第1章點線面的投影

1.1點的三面投影1.2直線的投影1.3平面的投影第1章點、直線和平面的投影

1.1點的三面投影

二、三面投影體系的建立

1、三投影面體系——由三個互相垂直的投影面組成。（1）投影面

正立投影面--V(正面）水平投影面--H(水平面）

側立投影面--W(側面）

（2）投影軸

OX軸---VHOY軸---HWOZ軸---

VW

（3）原點

O---原點HVXOZWY2、三面投影的展開規(guī)定正面V不動，將水平面H繞OX軸向下旋轉90°，側面W繞OZ軸向右旋轉90°，就得到如下圖所示的在同一平面上的三個視圖。

三、點的三面投影1、點三面投影的形成A點的水平投影—a

A點的正面投影—aA點的側面投影—aHa

aa

VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA分析：aaz=aay=oaxaax=aay=oaz

aaz=aax=oay2、點的投影規(guī)律(特性)

aaox（長對正）aaoz（高平齊）aaz=aax（寬相等）HVXZYWOayaxazxyzaaaHa

aa

VWXOZYWYHaxayazayA[例題1.1]

已知點B的正面與側面投影，求點B的水平投影。XZYWYHOb

b

b四、點的空間坐標1、點的空間位置可用直角坐標表示：X坐標=A點到W面的距離AaY坐標=A點到V面的距離Aa

Z坐標=A點到H面的距離Aa

2、書寫形式為A(X，Y，Z)。

HVXZYWOayaxazxyzaaaA[例題1.2]

已知點A和點B的坐標值分別為A（25,15,10）、B（16,10,0），求作這兩個點的三面投影。

正面圖（V面）反映形體的上、下和左、右，不反映前、后；

平面圖（H面）反映形體的前、后和左、右，不反映上、下；

側面圖（W面）反映形體的上、下和前、后，不反映左、右。

五、點的空間方位六、兩點的相對位置及重影點的可見性X坐標確定左右：大者在左；Y坐標確定前后：大者在前；Z坐標確定上下：大者在上。1、兩點的相對位置

2、重影點及可見性判別重影點

----若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。

點直觀圖的畫法

為了便于建立空間概念，加深對投影原理的理解，常常需要畫出具有立體感的直觀圖。根據(jù)點的投影，畫其直觀圖的方法步驟見例2.2?！纠?.2】已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四點，試畫出其直觀圖與投影圖。

(a)直觀圖(b)投影圖1.2.1各種位置直線的三面投影1.2.2一般位置直線的實長及其與投影面的夾角1.2.3直線上點的投影1.2直線的投影直線的投影——直線上任意兩點同面投影的連線。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。HabDCc(d)AB1.2直線的投影1.2.1各種位置直線的三面投影1、投影面垂直線——與一個投影面垂直（必與另兩個平行）的直線。（1）鉛垂線——與H面垂直，與V、W面平行；（2）正垂線——與V面垂直，與H、W面平行；（3）側垂線——與W面垂直，與V、H面平行。2、投影面平行線——與一個投影面平行，而與另兩個傾斜的直線。（1）水平線——與H面平行，與V、W面傾斜；（2）正平線——與V面平行，與H、W面傾斜；（3）側平線——與W面平行，與V、H面傾斜。

3、一般位置直線——與三個投影面都傾斜的直線。Zb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1)ab積聚成一點2)abOX;ab

OY

3)ab=ab=AB（1）鉛垂線OXZYb

a(b)a

abAB（2）正垂線投影特性：1)ab積聚成一點2)ab

OX;ab

OZ

3)ab=ab=ABOXZYbababaABzXab

baOYHYWab（3）側垂線投影特性：1)ab積聚成一點2)abOYH;ab

OZ

3)ab=ab=ABOXZYABbaababZXabbaOYHYWab投影面垂直線判別口訣：一點兩直線，定是垂直線；點在哪個面，垂直哪個面（投影面）（1）水平線XZYOaababb

Xa

b

ab

baOzYHYWAB投影特性：1)ab=AB2)abOX;abOYW3)反映、角的真實大小XZYO（2）正平線aababbXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1)ab=AB2)abOX;abOZ3)反映、角的真實大小XZYO（3）側平線XZa

b

bbaOYHYWaaa

b

a

bbAB投影特性：1)ab=AB2)abOZ;abOYH3)反映、角的真實大小投影面平行線判別口訣：一斜兩直線，定是平行線；斜線在哪面，平行哪個面（投影面）OXZY3、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1）ab、ab、ab均小于實長2）ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3）不反映

、、實角

求解一般位置線段的實長及傾角是求解畫法幾何綜合題時經(jīng)常遇到的基本問題之一，而用直角三角形法求解實長、傾角又最為方便簡捷。1.2.2一般位置線段的實長及其與投影面的夾角

(a)直觀圖(b)利用水平投影求實長(c)利用正面投影求實長

[例題1.3]已知一般位置直線AB的兩面投影，見圖1-13（a），求直線對H投影面的傾角a和實長。[例題1.4]已知直線AB的水平投影ab和點A的正投影a′見圖1-14（a），并知AB對H面的傾角a為30°，求直線AB的傾角β。[例題1.5]已知線段AB的水平投影ab和點B的正面投影b'[如圖(a)所示]，線段AB與H面的夾角=30°，求出線段AB的正面投影a'b'。

(a)已知條件(b)作圖方法

直線上的點具有兩個特性：1、從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。2、定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac

:cb

利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。1.2.3直線上的點ABbbaaXOccCc[例題1.6]已知點K從屬于直線AB，且點K將線段分成2：3，求點K的投影，見圖1-17。[例題1.7]已知側平線AB的兩面投影及從屬于AB的一點K的水平投影κ，[見圖1-19（a）]，試在兩面投影體系中求出點K的正面投影κ′。1.3.1平面的表示法1.3.2各類平面的投影及其投影特性1.3平面的投影1.3.1平面的表示法

1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）平行二直線；（4）相交二直線；（5）任意平面圖形。

1、用幾何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd

※平面圖形的投影

——組成該平面圖形的各線段同面投影的集合。

1.3.2各類平面的投影及其投影特性1、投影面的平行面

——與一個投影面平行（必與另兩個垂直)的平面。（1）水平面——與H面平行，與V、W面垂直；（2）正平面——與V面平行，與H、W面垂直；（3）側平面——與W面平行，與V、H面垂直；2、投影面的垂直面——與一個投影面垂直，而與另兩個傾斜的平面。（1）鉛垂面——與H面垂直，與V、W面傾斜；（2）正垂面——與V面垂直，與H、W面傾斜；（3）側垂面——與W面垂直，與V、H面傾斜。

3、一般位置平面——與三個投影面都傾斜的平面。VWH（1）水平面投影特性：（一框兩線）1、水平投影abc反映ABC實形2、abc、abc分別積聚為一條線CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面VWH投影特性：（一框兩線）1、正面投影abc反映ABC實形2、abc、abc分別積聚為一條線cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：（一框兩線）1、側面投影abc反映ABC實形2、abc、abc分別積聚為一條線（3）側平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影面平行面判別口訣：一框兩直線，定是平行面；框在哪個面，平行哪個面（投影面）VWHPPH（1）鉛垂面投影特性：（一線兩框）

1、水平投影abc積聚為一條線2、abc、abc為ABC的類似形3、abc與OX、OY的夾角反映、角的真實大小

ABCacbababbacccVWHQ