第三章規(guī)則金屬波導(dǎo)

第三章 規(guī)則金屬波導(dǎo)2/4/2023規(guī)則金屬波導(dǎo)及其特點規(guī)則金屬波導(dǎo)的特征沿其軸線方向，它的橫截面形狀、尺寸，以及填充媒質(zhì)的電參數(shù)和分布狀態(tài)，均不變化的無限長的直波導(dǎo)。規(guī)則金屬波導(dǎo)的場論分析金屬波導(dǎo)管內(nèi)的電磁場分析是典型的邊值問題，屬本征值問題；規(guī)則金屬波導(dǎo)僅有一個導(dǎo)體，不能傳播TEM導(dǎo)波；可以傳播TE和TM導(dǎo)波，且存在無限多的模式，這些導(dǎo)模在傳播中存在嚴重的色散現(xiàn)象，并具有截止特性；每種導(dǎo)模都具有相應(yīng)的截止波長c（或截止頻率fc

），只有滿足條件c>（工作波長）或fc<f才能傳輸。2/4/20233.1矩形波導(dǎo)

矩形波導(dǎo)是橫截面為矩形的空心金屬管，如圖所示。圖中a和b分別為矩形波導(dǎo)的寬壁和窄壁尺寸。由于矩形波導(dǎo)不僅具有結(jié)構(gòu)簡單、機械強度大的優(yōu)點，而且由于它是封閉結(jié)構(gòu)，可以避免外界干擾和輻射損耗；因為它無內(nèi)導(dǎo)體，所以導(dǎo)體損耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系統(tǒng)中常采用矩形波導(dǎo)作為傳輸線和構(gòu)成微波元器件。

2/4/20231、矩形波導(dǎo)的導(dǎo)模寫出無源區(qū)域的Maxwell方程組1）、矩形波導(dǎo)的一般解上式稱Helmholtz方程2/4/2023波導(dǎo)的一般解采用縱向分量法，其流圖如下所示，橫向場用縱向場分量表示縱向分量方程2/4/2023對于如圖所示的矩形波導(dǎo)，由式（1.4－30），可得橫—縱向場關(guān)系式有：2/4/2023由式（1.4－23），得縱向場Ez和Hz構(gòu)成如下邊值問題邊界條件為：TE導(dǎo)波TM導(dǎo)波2/4/2023TEmodes應(yīng)用分離變量法，可得Hz的基本解為

m和n為任意正整數(shù)，稱為波形指數(shù)。任意一對m、n值對應(yīng)一個基本波函數(shù)，這些波函數(shù)的組合，構(gòu)成Hz的一般解：2/4/2023最后可得傳輸型TE導(dǎo)模的場分量為2/4/2023式中式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數(shù)。一組m,n值代表一種橫電波波型。由于m=0及n=0時所有場分量才為零，因此矩形波導(dǎo)中存在等波型。若，則模是最低次波型，其余波型為高次波型。2/4/2023TMmodes應(yīng)用分離變量法，可得Ez的基本解為2/4/2023最后可得傳輸型TM導(dǎo)模的場分量為2/4/2023式中式中m和n分別代表場強沿x軸和y軸方向分布的半波數(shù)。一組m,n值代表一種橫磁波波型，記作。由于m=0或n=0時所有場分量均為零，因此矩形波導(dǎo)不存在等波型，所以是最簡單的波型，其余波型為高次波型。2/4/20232、導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)是分析和研究波導(dǎo)問題、模式的激勵以及設(shè)計波導(dǎo)元件的基礎(chǔ)和出發(fā)點；導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)導(dǎo)模在矩形波導(dǎo)橫截面上的場呈駐波分布，m和n分別表示場量沿矩形波導(dǎo)寬壁和窄壁的半駐波數(shù)。整個導(dǎo)模以完整的場結(jié)構(gòu)（場型）沿軸向（z向）傳播。用電力線和磁力線的疏密來表示波導(dǎo)中電場和磁場的強弱，場結(jié)構(gòu)便是波導(dǎo)中電力線和磁力線的形狀與疏密分布；2/4/2023TE10場分布圖所謂場分布圖就是在固定時刻，用電力線和磁力線表示某種波型場強空間變化規(guī)律的圖形。TE10模的場分量為

TE10模場強與y無關(guān)，場分量沿y軸均勻分布。各場分量沿x軸的變化規(guī)律為導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)2/4/2023

矩形波導(dǎo)TE10模場分量的分布規(guī)律(a)場分量沿x軸的變化規(guī)律；(b)場分量沿z軸的變化規(guī)律；(c)矩形波導(dǎo)橫截面上的場分布；(d)矩形波導(dǎo)縱剖面上的場分布.導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)2/4/2023某一時刻TE10模完整的場分布如圖所示，隨時間的推移，場分布圖以相速沿傳輸方向移動。矩形波導(dǎo)TE10模的場分布圖導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)2/4/2023矩形波導(dǎo)中TE和TM模場結(jié)構(gòu)截面圖2/4/20233、管壁電流研究波導(dǎo)管壁電流結(jié)構(gòu)有著重要的意義：波導(dǎo)損耗的計算需要知道波導(dǎo)管壁電流；在實際應(yīng)用中，波導(dǎo)元件的連接及通過在波導(dǎo)壁上開槽或孔以做成特定用途的元件，此時接頭與槽孔的位置就不應(yīng)破壞波導(dǎo)管壁電流的通路，否則將嚴重破壞原波導(dǎo)內(nèi)的電磁場分布，引起輻射和反射，影響功率的有效傳輸；當需要在波導(dǎo)壁上開槽做成裂縫天線時，開槽就應(yīng)切斷管壁電流。矩形波導(dǎo)TE10模的管壁電流與管壁上的輻射性和非輻射性槽.2/4/2023管壁電流2/4/20234、矩形波導(dǎo)的傳輸特性TE波和TM波的傳播常數(shù)1)、導(dǎo)模的傳播條件對于傳播模，應(yīng)為實數(shù)。2)、導(dǎo)模的截止截止時，2/4/2023截止波長

