第4章正弦交流電路

第4章正弦交流電路4.2正弦量的相量表示法4.1正弦電壓與電流4.3單一參數(shù)的交流電路4.7交流電路的頻率特性*4.6復(fù)雜正弦交流電路的分析與計(jì)算4.8功率因數(shù)的提高4.5阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)4.4電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路*4.9非正弦周期電壓和電流激勵(lì)按其波形變化規(guī)律分為恒定量——直流特變量周期性變化量非周期性變化量正弦量非正弦周期量正弦量：隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的物理量?？梢圆捎谜液瘮?shù)(sin形式)，也可以采用余弦形式(cos形式)。本書采用sin形式。正弦交流電的優(yōu)越性：

便于傳輸；易于變換便于運(yùn)算；有利于電器設(shè)備的運(yùn)行；

……4.1

正弦電壓與電流（自學(xué)）設(shè)正弦交流電流：角頻率：決定正弦量變化快慢幅值：決定正弦量的大小

幅值、角頻率、初相角成為正弦量的三要素。初相角：決定正弦量起始位置ImTiOt一、頻率與周期周期T：正弦量變化一次所需的時(shí)間（s）角頻率：(rad/s)頻率f：(Hz)工頻為50HziOtT二、幅值和有效值ImiOt幅值：瞬時(shí)值中最大的值，用大寫加下標(biāo)m表示。如：Im、Um、Em瞬時(shí)值：正弦量在任一瞬間的值，用小寫表示。如：u、i、e正弦量的有效值有效值：與周期電流或電壓在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)相等的直流量定義為該周期量的有效值。用相應(yīng)的大寫字母表示。則有交流直流周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值再取平方根，又稱均方根值。Ri(t)RI周期電流通過電阻R直流電流通過電阻R(2)正弦量的有效值與頻率和初相位無關(guān)。設(shè)：i=Imsin(t+)說明：(1)的關(guān)系只適用于正弦量，對(duì)別的周期量不適用。(3)交流電壓、電流表測量數(shù)據(jù),交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的額定電壓、電流均為有效值。說明：(1)||相位(或相角)：t+初相位：

表示正弦量在t=0時(shí)的相角。

反映正弦量變化的進(jìn)程。三、初相位iOt(2)的大小與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。四、同頻率正弦量的相位差設(shè)：則相位差(1)若=12>0，則電壓超前電流

角或電流滯后電壓角(2)若=12=0，則電壓與電流同相uituiO(3)若=12=180，則電壓與電流反相tuiuiOuiuitO說明：(1)兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計(jì)時(shí)的選擇起點(diǎn)無關(guān)。(2)||例1已知：i1(t)=5cos(100t+30)A，

i2(t)

=3sin(100t45)A。

確定它們的相位關(guān)系。解：i1(t)

=5cos(100t+30)=5sin(100t+120)A=1

2=120(45)=165i1(t)超前i2(t)

165本節(jié)屬自學(xué)內(nèi)容：學(xué)生需掌握以下內(nèi)容：1、正弦量的三個(gè)要素：頻率、幅值和初相位。2、頻率、幅值和初相位的概念。3、兩個(gè)同頻率的正弦量的相位差的概念以及通過相位差判斷兩個(gè)正弦量之間的相位關(guān)系。4.2節(jié)中自學(xué)內(nèi)容：學(xué)生需掌握以下內(nèi)容：1、復(fù)數(shù)的幾種表示方式。2、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算。3、利用復(fù)平面運(yùn)用平行四邊形法則求復(fù)數(shù)的加法和減法。4.2

正弦量的相量表示法三角函數(shù)式波形圖正弦量的三種表示方法uO相量一、復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)（自學(xué)）1、復(fù)數(shù)的表示形式設(shè)A為復(fù)數(shù):(1)代數(shù)式A

=a+jb復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的輻角(2)三角式+j+1Abar0(3)指數(shù)式

(4)極坐標(biāo)式取復(fù)數(shù)的實(shí)部取復(fù)數(shù)的虛部掌握：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和極坐標(biāo)形式之間的相互轉(zhuǎn)換！例1：已知復(fù)數(shù)A的模r=5，幅角ψ=53.1°，試寫出復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式表達(dá)式。解：根據(jù)模和幅角可直接寫出極坐標(biāo)形式：復(fù)數(shù)A的代數(shù)形式為：

A=553.1°2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加減——采用代數(shù)式A1

A2=(a1

a2)+j(b1b2)+1+j0A2A1A1+A2+1+j0A2A1A1A2A2按平行四邊形法則求設(shè)復(fù)數(shù)A1=a1+jb1=r1

1

，A2=a2+jb2=

r2

2

(2)復(fù)數(shù)的乘除法——采用極坐標(biāo)式或指數(shù)式二、相量——表示正弦量的復(fù)數(shù)相量表示為:設(shè)：i=Imsin(t+i

