高二物理競賽能態(tài)密度和費(fèi)米面課件

能態(tài)密度和費(fèi)米面將T(a)和H同時作用在任意函數(shù)f(r)上，T

a

Hf

r

T

a

U

r

f

r

1r

U

a

1r

f

a

1r

U

r

T

a

f

r

HT

a

f

r

?2在正交變換下形式不變，r2a2r2

2

1

2a

r

r電子的勢能函數(shù)U(r)

具有與晶格相同的對稱性：U

a

1r

U

r

由于f(r)是任意函數(shù)，

所以T(a)與H可對易T

aH

HT

a

0

若yn,k(r)是晶體波動方程的解，那么，T(a)

yn,k(r)

也是方程的解，且yn,k(r)與T(a)

yn,k(r)有相同的能量本征值。Hy

n

,k

En

k

y

n

,kT

a

Hy

n

,k

T

aEn

k

yn

,kHT

a

y

n

,k

En

k

T

a

y

n,k

在晶體中電子運(yùn)動的本征態(tài)波函數(shù)為Bloch函數(shù)y

n

,k

r

eik

run

,k

r

n

：能帶標(biāo)記，k：簡約波矢，對應(yīng)的能量本征值：En(k)T

ayn

,k

r

T

a

eik

r

un

,k

r

eik

a

r

un

,k

a

1r

eiak

r

u

n

,ak

r

y

n

,ak

r

由于a是正交變換，

k

a

1r

ak

r

a

A

aB

=

A

B由于un

,k

a

1r

仍以格矢Rl為周期，1

1u

n

,a

k

r

可以改寫為這表明，用T(a)作用在Bloch函數(shù)的結(jié)果只是將簡約波矢k變換到另一個簡約波矢ak

。根據(jù)上面的推論，

它們應(yīng)具有相同的能量本征值。

En

k

En

ak

上式對所有晶體點(diǎn)群的對稱操作a

都成立。證明了在k空間中En(k)具有與晶體點(diǎn)群完全相同的對稱性。晶體中電子運(yùn)動的哈密頓算符H

2

U

r

由于H是實(shí)算符，H*＝H，所以，如果yn,k(r)是方程的解，那么y*n,k(r)也是方程的解，且這兩個解具有相同的能量本征值。Hy

n

,k

En

k

y

n

,kHyn

,k

En

k

y

n,k

En

k

y

n

,

k

y

n

,k

r

eik

r

un

,k

r

y

n,k

r

e

ik

ru

n

,k

r

yn

,

k

r

取復(fù)共軛：晶體中用－k取代k

，得Hy

n

,

k

r

En

k

y

n

,

k

r

En

k

En

k

這個結(jié)論與晶體的點(diǎn)群對稱性無關(guān)，而是時間反演對稱性的結(jié)果。對于同一能帶，有En

k

Gl

En

k

En

ak

En

k

En

k

En

k

來源于晶格的周期性來源于晶體的點(diǎn)群對稱性來源于時間反演對稱性二維正方晶格的點(diǎn)群是C4V(4mm)，只需研究清楚簡約區(qū)中

1/8

空間中電子的能量狀態(tài)，就可以知道整個k空間中的能量狀態(tài)了。這部分體積稱為簡約區(qū)的不可約體積。立方晶系的Oh(m3m)點(diǎn)群（48階），只需研究(1/48)Wb

即可。以二維正方晶格為例：點(diǎn)群的階數(shù)：

8P’

PyxkkP’’二、

波矢星和波矢群En

k

En

ak

對所有晶體點(diǎn)群的對稱操作a，可得到一組ak，它們都是等價的，

都具有相同的能量本征值。我們將這組ak的集合稱為波矢星。1.

所有的ak

1k，或ak

1k＋Gl（除a為單位元素外）這時，

k是布里淵區(qū)中的一般點(diǎn)，這時k星中的等價波矢量數(shù)目等于晶體點(diǎn)群中的元素數(shù)（即點(diǎn)群的階數(shù)）

。如二維正方晶格的C4V（4mm）點(diǎn)群（8階），在第一布里淵區(qū)的一般位置k，可以得到8個等價的波矢量ak組成k星。對于簡單立方晶格的Oh群，

有48個對稱操作，那么在簡約區(qū)中的一般位置k，可以得到48個等價的波矢量組成波矢星。2.

在晶體點(diǎn)群中存在某些對稱操作b，b

k

k

或

b

k

k

Gl在這種情況下，k一定是處在簡約區(qū)中的特殊位置（如對稱點(diǎn)、對稱軸或?qū)ΨQ面）上。這時波矢星中所包含的等價波矢量數(shù)目就少于晶體點(diǎn)群的階數(shù)，

而只是它的一個分?jǐn)?shù)。k使得

b

a

b操作的集合構(gòu)成一個群，稱為波矢群，或稱為b群?？梢宰C明：k星中的等價波矢量數(shù)×波矢群的階數(shù)＝

晶體點(diǎn)群的階數(shù)波矢群也是晶體點(diǎn)群的一種，

而且一定是這種晶體點(diǎn)群的子群，或者就是晶體點(diǎn)群本身。y在它的簡約區(qū)（即第一布里淵

m

Z區(qū)）中有六種具有波矢群的對

-p/a

G

D

X

kx

-p/a

以二維正方晶格C4V

（4mm）為例：

p/a

M

s1

Sys2稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸：

mx

k特殊

位置kk星中等價k數(shù)b

群波矢群

階數(shù)波矢群中的對稱操作G點(diǎn)(0,

0)1C4V84z

，mx

，my

，s1

，s2X點(diǎn)(p/a,

0)2C2V42

，

m

，mz

x

yR點(diǎn)(p/a,

p/a)1C4V84z

，mx

，my

，s1

，s2D軸(k,

0)4CS2myS軸(k,

k)4CS2s2Z軸(p/a,

k)4CS2mx特殊位置kb群G點(diǎn)(0,

0,

0)Oh

(m3m)X點(diǎn)(p/a,

0,

0)D4h

(4/mmm)M點(diǎn)(p/a,

p/a,

0)D4h

(4/mmm)R點(diǎn)(p/a,

p/a,

p/a)Oh

(m3m)D軸(k,

0,

0)C4V

(4mm)Z軸(p/a,

k,

0)C2V

(mm2)S軸(k,

k,

0)C2V

(mm2)S軸(p/a,

k,

k)C2V

(mm2)T軸(p/a,

p/a,

k)C4V

(4mm)L軸(k,

k,

k)C3V

(3m)RL

SD

T

S

Z

M

簡單立方晶格Oh

(m3m)點(diǎn)群：G

X二、

自由電子的能帶（空格點(diǎn)模型）自由電子的能量為E(0)

k

k’為廣延波矢，不一定在簡約區(qū)中，一定可以找到唯一一個倒格矢Gn