截止波長不僅與波導(dǎo)尺寸a和b有關(guān)，而且與決定波型的m和n有關(guān)，截止頻率還與介質(zhì)特性有關(guān)。TE波和TM波的截止頻率為截止條件可記為：因此，波導(dǎo)是一只高通濾波器，低頻信號無法通過.矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023當波導(dǎo)尺寸a和b給定時，將不同m和n值代入，即可得到不同波型的截止波長。其分布如圖BJ-100型波導(dǎo)不同波型截止波長的分布圖從圖中可以看出，TE10模的截止波長最長，它右邊的陰影區(qū)為截止區(qū)。矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/20233)、模式簡并現(xiàn)象

不同導(dǎo)模的截止波長相同現(xiàn)象

相同的波型指數(shù)m和n的TEmn和TMmn的截止波長相同，矩形波導(dǎo)的導(dǎo)模具有雙重簡并。4)、主模?！＃?）通常矩形波導(dǎo)工作在TE10單模傳輸情況，因為TE10模容易實現(xiàn)單模傳輸。（2）當工作頻率一定時傳輸TE10模的波導(dǎo)尺寸最小.矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023（3）若波導(dǎo)尺寸一定，則實現(xiàn)單模傳輸?shù)念l帶最寬。為了實現(xiàn)TE10單模傳輸，則要求電磁波的工作波長必須滿足下列條件即當工作波長給定時，若要實現(xiàn)TE10單模傳輸，則波導(dǎo)尺寸必須滿足矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/20235)、波的傳播速度和色散(1)相速和相波長相速是指導(dǎo)波系統(tǒng)中傳輸電磁波的等相位面沿軸向移動的速度。等相位面在一個周期T內(nèi)移動的距離定義為相波長矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023對于TE波和TM波，相速為相速（介質(zhì)中的光速），相速并不是能量傳播速度(2)群速這些多種頻率成分構(gòu)成一個“波群”，又稱為波的包絡(luò)，其傳播速度稱為群速。群速的關(guān)系式

矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023群速、相速和光速三者的關(guān)系為：但，對于TEM波群速的定義式為矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023(3)色散TE波和TM波的相速和群速都隨波長而變化，即是頻率的函數(shù)，這種現(xiàn)象稱為“色散”。因此，TE波和TM波統(tǒng)稱為“色散波”；而TEM波的相速和群速相同，且與頻率無關(guān)，沒有色散現(xiàn)象，故稱為“非色散波”。

波導(dǎo)色散現(xiàn)象與基于媒質(zhì)特性產(chǎn)生的色散現(xiàn)象不同。由于我們已假定波導(dǎo)中媒質(zhì)是線性的，即不隨頻率而變化，所以波導(dǎo)中電磁波產(chǎn)生色散的原因是由波導(dǎo)系統(tǒng)本身的特性(即邊界條件)所引起的。矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023主模的波導(dǎo)波長

6)、波導(dǎo)波長

7)、波阻抗波阻抗定義為相互正交的橫向電場與橫向磁場之比矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023對于TEM波，對于TE波和TM波，

傳輸狀態(tài)截止狀態(tài)

矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023例某一內(nèi)部為真空的矩形金屬波導(dǎo)，其截面尺寸為25mm10mm

，當頻率的電磁波進入波導(dǎo)中以后，該波導(dǎo)能夠傳輸?shù)哪Ｊ绞鞘裁?？當波?dǎo)中填充介電常數(shù)的理想介質(zhì)后，能夠傳輸?shù)哪Ｊ接袩o改變？

解當內(nèi)部為真空時，工作波長為截止波長為2/4/2023若填充的理想介質(zhì)，則工作波長為因此，除TE10波及TE20波外，還可傳輸其它模式。計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。因為，，更高次模的截止波長更短，可見，當該波導(dǎo)中為真空時，僅能傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10波。

2/4/2023例若內(nèi)充空氣的矩形波導(dǎo)尺寸為，工作頻率為3GHz。如果要求工作頻率至少高于主模TE10波的截止頻率的20%，且至少低于TE01波的截止頻率的20%。試求：①波導(dǎo)尺寸a及b；②根據(jù)所設(shè)計的波導(dǎo)，計算工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗。解

①TE10波的截止波長，對應(yīng)的截止頻率為TE01波，對應(yīng)的截止頻率。求得，，取，。題意要求2/4/2023

②工作波長，相速，波導(dǎo)波長及波阻抗分別為

2/4/2023矩形波導(dǎo)TE10波型的等效阻抗TE10波型的波阻抗為：

ZTE10是一個很重要的參數(shù)。在同一波導(dǎo)里，應(yīng)用它在研究波的反射、駐波、匹配，以及波導(dǎo)元件相對電納等問題時，是不會有什么問題的；但在研究不同尺寸波導(dǎo)之間的連接問題時，由于波型阻抗與矩形波導(dǎo)窄壁尺寸b無關(guān)，因此，兩個波導(dǎo)管的窄壁尺寸b雖不相同，只要它們的寬壁尺寸相同，則它們的波型阻抗相同；若僅根據(jù)波型阻抗相同(b不同)，而把兩個波導(dǎo)管連在一起，在實際上就會產(chǎn)生反射。2/4/2023可見，在研究不同尺寸波導(dǎo)之間的連接問題時，為了把連接后的反射減到最小，而要引入等效阻抗的概念。為了求等效阻抗，應(yīng)先求出等效電壓U、等效電流I和傳輸功率P。對于TE10波型，通常是將波導(dǎo)橫截面上，兩寬壁中心線之間的電場強度的線積分作為等效電壓；把寬壁內(nèi)表面上總的縱向電流作為等效電流。即：根據(jù)等效電壓U、等效電流I和傳輸功率P，可分為三種情況定義等效阻抗：2/4/2023用等效電壓U和等效電流I定義等效阻抗Ze：用等效電壓U和傳輸功率P定義等效阻抗Ze：2/4/2023對于等效阻抗的三種表示方法，可以任選其中其中的一種，但在同一問題中只能采用一種，否則會帶來很大的誤差。用等效電流I和傳輸功率P定義等效阻抗Ze：2/4/2023在討論波的反射、駐波、匹配等問題時，利用等效阻抗的概念，隨比利用波型阻抗能較好地解決一些問題，但也只能得出一些近似的結(jié)果，即這種方法并不是一種嚴格的計算方法。在實際問題中，往往只需要知道阻抗之間的相對值，因此，為了計算方便，常將上述的三種等效阻抗公式中的系數(shù)去掉，因此可得等效阻抗為：2/4/20238)、矩形波導(dǎo)中傳輸功率和功率容量(1)傳輸功率在行波狀態(tài)下，傳輸?shù)钠骄β示匦尾▽?dǎo)的傳輸特性2/4/2023xzy0abds當傳輸TE10模時，

矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023波導(dǎo)中填充空氣介質(zhì)時，(2)功率容量波導(dǎo)中最大承受的極限功率稱為波導(dǎo)的功率容量。行波狀態(tài)下波導(dǎo)傳輸TE10模的功率容量在空氣中的擊穿場強矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/2023實際傳輸線上總有反射波存在。在行駐波狀態(tài)下，矩形波導(dǎo)傳輸TE10模的功率容量應(yīng)修正為為了留有余地，波導(dǎo)實際允許傳輸?shù)墓β室话闳⌒胁顟B(tài)下功率容量理論值的25%～30%。矩形波導(dǎo)的傳輸特性2/4/20239)、傳輸功率及損耗導(dǎo)波系統(tǒng)所傳輸?shù)碾姶挪ㄆ骄β?/p>

矩形波導(dǎo)的傳輸特性實用矩形波導(dǎo)常以TE10模工作，其2/4/2023于是矩形波導(dǎo)TE10模的傳輸功率為若|E10|以空氣的擊穿場強Ebr=30kv/cm代入,可得矩形波導(dǎo)TE10模的脈沖功率容量為2/4/2023實際中，由于導(dǎo)波系統(tǒng)的電導(dǎo)率是有限的，且所填充的介質(zhì)也是非理想的，所以實際的導(dǎo)波系統(tǒng)都存在著導(dǎo)體損耗和介質(zhì)損耗。因而電磁波在傳輸過程中，其振幅會逐漸減小，也就是說存在功率損耗，這種損耗應(yīng)根據(jù)具體情況來計算。2/4/2023矩形波導(dǎo)的傳輸特性衰減是指波在傳輸過程中，其幅值或功率不斷減小的現(xiàn)象。有兩種情況，一是當>c時，傳播常數(shù)為實數(shù)，波沿軸線方向無相位變化，而幅度則指數(shù)規(guī)律衰減，波導(dǎo)已不能傳輸能量，此時的場稱為消失(衰減)場。這種損耗不是由于能量損失引起的，而是不滿足傳輸條件的原故，稱為截止式衰減。另一種是，由于波導(dǎo)壁并非理想導(dǎo)體，高頻電流在其上流過時會產(chǎn)生損耗，且波導(dǎo)中介質(zhì)也有損耗，從而引起導(dǎo)行波的衰減。這里討論的就是指后一種情況的衰減。當考慮損耗時，傳播常數(shù)為：衰減和損耗c和d分別表示波導(dǎo)壁和波導(dǎo)中介質(zhì)引起的衰減常數(shù)。2/4/2023矩形波導(dǎo)的傳輸特性

c的計算(導(dǎo)體引起的損耗)設(shè)在規(guī)則波導(dǎo)中，參考面z=0處的輸入功率為P0，則與該處相距單位長度處橫截面上的輸出功率為：因此單位長度損耗的功率及c的計算式為：2/4/2023

PL的計算

設(shè)在波導(dǎo)內(nèi)壁表面上的微分面元為dS=dldz，dl和dz分別是沿波導(dǎo)橫截面的周界和沿z方向的微元長度。在該微分面元損耗的功率為：由此得到單位長度的損耗功率為：式中是波導(dǎo)壁的高頻表面電阻；H是波導(dǎo)表面的磁場切向分量。2/4/2023由此得到c的計算式：代入相應(yīng)的場量關(guān)系，進過一系列計算后，得到各模式的c：ZW：波形阻抗，定義為與的比值。2/4/20232/4/2023例計算矩形波導(dǎo)中傳輸TE10波時，波導(dǎo)壁產(chǎn)生的衰減。