)或：（幅值相量）（有效值相量）注意:①相量是表示正弦量的復(fù)數(shù)，用大寫字母上加點(diǎn)表示，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別。②相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。③只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。三、相量圖——

把相量表示在復(fù)平面上的圖形?？刹划嬜鴺?biāo)軸只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。+jO+1i相量圖的功能:(1)在相量圖上可以清楚地看出各個(gè)正弦量的初相位，以及各個(gè)正弦量的關(guān)系。(2)同頻率的正弦量的加減可借助相量圖進(jìn)行。注意:例1:解:(1)

相量式(2)相量圖寫出u1、u2的相量式，并畫出相量圖。+1+jO超前落后？

落后于或超前于例2:解：相應(yīng)的函數(shù)式為：已知相量，頻率=314rad/s，寫出相應(yīng)的函數(shù)式。說明：

由正弦量可直接寫出與之對(duì)應(yīng)的相量；反之，從相量也可直接寫出相應(yīng)的正弦量，但必須給出正弦量的角頻率。例3:解:求：i=i1+i2，并畫出相量圖。已知4.3

單一參數(shù)的交流電路4.3.1電阻元件的交流電路RuR+–iR設(shè)：時(shí)域形式：uR=RiR相量形式：R+–相量圖+1+j0(電壓和電流同相)一、電壓和電流關(guān)系(伏安關(guān)系)二、功率(1)瞬時(shí)功率——瞬時(shí)電壓與瞬時(shí)電流的乘積小寫結(jié)論：p0，表明電阻元件始終從電源吸收電能

——耗能元件iωtuOωtpOiu(2)平均功率（或有功功率）瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，用大寫字母P表示。大寫單位:瓦（W）ppωtO注意：通常銘牌數(shù)據(jù)或測量的功率均指有功功率。UI4.3.2電感元件的交流電路1、時(shí)域形式：LuL+–iL一、伏安關(guān)系說明：

(1)電感元件的電壓超前電流90；感抗，單位：(Ω)(2)令反映電感對(duì)交流電流的阻礙作用。電感L具有通直流阻交流的作用直流：XL=0，電感L視為短路XL交流：f當(dāng)L一定時(shí)，2、相量形式——電感歐姆定律的相量形式+–(電壓超前電流90)相量圖+1+j0二、功率(1)瞬時(shí)功率儲(chǔ)能p<0+p>0+p>0p<0放能儲(chǔ)能放能pOiuO結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)?！獌?chǔ)能元件(2)平均功率P——反映電源與電感元件的能量互換的規(guī)模，用瞬時(shí)功率的最大值表示，即單位：var或kvar(3)無功功率Q（電感吸收無功功率）例1：把一個(gè)0.1H的電感接到f=50Hz，U=10V的正弦電源上，求電流I。如保持U不變，而電源頻率變?yōu)閒=5000Hz,這時(shí)I為多少？解：(1)當(dāng)f=50Hz時(shí)(2)當(dāng)f=5000Hz時(shí)所以電感元件具有通低頻阻高頻的特性。4.3.3電容元件的交流電路1、時(shí)域形式：一、伏安關(guān)系說明：

(1)電容元件的電流超前電壓90；容抗，單位：(Ω)(2)令反映電容對(duì)交流電流的阻礙作用。電容C具有通交流阻直流的作用直流：XC，電容C視為開路XC交流：f當(dāng)C一定時(shí)，CuC+–iC2、相量形式——電容歐姆定律的相量形式(電壓滯后電流90)+–相量圖+1+j0二、功率(1)瞬時(shí)功率pOiuOp<0放電+p>0充電p<0放電+p>0充電結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換（能量的吞吐)?！獌?chǔ)能元件(2)平均功率P用以衡量電容電路中能量交換的規(guī)模，用瞬時(shí)功率的最大值表示，即單位：var(3)無功功率Q（電容發(fā)出無功功率）【練習(xí)】指出下列各式中哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？在電阻電路中：在電感電路中：在電容電路中：4.3單一參數(shù)正弦交流電路的分析計(jì)算小結(jié)電路參數(shù)電路圖(參考方向)阻抗電壓、電流關(guān)系瞬時(shí)值有效值相量圖相量式功率有功功率無功功率Riu設(shè)則u、i

同相0LC設(shè)則則u超前i90°00基本關(guān)系+-iu+-iu+-設(shè)u落后i90°4.4電阻、電感與電容元件的串聯(lián)電路一、阻抗1、定義N0+——阻抗?！杩菇欠从沉穗妷汉碗娏髦g輻角的關(guān)系。反映了電壓和電流大小的關(guān)系。2、N0為單個(gè)的R、L、C元件，則對(duì)應(yīng)的阻抗分別為：Z

