1.在極坐標(biāo)系中，若等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))，那么可能是頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3π,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))C.(2eq\r(3)，π) D.(3，π)【解析】如圖，由題設(shè)，可知A，B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱，即O是AB的中點(diǎn).又|AB|＝4，△ABC為正三角形，∴|OC|＝2eq\r(3)，∠AOC＝eq\f(π,2)，點(diǎn)C的極角θ＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(3π,4)或eq\f(5π,4)＋eq\f(π,2)＝eq\f(7π,4)，即點(diǎn)C的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(3π,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(7π,4))).【答案】B2.已知A，B的極坐標(biāo)分別是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(π,12)))，則A和B之間的距離等于()\f(3\r(2)＋\r(6),2) \f(3\r(2)－\r(6),2)\f(3\r(6)＋3\r(2),2) \f(3\r(6)－3\r(2),2)【解析】A，B在極坐標(biāo)中的位置，如圖，則由圖可知∠AOB＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,6).在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，所以，由余弦定理，得|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·coseq\f(5π,6)＝9＋9－2×9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝18＋9eq\r(3)＝eq\f(9,2)(4＋2eq\r(3))，|AB|＝eq\f(3\r(6)＋3\r(2),2).【答案】C3.已知極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O,0≤θ＜2π，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_____.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990007】【解析】如圖所示，|OM|＝3，∠x(chóng)OM＝eq\f(π,3)，在直線OM上取點(diǎn)P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.點(diǎn)P，Q都滿足條件，且∠x(chóng)OP＝eq\f(π,3)，∠x(chóng)OQ＝eq\f(4π,3).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(π,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)π))4.在極坐標(biāo)系中，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,4)π))，試判斷點(diǎn)B，D的位置是否具有對(duì)稱性，并求出B，D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定ρ>0，θ∈0,2π)).【解】由Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,4)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7π,4)))，知|OB|＝|OD|＝3，極角eq\f(π,4)與eq\f(7π,4)的終邊關(guān)于極軸對(duì)稱.所以點(diǎn)B，D關(guān)于極