解已知當矩形波導(dǎo)傳輸TE10波時，波導(dǎo)寬壁上的電流具有x

分量及z

分量，而窄壁上只有y分量。因此，單位長度內(nèi)，寬壁上的損耗功率為式中單位長度內(nèi)窄壁上的損耗功率為式中zyx2/4/2023再算出傳輸功率P，即可求得TE10波衰減常數(shù)為則單位長度內(nèi)總損耗功率為2/4/2023在波導(dǎo)中填充的介質(zhì)造成熱損耗的原因：實際介質(zhì)并非理想(0)，因而存在傳導(dǎo)電流引起的損耗；由于介質(zhì)中的電子或原子具有一定質(zhì)量和慣性，在微波電磁場的作用下，很難隨之同步振蕩，而在時間上有滯后現(xiàn)象，對簡諧場而言，表現(xiàn)為相位滯后，及D與E的關(guān)系中不再是純實數(shù)，而是一個復(fù)數(shù)。這兩種情況均可利用復(fù)數(shù)介電常數(shù)來表示，因此，復(fù)數(shù)傳播常數(shù)可寫為：d的計算(介質(zhì)引起的損耗)2/4/2023實際上大部分介質(zhì)材料的損耗都很小(損耗正切tan<<1)，所以這個表示可用臺勞級數(shù)的前兩項來簡化為：對于無耗介質(zhì)，由此得到均勻有耗介質(zhì)的介質(zhì)衰減常數(shù)為：2/4/2023通常波導(dǎo)中填充空氣介質(zhì)，其損耗極小，因而我們主要考慮波導(dǎo)壁上的損耗。矩形波導(dǎo)TE10波的衰減常數(shù)c及各種波型衰減的比較如圖所示。2/4/20235、矩形波導(dǎo)的截面尺寸選擇傳播主模TE10模的波導(dǎo)截面尺寸條件綜合考慮抑制高次模，損耗小和傳輸功率大等條件，一般選擇波導(dǎo)尺寸確定后，不出現(xiàn)高階模，工作波長范圍2/4/2023以矩形波導(dǎo)為例，盡管在z方向它們只可能是入射波加反射波，但是由于橫向邊界條件，它們由TEmn和TMmn波組成并且它們只能由TEmn和TMmn波組成(后者，我們稱之為完備性)，矩形波導(dǎo)中這些波的完備集合——即簡正波。任何情況的可能解，只能在簡正波中去找，具體場合所不同的僅僅是比例和組合系數(shù)，事實上，這樣就把求復(fù)雜場函數(shù)的問題變換成求各個模式的系數(shù)。6、關(guān)于簡正波的討論2/4/2023

矩形波導(dǎo)的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有廣義傳輸線功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于邊界條件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上稱之為離散譜。有限邊界構(gòu)成離散譜。

m—x方向變化的半周期數(shù)；

n—y方向變化的半周期數(shù)。矩形波導(dǎo)中TE波和TM波的全部集體構(gòu)成簡正波。

2/4/20231.完備性矩形波導(dǎo)中不論放置什么障礙物和邊界條件，它們里邊存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它們也只能存在TEmn和TMmn模式，具體情況所不同的僅僅是各種模式的比例與組合。2.正交性簡正模中各個模式是相互正交的，也就是說，它們之間沒有功率和能量交換，即各模式相互獨立，在Fourier分析中表明2/4/2023保證了每一模的獨立性。

3.傳輸模和雕落模由于頻率的選擇，每一種模都有可能成為傳輸模或雕落模。2/4/2023截止波數(shù)傳輸模凋落模2/4/2023主模TE10模小結(jié)2/4/20232/4/2023TE10波表達式，是以為領(lǐng)矢矢量的。然而，在實用上也常有用作領(lǐng)矢矢量2/4/2023最終得到2/4/2023

(2)Pbr與有關(guān)設(shè)00.50.91.01f(x)x很明顯，x愈接近1則功率容量愈低，且x<0.5會出現(xiàn)其它模式。功率容量2/4/2023在電磁理論中已經(jīng)講過波導(dǎo)管壁的傳導(dǎo)電流分布是由管內(nèi)磁場的切向分量所決定。HtJsn2/4/20232/4/2023在波導(dǎo)中凡是切斷電流的都要引起輻射和損耗，所以，波導(dǎo)與法蘭的連接一定要密切配合。2/4/2023一般認為波導(dǎo)空間(AirSpace)是無耗的，所謂衰減是指電流的壁損耗。假定P0是理想導(dǎo)體波導(dǎo)的傳輸功率，則單位長度內(nèi)的功率損耗在波導(dǎo)內(nèi)表面壁ds=dldz上衰減功率2/4/2023xzy0dzdlJsm——表面電流密度；Rs——表面電阻2/4/2023而輸入功率0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023［例1］BJ-100波導(dǎo)，a×b=22.86×10.16mm2，求單模傳輸?shù)牟ㄩL范圍和頻率范圍。［解］已經(jīng)知道單模傳輸條件是λcmn＜λ＜2a2/4/2023十分明顯，第二模式是λc20=22.86mm。因此，單模傳輸2/4/20233.2圓形波導(dǎo)

圓波導(dǎo)是橫截面為圓形的空心金屬管，如圖所示，其尺寸半徑為R。1.圓波導(dǎo)的提出來自實踐的需要。例如，雷達的旋轉(zhuǎn)搜索。如果沒有旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，那只好發(fā)射機跟著轉(zhuǎn)。象這類應(yīng)用中，圓波導(dǎo)成了必須要的器件。以后要用到的極化衰減器，多?；虿y喇叭，都會應(yīng)用到圓波導(dǎo)?？梢赃@樣說,幾何對稱性給圓波導(dǎo)帶來廣泛的用途和價值2/4/20232.從力學(xué)和應(yīng)力平衡角度，機加工圓波導(dǎo)更為有利，對于誤差和方便性等方面均略勝矩形波導(dǎo)一籌。

3.根據(jù)微波傳輸線的研究發(fā)現(xiàn)：功率容量和衰減是十分重要的兩個指標。這個問題從廣義上看引出一個品質(zhì)因數(shù)F很明顯，在相同周長的條件下，圓面積最大。2/4/20234.矩形波導(dǎo)中存在的一個矛盾當我們深入研究波導(dǎo)衰減，發(fā)現(xiàn)矩形波導(dǎo)中TE10模頻率升高時衰減上升很快。仔細分析表明，衰減由兩部分組成：一部分稱縱向電流衰減，另一部分是橫向電流衰減。當頻率升高時，橫向電尺寸加大，使橫向電流衰減反而減少。這樣所構(gòu)成的矛盾因素使衰減有了極小值，極小值之后形成頻率升高時衰減增加。而以后在圓波導(dǎo)中將會發(fā)現(xiàn)，有的波型(圓波導(dǎo)中H01波型)無縱向電流，因此，若采用這種波型會使高頻時衰減減小。0fαb=0.1ab=0.5a2/4/2023圓波導(dǎo)H01波衰減矩形波導(dǎo)TE10波衰減0f0fαα縱向電流橫向電流橫向電流αmin2/4/2023圓波導(dǎo)具有軸對稱性，故宜采用圓柱坐標來分析。由于圓波導(dǎo)具有損耗較小和雙極化的特性，所以常用作天線饋線和微波諧振腔，也可作較遠距離的傳輸線。2/4/2023由橫—縱向場方法，可得縱向場分量滿足如下亥姆霍茲方程：

