第10章先進控制GPC

第

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章廣義預(yù)測控制10.1算法原理 10.1.1預(yù)測模型 10.1.2丟番圖方程的解法 10.1.3滾動優(yōu)化 10.1.4在線辨識與校正

10.1算法原理10.1.1預(yù)測模型在GPC中，采用了最小方差控制中所用的受控自回歸積分滑動平均（ControlledAuto-RegressiveIntegratedMovingAverage，CARIMA）模型來描述受到隨機干擾的對象。

考慮如下SISO（單入單出）CARIMA模型

式中

(10.1.1)10.1.1預(yù)測模型式中，是后移算子，表示后退一個采樣周期的相應(yīng)的量，即，；為差分算子，是均值為零的白噪聲序列。、、都是的多項式，其中多項式的若干首項元素可以是零，以表示對象相應(yīng)的時滯數(shù)。例如，對有拍時滯的系統(tǒng)，，。（不能都為零）為了突出方法原理，這里假設(shè)。這樣，式(10.1.1)實際上用脈沖傳遞函數(shù)給出了對象的描述，即由輸入到輸出間的脈沖傳遞函數(shù)為

為了利用模型式(10.1.1)導(dǎo)出步后輸出的預(yù)測值，首先考慮下述丟番圖（Diophantine）方程：

(10.1.2)10.1.1預(yù)測模型

其中，、是由和預(yù)測長度唯一確定的多項式，表達為

在式(10.1.1)兩端乘以，得

由丟番圖方程式(10.1.3)推得

(10.1.3)10.1.1預(yù)測模型可得將左邊展開移相，得到步后的輸出值

因此可以寫出時刻的輸出預(yù)測值為：

注意到、的形式，可以知道：與有關(guān)；與有關(guān)；與有關(guān)。

(10.1.4)10.1.1預(yù)測模型

由于在時刻未來的噪聲都是未知的，所以對最合適的預(yù)測值可由下式得到：在式(10.1.5)中，記。結(jié)合式(10.1.3)可得

因此，多項式中前項的系數(shù)正是對象階躍響應(yīng)前項的采樣值，記做，…，。再引入另一丟番圖方程：

(10.1.5)(10.1.6)10.1.1預(yù)測模型

其中

則由式(10.1.4)和式(10.1.5)可以得到式(10.1.4)、式(10.1.5)、式(10.1.7)和式(10.1.8)都可作為GPC的預(yù)測模型。這樣，根據(jù)已知的輸入輸出信息及未來的輸入值，就可以預(yù)測對象未來的輸出。

(10.1.7)(10.1.8)10.1.2丟番圖方程的解法為了由式(10.1.4)或式(10.1.5)預(yù)測未來輸出，必須首先知道、。對于不同的，這相當于并行地求解一組丟番圖方程式(10.1.3)，其計算量是很大的。為此，Clarke給出了一個、的遞推算法。首先，根據(jù)式(10.1.3)可寫出兩式相減可得

10.1.2丟番圖方程的解法記則可得等式(10.1.9)恒成立的一個必要條件是：中所有階次小于的項為零。由于的首項系數(shù)為1，很容易得出結(jié)論：使式(10.1.9)恒成立的必要條件是

(10.1.9)(10.1.10)10.1.2丟番圖方程的解法進而，使式(10.1.9)成立的充要條件是式(10.1.10)和式(10.1.11)成立：

將式(10.1.11)等式兩邊各相同階次項的系數(shù)逐一比較，得到這一系數(shù)的遞推關(guān)系亦可用矢量形式記為

(10.1.11)10.1.2丟番圖方程的解法其中

此外還可得系數(shù)遞推公式為

當時，方程式(10.1.3)為

10.1.2丟番圖方程的解法故應(yīng)取、為、初值。這樣，、便可按式(10.1.12)來遞推計算：

(10.1.12)10.1.3滾動優(yōu)化在GPC中，時刻的優(yōu)化性能指標具有以下形式：其中，表示取數(shù)學(xué)期望；為對象輸出的期望值；和分別為優(yōu)化時域的起始與終止時刻；為控制時域，即在步后控制量不再變化：

為控制加權(quán)系數(shù)，為簡化考慮一般?？杉僭O(shè)其為常數(shù)。在式(10.1.13)中，對象輸出的期望值可采用MAC中參考軌跡的形式，即

(10.1.13)10.1.3滾動優(yōu)化其中稱為柔化因子，是輸出設(shè)定值。利用預(yù)測模型式(10.1.5)，得到

(10.1.14)10.1.3滾動優(yōu)化其中均可由時刻已知的信息以及計算。

如果記

(10.1.15)10.1.3滾動優(yōu)化

并且注意到是階躍響應(yīng)系數(shù)，則可得其中

(10.1.16)10.1.3滾動優(yōu)化用替換式(10.1.13)中的，從而把性能指標寫成矢量形式：

其中

這樣，當非奇異時，得到使性能指標式(10.1.13)最優(yōu)的解：即時最優(yōu)控制量則可由下式給出：其中，是矩陣的第一行。也可以進一步根據(jù)式(10.1.8)將輸出預(yù)測寫成如下向量形式：

(10.1.17)(10.1.18)10.1.3滾動優(yōu)化

其中從而把性能指標寫成矢量形式

10.1.3滾動優(yōu)化

這樣，當非奇異時，得到最優(yōu)控制律如下：

由于采用了數(shù)學(xué)期望，不出現(xiàn)在上面的控制律中。即時最優(yōu)控制量則可由下式給出：(10.1.19)10.1.4在線辨識與校正

考慮將對象模型式(10.1.1)改寫為

可得其中，。把模型參數(shù)與數(shù)據(jù)參數(shù)分別用矢量形式記為則可將上式寫做

10.1.4在線辨識與校正

在此，可用漸消記憶的遞推最小二乘法估計參數(shù)矢量：其中，為遺忘因子，常可選；為權(quán)因子；為正定的協(xié)方差陣。在控制起動時，需要設(shè)置參數(shù)矢量和協(xié)方差陣的初值，通?？闪睿?，是一個足夠大的正數(shù)。在控制的每一步，首先要組成數(shù)據(jù)矢量，然后就可由式(10.1.20)先后求出、和。