是一個(gè)復(fù)數(shù)，不是相量，上面不能加點(diǎn)。注意:二、串聯(lián)RLC電路的阻抗+RLC+_+_+_由KVL得：電阻電抗說明：1、為的函數(shù)。當(dāng)XL

>XC

時(shí)，

>0，u

超前i—呈感性當(dāng)XL<XC

時(shí)，

<0，u

滯后i—呈容性當(dāng)XL=XC

時(shí)，

=0

，u、i

同相

—呈電阻性2、阻抗三角形阻抗模：阻抗角：由阻抗三角形得：阻抗三角形阻抗三角形不是相量圖！它的各條邊僅僅反映了各個(gè)復(fù)阻抗之間的數(shù)量關(guān)系。電路的相量圖相量圖：它能反映KVL、KCL、VCR(三大定律)，用幾何圖形來表示各相量之間的關(guān)系，并且可以輔助電路的分析計(jì)算。相量圖的作法：1、選取參考相量串聯(lián)電路：以電流作參考相量并聯(lián)電路：以電壓作參考相量2、按KVL、KCL、VCR逐個(gè)畫出相應(yīng)的相量。3、用矢量平行四邊形和多邊形法則，畫出電路的相量圖。3、RLC串聯(lián)電路的相量圖(

>0感性)X

>

0參考相量(

<0容性)X

<

0+RLC+_+_+_X=0(

=0阻性)4、電壓三角形由電壓三角形可得：(

>0感性)X

>

0+RLC+_+_+_以感性負(fù)載為例：電壓三角形是相量圖。它不僅定性反映各電壓間的數(shù)量關(guān)系，還可反映各電壓間的相位關(guān)系。二、串聯(lián)RLC電路的功率1、瞬時(shí)功率p+RLC+_+_+_uiuRuLuC2、平均功率P單位：W(瓦特)說明：(1)P實(shí)質(zhì)是各電阻消耗的有功功率之和。(2)cos稱為功率因數(shù)，用來衡量對(duì)電源的利用程度。3、無功功率Q單位：var(乏，即無功伏安)4、視在功率S電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：V·A(伏安)

注：SN＝UNIN稱為發(fā)電機(jī)、變壓器等供電設(shè)備的容量，可用來衡量發(fā)電機(jī)、變壓器可能提供的最大有功功率。

P、Q、S

都不是正弦量，不能用相量表示。5、S、P、Q、cos的關(guān)系1、功率三角形SQP功率三角形2、阻抗三角形、電壓三角形和功率三角形關(guān)系以感性負(fù)載為例：乘以I阻抗三角形電壓三角形功率三角形乘以I功率三角形也不是相量圖！其各邊也是僅僅表明了各種功率之間的數(shù)量關(guān)系。例1：求：(1)電流的有效值I與瞬時(shí)值i；(2)各元件電壓的相量；(3)作相量圖；(4)有功功率P、無功功率Q和視在功率S。在RLC串聯(lián)交流電路中，已知：R=30，L=127mH，C=40F，電源電壓解：（容性）(1)(2)各部分電壓的相量為：通過計(jì)算可看出：而是(3)相量圖如圖所示。(4)或或呈容性例2：求：(1)此二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗；(2)此二端網(wǎng)絡(luò)由兩個(gè)元件串聯(lián)的等效電路和元件的參數(shù)；(3)該二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)、輸入的有功功率P、無功功率Q。無源二端網(wǎng)絡(luò)輸入端的電壓和電流分別為解：無源網(wǎng)絡(luò)i-+u(1)（感性）由阻抗可得：R=30，XL=40(3)功率因數(shù)：有功功率：無功功率：RL(2)由于該網(wǎng)絡(luò)為電感性，可等效為電感和電阻的串聯(lián)。例3：已知：電流表A1的讀數(shù)為5A，電流表A2的讀數(shù)為20A，電流表A3的讀數(shù)為25A。求電流表A和A4的讀數(shù)。解題方法有兩種：(1)用相量(復(fù)數(shù))計(jì)算(2)利用相量圖分析求解A4AA1R+A2LA3C求：A、A4的讀數(shù)已知：I1=5A，I2=20A，

I3=25A解法1:

用相量計(jì)算所以表A：7.07A

表A4：5A即：為參考相量，設(shè)：則：A4AA1R+A2LA3C解法2:利用相量圖分析求解畫相量圖如下：設(shè)為參考相量由相量圖可求得：I=7.07A，I4=5A25求：A、A4的讀數(shù)已知：I1=5A，I2=20A，