一、圓形波導(dǎo)的導(dǎo)模1.圓形波導(dǎo)一般解如圖所示,在圓柱坐標2/4/2023以TE波作為例子，這時Ez=02/4/2023

有限條件：有限性

周期性：

理想導(dǎo)體條件：切向分量為零其解分別是其中c1，c2，c3，c4為常數(shù)。m=0，1，2，…為整數(shù)。邊界條件：m階諾依曼函數(shù)2/4/2023本征解2.縱向分量法利用縱向分量表示橫向分量2/4/20232/4/2023邊界條件TE導(dǎo)波TM導(dǎo)波2/4/2023令為貝賽爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根，本征值二、TE波場分量表達式2/4/2023圓波導(dǎo)中TE波截止波長值波型H11H21H01

1.8413.0543.832

3.41a2.06a1.64a

2/4/2023應(yīng)用分離變量法，并考慮到邊界條件及Bessel函數(shù)的漸進性質(zhì)，可得各TE模式的縱向場分量分別為：TE模(TEModes)2/4/2023

式中，為的根。第一類貝塞耳函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)曲線如圖所示。結(jié)果表明，圓波導(dǎo)中可以存在無窮多種TE導(dǎo)模，以TEmn表示。場量沿圓周和半徑方向都呈駐波分布，而且，沿圓周按三角函數(shù)規(guī)律分布，沿半徑按貝塞耳函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)規(guī)律分布。m除表示貝塞耳函數(shù)的階數(shù)2/4/2023

之外，同時還表示場量沿圓周分布的整駐波個數(shù)；n除表示貝塞耳函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)的根的序號之外，同時還表示場量沿半徑分布的半駐波個數(shù)(即場量出現(xiàn)最大值的個數(shù))。截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數(shù)：2/4/2023完全類似，用邊界條件確定kc在r=a處,Ez=0也即設(shè)第一類Bessel函數(shù)m階第n個根為umn，則即可得到

三、TM波場分量表達式2/4/2023其中是的根。b.TM模(TMModes)2/4/2023結(jié)果表明，圓波導(dǎo)中可以存在無窮多種TM導(dǎo)模，以TMmn表示。波形指數(shù)m、n的意義與TEmn相同。截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數(shù)：2/4/2023圓波導(dǎo)TM波截止波數(shù)kc

波型E01E11E212.4053.8325.1352.62a1.64a1.22a2/4/2023基本結(jié)論：圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸條件是c>或fc<f；導(dǎo)模的截止也是由于消失模的出現(xiàn)。圓波導(dǎo)中的導(dǎo)模存在兩種簡并現(xiàn)象：一種是TE0n模與TM1n模簡并，即有cTE0n=cTM1n;另一種是m0的TEmn或TMmn模的極化簡并。圓波導(dǎo)的主模是TE11模，其截止波長最長，cTE11＝3.14a；幾種典型波型截止波長分布如圖所示.2/4/2023

1.圓波導(dǎo)中TE波和TM波有無限多個n=0表示第0個根，也即，也即TEm0，TMm0波不存在。但是它卻可以存在TE0n，TEmn，TM0n和TMmn波，其中m=0表示在圓周方向不變化。2.TE波截止波長取決于m階Bessel函數(shù)導(dǎo)數(shù)第n個根

TM波截止波長取決于m階Bessel函數(shù)第n個根四、圓形波導(dǎo)的簡并2/4/20233.圓波導(dǎo)中的兩種簡并1)極化簡并——即和兩種，相互旋轉(zhuǎn)90°

圓波導(dǎo)波型的極化簡并，使傳輸造成不穩(wěn)定，這是圓波導(dǎo)應(yīng)用受限制的主要原因。0a2a3a4alcHE0111H21E01H11Cut-offRegion圓波導(dǎo)的截止與傳播區(qū)域2/4/2023即對同一

n、i而言，場沿

j方向(圓周方向)分別存在著sinnj和cosnj兩個線性無關(guān)的獨立成分，但其lc相同，傳播特性相同,只是極化面旋轉(zhuǎn)了90°，這種簡并稱為極化簡并。當n=0時，sin

nj

=0,其模式在j

方向(圓周方向)無變化。故而，在園波導(dǎo)中，除TE0i、TM0i模外，其余模都存在極化簡并。這種簡并在園波導(dǎo)中很難避免，給實際應(yīng)用帶來一些困難。當n時，2/4/20232）E1n和H0n（簡并）（截止波長λc相同）這是因為Bessel函數(shù)有遞推公式取n=0，有和矩形波導(dǎo)不同，由于TE，TM截止波長的不同物理意義，TEmn和TMmn不發(fā)生簡并4.波型指數(shù)m，n的含義

m代表沿圓周φ分布的整駐波數(shù)n代表沿半徑r分布場的最大值個數(shù);因為Hon是的第n個根，E1n是J1的第n個根，很顯見，這兩類波型將發(fā)生簡并。2/4/2023

TE11模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電場分布；圖(c)為圓波導(dǎo)壁上的壁電流分布。圓波導(dǎo)中三種主要波型，即TE11模，TM01模TE01模。

1.傳輸主?！猅E11模在圓波導(dǎo)中，H11模截止波長最長，λc=3.412a，是最低型波也即傳輸主模。五、圓形波導(dǎo)中三種主要波型2/4/2023H11模中的m=1，n=1，=1.8412/4/2023m=1n=1090180270360ooooojErEj0RrJ`1rEraE==ˉ==00

jjmaxjjjj=°==°?=°==°?-00901800270

EEEErrrrmaxmax2/4/2023與矩形波導(dǎo)TE10模場結(jié)構(gòu)相似，因此圓波導(dǎo)TE11?？捎删匦尾▽?dǎo)TE10模來激勵。如圖所示。存在極化簡并，所以一般情況下不宜采用TE11模來傳輸微波能量和信號。利用TE11模的極化簡并可以構(gòu)成一些雙極化元件。TE11模特點2/4/20232、低損耗TE01模()TE01場結(jié)構(gòu)具有軸對稱性，在波導(dǎo)內(nèi)表面上只有表面電流J,而沒有縱向電流，因此導(dǎo)體損耗較小，使其適宜于作微波長距離低損耗傳輸與高Q值圓柱諧振腔的工作模式。由于TE01模不是圓波導(dǎo)的主模，而且又與TM11互為簡并波型，因此使用時需設(shè)法抑止其它的低次模傳輸。半徑為25mm的銅質(zhì)圓波導(dǎo)的衰減常數(shù)曲線：2/4/2023

TE01模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布。

TE01模常作為高Q諧振腔和遠距離的毫米波傳輸線的工作模式。另外由于它是圓電模，也可作為連接元件和天線饋線系統(tǒng)的工作模式。但由于它不是主模，因此該模式作為工作模式時，必須設(shè)法抑制其它模式。2/4/2023場方程是截止波長2/4/2023m=0

圓對稱在方向不變n=1EHrJxxRrraarj,()......沿方向有一最大值在有極大值116413832164116413832048===?E,Hjr0r0.48aaHz0r0.48a

2/4/2023可見電流只有—φ方向分量，也即H01模壁電流只有橫向分量，衰減α隨f上升而下降為了揭示H01的小衰減特點，讓我們考察其壁電流2/4/20233、圓對稱TM01模（）圓波導(dǎo)的最低橫磁模，是圓波導(dǎo)的次主模，沒有簡并。由于TM01的場結(jié)構(gòu)具有軸對稱性，而且易于與矩形波導(dǎo)中的TE10模發(fā)生耦合，因此，在具有旋轉(zhuǎn)連接的饋線中常用到這種型。如圖所示。2/4/2023TM01模的場分布如圖所示。其中圖(a)表示橫截面上的電磁場分布；圖(b)表示縱剖面上的電磁場分布；圖(c)為壁電流的分布。TM01模適用于微波天線饋線旋轉(zhuǎn)鉸鏈的工作模式。由于它具有Ez分量，便于和電子交換能量，可作電子直線加速器的工作模式。但由于它的管壁電流具有縱向電流，故必須采用抗流結(jié)構(gòu)的連接方式。2/4/2023其場方程為2/4/2023E01模的m和nm=0軸對稱型沿方向場分量不變n=10jE,HrjEz00rr0.765RRJ`(x)0J(x)0R

2/4/2023旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(RatationJunction)由于E01波的特點，常作雷達的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，見圖所示2/4/2023作為比較所以，H01波可以做高Q諧振腔和毫米波遠距離傳輸。2/4/20230faE01H11H012/4/2023為TE11波的截止頻率TE11波衰減極值點：TM01波衰減極值點：0faE01H11H012/4/2023圓波導(dǎo)波型設(shè)計H11模E01模H01模lllllllCECHRaaa0111341262262a34113＜＜＜＜＜＜一般選

....?llllllCHCEaaa2101206262262206＜＜＜＜＜＜....

llllllCECHaaa2101122164164122＜＜＜＜＜＜....

2/4/20232/4/2023圓波導(dǎo)復(fù)習(xí)圓波導(dǎo)具有軸對稱性，故宜采用圓柱坐標來分析。1.圓形波導(dǎo)一般解橫—縱向場方法2/4/2023以TE波作為例子，這時Ez=0本征解2/4/2023

有限條件：有限性

周期性：

理想導(dǎo)體條件：切向分量為零邊界條件：2/4/2023TE波場分量表達式截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數(shù)：2/4/2023TM波場分量表達式截止波長和截止頻率波阻抗與傳播常數(shù)：2/4/2023基本結(jié)論：圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸條件是c>或fc<f；導(dǎo)模的截止也是由于消失模的出現(xiàn)。圓波導(dǎo)中的導(dǎo)模存在兩種簡并現(xiàn)象：一種是TE0n模與TM1n模簡并，即有cTE0n=cTM1n;另一種是m0的TEmn或TMmn模的極化簡并。圓波導(dǎo)的主模是TE11模，其截止波長最長，cTE11＝3.14a.由于場的極化方向具有不確定性使波導(dǎo)在Ф方向可能存在cos或sin兩種可能的分布。二者獨立存在，相互正交，具有相同的截止波長—極化簡并。2/4/2023圓形波導(dǎo)中三種主要波型2/4/20232/4/20232/4/20232/4/2023 同軸線是一種典型的雙導(dǎo)體傳輸系統(tǒng),是最常見的TEM模傳輸線。它分為硬、軟兩種結(jié)構(gòu)。硬同軸線是以圓柱形銅棒作內(nèi)導(dǎo)體,同心的銅管作外導(dǎo)體,內(nèi)、外導(dǎo)體間用介質(zhì)支撐,這種同軸線也稱為同軸波導(dǎo)。 軟同軸線的外導(dǎo)體是銅絲網(wǎng),在內(nèi)、外導(dǎo)體間用介質(zhì)填充,外導(dǎo)體網(wǎng)外有一層橡膠保護殼,這種同軸線又稱為同軸電纜。 早先認為同軸線是TEM傳輸模式，研究業(yè)已結(jié)束。當我們把精力轉(zhuǎn)向矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)時，人們又突然想到既然在波導(dǎo)中可以存在無窮多種模式，那么同軸線為什么就不行呢？于是，又對同軸線打——“回馬槍”。同軸線與波導(dǎo)不同，它有著中心導(dǎo)體，其主模均是TEM模。3.3同軸線2/4/2023a、同軸線為圖示雙導(dǎo)體系統(tǒng)，因而其中既可存在TEM波，又可存在TE、TM波。b.TEM波是工作波型，它沒有截至現(xiàn)象，其傳輸不受頻率限制。當同軸線的橫向尺寸過大時，同軸線中除了傳輸TEM