I3=25A與同相超前

I3=25A205A4AA1R+A2LA3C4.5

阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)+_Z1Zn+_+_+_Z2ab+_Zab(等效阻抗等于各阻抗之和)兩個(gè)阻抗串聯(lián)：+_Z1Z2__++等效阻抗：分壓公式：下列各圖中給定的電路電壓、阻抗是否正確？思考(a)3j4V16V8V+V2(b)j6j8V130V40V+_V2二、阻抗的并聯(lián)兩個(gè)阻抗并聯(lián)+_Z1Z2+_Z例1:解：求如圖所示電路的等效阻抗Zab。5122ab51j2-j2ab例2:解：一個(gè)線圈接到U=120V的直流電源上時(shí)，I=20A；接在U=220V、f=50Hz的交流電源上時(shí)，I=28.2A。試求線圈的電阻R和電感L。+RL線圈模型當(dāng)線圈接在直流電源上時(shí)，電感相當(dāng)于短路，則：當(dāng)線圈接在交流電源上時(shí)，解得：L=15.88mH例3：

已知：L1=1/3H，L2=5/6H，C=1/3F，R=2，i=sin(3t+45)A。(1)求電壓u；(2)電路有功功率P；(3)該電路呈何性質(zhì)？+RL1L2Ciu+j1-j1j2.52解:(1)(2)(3)電路呈感性。例4:解:(1)已知：電源電壓。求：(1)等效阻抗Z；(2)電流和+50100j200j400(2)例5：如圖所示電路中，已知：I1=10A、UAB=100V，求：總電壓表和總電流表

的讀數(shù)。解法1:

用相量計(jì)算所以A讀數(shù)為10安設(shè)則：AB

C1VAj10j55V讀數(shù)為141V求：A、V的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，AB

C1VAj10j55解法2:利用相量圖分析求解畫相量圖如下：設(shè)為參考相量,由相量圖可求得：I=10A求：A、V的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，超前1045°AB

C1VAj10j55UL=IXL

=100VU

=141V由相量圖可求得：求：A、V的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，設(shè)為參考相量,1001045°10045°AB

C1VAj10j554.7.2諧振電路N+

在同時(shí)含有L和C的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱電路處于諧振狀態(tài)。諧振的概念：串聯(lián)諧振：L與C串聯(lián)并聯(lián)諧振：L與C并聯(lián)分類一方面：在生產(chǎn)上充分利用諧振的特點(diǎn)

(如在無線電技術(shù)和電子測量技術(shù)等許多電路中應(yīng)用)。另一方面：要預(yù)防它所產(chǎn)生的危害。研究諧振的目的：一、串聯(lián)諧振+RLC諧振時(shí)有：諧振時(shí)的角頻率諧振角頻率：諧振頻率：電路發(fā)生諧振的方法：(1)電源頻率f

一定，調(diào)參數(shù)L、C使

f

=fo；(2)電路參數(shù)L、C

一定，調(diào)電源頻率f，使f=fo1、條件2、串聯(lián)諧振的特點(diǎn)

(1)阻抗最小，為純電阻(2)電流最大電路呈電阻性，能量全部被電阻消耗，QL和QC相互補(bǔ)償。即電源與電路之間不發(fā)生能量互換。(3)

同相當(dāng)電源電壓一定時(shí)：(4)電壓關(guān)系電阻電壓：大小相等、相位相差180電容、電感上的電壓：串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振相量圖當(dāng)

XL=

XC>>R時(shí)，有：UL=UC>>U可能會(huì)擊穿線圈或電容的絕緣，因此在電力系統(tǒng)中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振，但在無線電工程上，又可利用這一特點(diǎn)達(dá)到選擇信號(hào)的作用。（過電壓現(xiàn)象）如果，U=220V，則在諧振時(shí)3、串聯(lián)諧振的應(yīng)用舉例接收機(jī)的輸入電路L1：天線線圈LC：串聯(lián)諧振電路e1、e2、e3為來自3個(gè)不同電臺(tái)(不同頻率)在LC諧振電路中感應(yīng)的相應(yīng)的電動(dòng)勢。調(diào)C，對(duì)所需信號(hào)頻率產(chǎn)生串聯(lián)諧振等效電路+-電路圖L1LC例1：串聯(lián)RLC電路中，正弦電壓有效值U=10V，R=10，L=20mH，當(dāng)電容C=200pF時(shí)，電流I=1A。求正弦電壓的頻率、電壓UL和UC。解：可知此時(shí)電路處于諧振狀態(tài)。4.8

功率因數(shù)的提高1、使發(fā)電設(shè)備的容量得以充分利用一、提高的意義對(duì)于額定容量相同的電源，SN一定，cosPcosP2、減少線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗當(dāng)P、U一定時(shí)，由P=UIcos得：cosI，損耗小cosI，損耗大二、提高的方法

日常生活中多為感性負(fù)載---如電動(dòng)機(jī)、日光燈，常采用并聯(lián)電容的方法來提高