波之外，還將出現(xiàn)高次模，通常這是不希望的。因此，為了保證TEM波的單模傳輸，必須確定高次模中截止波長最長的模。2/4/20231、同軸線傳輸主?！猅EM模(1)TEM模的場分量和場結(jié)構(gòu)

同軸線傳輸?shù)闹髂Ｊ荰EM模，這種模將TEM模橫向分布函數(shù)滿足的二維拉普拉斯方程：同軸線中TEM模的場結(jié)構(gòu)如圖2/4/2023TEM模的場分量和場結(jié)構(gòu)從，引入位函數(shù)又2/4/2023勢滿足拉普拉斯方程邊界條件令2/4/2023不隨φ變化2/4/20232/4/2023(2)同軸線中TEM模的特性參量對于同軸線中的TEM模，

相移常數(shù)為:相速與光速的關(guān)系為:特性阻抗為:波導(dǎo)波長為：2/4/20232、E波的截止波長

由橫—縱向場方法，可得縱向場分量滿足如下亥姆霍茲方程：邊界條件為：應(yīng)用分離變量法，并考慮到邊界條件，可得各模式的縱向場分量分別為：在同軸線中，除傳輸TEM主模外，還可能傳輸高次?！猅E模和TM模。但在實際應(yīng)用中，同軸線是以TEM模工作的。2/4/2023

（1）式稱為同軸線E波的特征方程。由此可解出kc。kc的解有無窮多個，每個對應(yīng)一個波型和一個截止波長。（1）式是超越方程，嚴格求解很困難，一般用圖解法或數(shù)值法或解析近似法求解。以解析近似法為例，當宗量|x|>>1時，由Bessel函數(shù)和Neuman函數(shù)的漸進性質(zhì)，可得2/4/2023由此可得：3、H波的截止波長用類似的方法可得H波的特征方程為：最低次E01模的截至波長對m=0的情況，利用Bessel函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，有：2/4/2023此式與m=1時E波的關(guān)系式相同，于是：對m0的情況，要用數(shù)值方法求解，其近似解為：最低次H11模的截至波長：2/4/20234、單模傳輸條件由以上可以看出，同軸線中截止波長最長的波是H11波。因此，為了保證同軸線單模傳輸，必須使H11波截止，即使工作波長2/4/2023設(shè)計同軸線需選擇它的內(nèi)、外導(dǎo)體半徑a和b。并考慮以下幾個因素：在工作頻帶內(nèi)，保證工作波型TEM的單模傳輸；功率容量要大；損耗要小。5、同軸線尺寸選擇同軸線只傳播TEM模，最低次導(dǎo)模為TE11模，截止波長最大，應(yīng)滿足6、同軸線的應(yīng)用問題2/4/2023

同軸線的功率容量受介質(zhì)材料擊穿電場強度的限制，為此先求出極限功率Pbr和介質(zhì)的擊穿場強Ebr之間的關(guān)系。設(shè)同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓幅度為Vm，則傳輸功率為：計算極限功率Pbr

Vm可通過同軸線中TEM的電場強度的幅度Em來計算：代入同軸線的特性阻抗，得2/4/2023

當同軸線中的最大電場強度達到擊穿場強Ebr時，功率P達到極限值。由最后得若填充介質(zhì)為空氣，則在介質(zhì)一定的情況下，Pbr與a和b有關(guān)。如果，令b不變，只改變a令若填充介質(zhì)為空氣，則相應(yīng)于該尺寸的同軸線的特性阻抗約為2/4/2023

R為同軸線單位長度的電阻：同軸線的衰減常數(shù)為：

計算同軸線的衰減常數(shù)

最后得由上面可以看出，獲得最大功率容量和最小衰減的條件并不相同，如果兩者兼顧，可取b/a=2.303。此時衰減比最佳值約大10％，功率容量比最大值約小15％。這時的特性阻抗為50（以空氣填充為例，硬同軸線）。在微波波段，同軸線的特性阻抗常取50和75兩種。由

可得2/4/2023 實際使用的同軸線的特性阻抗一般有50Ω和75Ω兩種。50Ω(b/a=2.3)的同軸線兼顧了耐壓、功率容量和衰減的要求,是一種通用型同軸傳輸線；75Ω的同軸線是衰減最小的同軸線,它主要用于遠距離傳輸。2/4/2023用同軸線作傳輸能量的傳輸線時，高次模有害，應(yīng)當避免。但同軸線中的高次模有時是有用的。圖示為一種應(yīng)用了同軸線中高次模的復(fù)合饋源，其內(nèi)導(dǎo)體是傳輸TE11模的圓波導(dǎo)管，同時它又與外導(dǎo)體一起構(gòu)成了一端短路的同軸線。該饋源用圓波導(dǎo)中的H11模激勵，只要短路同軸線的長度l、同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體直徑1、2選擇得合適，口面處圓波導(dǎo)的H11模疊加形成的口徑場，可使饋源的方向圖形狀和張角十分接近拋物面天線所需要的理想饋源方向圖。2/4/20232/4/2023正規(guī)模的定義： 均直無耗金屬波導(dǎo)中的TE模 和TM模。 包括無窮多個結(jié)構(gòu)不同的TEmn和TMmn模式，彼此相互獨立，單獨存在，也可同時并存→麥克斯韋方程的兩套基本的獨立解。波導(dǎo)正規(guī)模的重要特性對稱性正交性完備性3.4波導(dǎo)正規(guī)模的特性2/4/2023對稱性： 正規(guī)模的電場和磁場對時間和距離具有對稱函數(shù)和反對稱函數(shù)a.正規(guī)模的電場和磁場波函數(shù)對時間t分別為對稱函數(shù)和反對稱函數(shù)，即有：

或b.正規(guī)模的電場和磁場的波函數(shù)關(guān)于縱坐標z的對稱性。橫向電場Et與縱向磁場Hz是坐標z的對稱函數(shù)；橫向磁場Ht與縱向電場Ez是坐標z的反對稱函數(shù)，即有下標1為＋t的場，下標2為－t的場，2/4/2023如果時間t和傳播方向（即坐標z）同時變換符號，則電場和磁場應(yīng)同時滿足以上幾式，對稱性則變成：下標1為＋z方向的場，下標2為－z方向的場，下標i為模式指數(shù)，i＝{m,n}2/4/2023結(jié)論：正規(guī)模的電場和磁場的橫向分量或縱向分量相互同相，而橫向分量與縱向分量成90°相位差。故對于正規(guī)模，是傳輸能量。c.對于截止模，不存在變換z的符號問題，只有時間對稱關(guān)系：

可見Ei是實數(shù)，而Hi是虛數(shù)，兩者相位差90°。故對于截止?；蛳?，不是傳輸能量，而是虛功，是儲能。正規(guī)模的對稱性是麥克斯韋方程對稱性和規(guī)則波導(dǎo)本身對稱性的必然結(jié)果。

2/4/2023正交性：正交性是正規(guī)模的一種基本特性。在確定組成波導(dǎo)中的電磁場各模式的系數(shù)時，都必須應(yīng)用正規(guī)模的正交特性。兩個模式之間有能量交換稱為“耦合”，沒有能量交換為“無耦合”或“正交”。本征函數(shù)具有正交特性本征函數(shù)表征波導(dǎo)的正規(guī)模也就具有正交特性。2/4/2023

定理1：設(shè)i和j是規(guī)則波導(dǎo)中第i個和第j個TE?；騎M模的縱向場分量，其kc值分別為kci和kcj，當kcikcj時，恒有

式中S是規(guī)則波導(dǎo)的橫截面。該定理表明，兩個非簡并的TE或TM模的縱向場分量正交。如果兩個模簡并，即kci＝kcj，則應(yīng)取上述模簡模的適當線性組合，例如取i＝i、j＝j(luò)＋j，形成亞模i和j

，只要取待定常數(shù)為：則亞模i和j

正交。因此，在一般討論中，假定kcikcj，并不影響最后結(jié)論。2/4/2023

定理2：編號為i和j的兩個不同的TE?；騎M模的橫向電場分量，以及一個TM模和一個TE模的橫向電場分量相互正交。即

式中上角標e表示TM波、m表示TE波2/4/2023

定理3：編號為i和j的兩TE模或TM模的橫向磁場分量，以及一個TM模和一個TE模的橫向磁場分量相互正交。即

式中上角標e表示TM波、m表示TE波

定理4：在無耗波導(dǎo)中，若存在幾個非簡并的傳輸模，則這些傳輸模所傳輸?shù)目偣β实扔诿總€模單獨存在時傳輸?shù)墓β手?。即非簡并的模之間沒有功率耦合，具有功率正交性。

2/4/2023(5)模式間正交(6)模式函數(shù)正交性 推廣為 （歸一化）2/4/2023完備性 如前所述，波導(dǎo)正規(guī)模是本征函數(shù)的乘積，而本征函數(shù)系是完備的，所以正規(guī)模必然是完備的。

波導(dǎo)中的任意電磁場都可以用正規(guī)模疊加來代表，即用正規(guī)模的展開式來表示。2/4/2023波導(dǎo)中的任意電磁場的橫向場可以表示為（沿正z方向傳播情況）：系數(shù)和可用正交關(guān)系像確定傅立葉級數(shù)的系數(shù)那樣來確定。和可以屬于TE?；騎M模。

令2/4/2023則上式還可寫為式中和稱為第i模式的模式電壓和模式電流。當波導(dǎo)中傳輸任意場時，所傳輸?shù)目偣β蕿?/4/2023結(jié)果表明，波導(dǎo)中傳輸任意場時的總功率等于每個正規(guī)模所攜帶功率之總和，而各模式之間沒有能量耦合。正如前面所討論的色散導(dǎo)波系統(tǒng)，如矩形波導(dǎo)或圓波導(dǎo).其TE和TM模的場解為：而場解的分量可能存在的完備形式為：2/4/2023具體TEmn和TMmn的場分量2/4/20233.5不均勻性引起模式耦合正交性→只存在于均直無耗傳輸系統(tǒng)中不均勻性→引起模式之間的能量耦合。不均勻性→z方向上橫截面發(fā)生變化→截面邊界條件的改變，或者局部引入介質(zhì)等。矩形波導(dǎo)為例，其交叉功率2/4/2023或，有I＝0→三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)在積分區(qū)間取波導(dǎo)截面的整個區(qū)域和時才成立→均勻波導(dǎo)→正交性不均勻性，假設(shè)寬邊兩側(cè)種插入一片金屬薄片，在不均勻區(qū)即a→a‘a(chǎn)‘2/4/2023

因為交叉功率的積分I中對的積分區(qū)域由a變?yōu)閍’，這樣，即使模式標號的兩個不同模式，I中對x的積分也不一定等于零了，因此，m1≠m2，n1≠n2的不同模式之間就不一定正交?！捎诮饘倨牟迦耄沟媚Ｊ綐颂杕不同的模式之間可能發(fā)生能量的交換→原來邊界條件下的正交本征函數(shù)對于新的邊界條件不再正交了，因此就出現(xiàn)了模式之間的耦合。 在均勻區(qū)，導(dǎo)波系統(tǒng)