第4章 排列、組合與概率

第4章排列、組合與概率分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理排列組合4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

問(wèn)題1某人從甲地到乙地，可以乘汽車(chē)、輪船或火車(chē)，一天中汽車(chē)有3班，輪船有2班，火車(chē)有1班．一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？實(shí)例考察

問(wèn)題2某人從甲地出發(fā)，經(jīng)過(guò)乙地到達(dá)丙地．從甲地到乙地有A，B，C共3條路可走；從乙地到丙地有a，b共2條路可走．那么，從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地共有多少種不同的走法？4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）：如果完成一件事有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有k1種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有k2種不同的方法……在第n類(lèi)辦法中有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有

N＝k1＋k2＋…＋kn

種不同的方法．4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理如果一件事需要分成n個(gè)步驟完成，做第1步有k1種不同的方法，做第2步有k2種不同的方法……做第n步有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有

N＝k1×k2×…×kn

種不同的方法．例題解析

例1書(shū)架上層放有5本不同的語(yǔ)文書(shū)，中層放有6本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，下層放有4本不同的外語(yǔ)書(shū)．求解下列問(wèn)題：

（1）從中任取1本，有多少種不同的取法？

（2）從中任取語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)書(shū)各1本，有多少種不同的取法？4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

解（1）從書(shū)架上任取1本書(shū)，有3類(lèi)辦法：第1類(lèi)辦法是從上層取語(yǔ)文書(shū)，可以從5本書(shū)中任取1本，有5種方法；第2類(lèi)辦法是從中層取數(shù)學(xué)書(shū)，可以從6本書(shū)中任取1本，有6種方法；第3類(lèi)辦法是從下層取外語(yǔ)書(shū)，可以從4本書(shū)中任取1本，有4種方法．根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是

N＝5＋6＋4＝154.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

（1）從中任取1本，有多少種不同的取法？解從書(shū)架上任取語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)書(shū)各1本，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步是從上層取1本語(yǔ)文書(shū)，有5種方法；第2步是從中層取1本數(shù)學(xué)書(shū)，有6種方法；第3步是從下層取1本外語(yǔ)書(shū)，有4種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是

N＝5×6×4＝120

4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理（2）從中任取語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和外語(yǔ)書(shū)各1本，有多少種不同的取法？例2甲、乙兩個(gè)同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，出手一次，共有多少種不同的情況發(fā)生？如果三個(gè)人做此游戲，出手一次，又有多少種不同的情況發(fā)生？4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

分析雖然甲、乙兩個(gè)同學(xué)是同時(shí)出手，但不妨看作甲先出手、乙后出手，這是兩個(gè)接連進(jìn)行的過(guò)程．解甲出手有3種選擇，乙出手也有3種選擇，所以?xún)扇俗鲇螒虺鍪忠淮?，共?×3＝9種不同的情況．類(lèi)似地，如果甲、乙、丙三人做此游戲，出手一次，共有3×3×3＝27種不同的情況．

課堂練習(xí)1．在一次讀書(shū)活動(dòng)中，指定的書(shū)目包括：不同的文學(xué)書(shū)3本，歷史書(shū)5本，科技書(shū)7本，某同學(xué)任意選讀其中1本，共有多少種不同的選法？2．某班三好學(xué)生中男生有5人，女生有4人，從中任選1人去領(lǐng)獎(jiǎng)，共有多少種不同的選法？從中任選男女各1人去參加座談會(huì)，共有多少種不同的選法？4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理3．某手機(jī)生產(chǎn)廠(chǎng)為某種機(jī)芯設(shè)計(jì)了3種不同的外形，每種外形又有5種不同色彩的外殼及6種不同的屏幕背景燈光，問(wèn)這種手機(jī)共可設(shè)計(jì)多少種不同的款式？

4．由1，3，5，7這4個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？4.1分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理4.2排列要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，分別安排上日班和晚班，找出所有的選擇方法，將下表補(bǔ)充完整．實(shí)例考察4.2排列有分別編號(hào)的4個(gè)小球和3個(gè)盒子，要選取其中的3個(gè)小球分別放入盒子中，每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，下表已給出兩種放置方法，請(qǐng)你補(bǔ)充列出其余所有方法．一、排列與排列數(shù)的概念4.2排列4.2排列從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素（n，m∈N，m≤n）的所有排列的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)P

表示．mn4.2排列

一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素（n，m∈N

*，m≤n），按照一定的順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．課堂練習(xí)１1．判斷下列問(wèn)題是不是求排列數(shù)的問(wèn)題，如果是，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的排列數(shù)的符號(hào)：

（1）把5只蘋(píng)果平均分給5個(gè)同學(xué)，計(jì)算共有多少種分配方法．（2）從5只蘋(píng)果中取出2只給某位同學(xué)，計(jì)算共有多少種選擇方法．

（3）10個(gè)人互寫(xiě)一封信，計(jì)算共寫(xiě)多少封信．

（4）10個(gè)人互通一次電話(huà)，計(jì)算共通幾次電話(huà)．4.2排列

2．按要求寫(xiě)出排列，并寫(xiě)出相應(yīng)的排列數(shù)的符號(hào)：

（1）3個(gè)元素a，b，c全部取出的所有排列．

（2）從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有排列．4.2排列

4.2排列

二、排列數(shù)公式4.2排列

求排列數(shù)P：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同的元素a1，a2

，a3

，…，an中任取m個(gè)去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列．因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)P.mnmn由此可得排列數(shù)公式：4.2排列排列數(shù)公式的特點(diǎn)是：等號(hào)右邊第1個(gè)因數(shù)是n，后面的每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)為n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)相乘．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，全部填滿(mǎn)m個(gè)空位共有

n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）從n個(gè)不同元素中取出全部n個(gè)元素的一個(gè)排列稱(chēng)為n個(gè)元素的一個(gè)全排列．這時(shí)排列數(shù)公式中m＝n，即有P＝n×（n－1）×（n－2）×…×3×2×1正整數(shù)1，2，3，…，n的連乘積稱(chēng)為n的階乘，記作n！即nn4.2排列

例題解析例1計(jì)算下列各題：4.2排列解（2）本題也可以直接用計(jì)算器計(jì)算．計(jì)算的按鍵過(guò)程為：計(jì)算的按鍵過(guò)程為：4.2排列解由于即解得所以例2若，求4.2排列

例3有5本不同的書(shū)，發(fā)給3名同學(xué)，每人1本，共有多少種不同的分法？35解分書(shū)方法的種數(shù)就是從5本書(shū)中任取3本書(shū)的排列數(shù)，即P＝5×4×3＝60種例4某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的懸掛順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種信號(hào)？4.2排列

（種）解用1面旗表示的信號(hào)有種，用2面旗表示的信號(hào)有種，用3面旗表示的信號(hào)有種.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，所求信號(hào)種數(shù)是4.2排列

例5用0～9這10個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字

的三位數(shù)？解法1符合條件的三位數(shù)可以分為3類(lèi)：第1類(lèi)：每位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，有個(gè).第2類(lèi)：個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)，有個(gè).第3類(lèi)：十位數(shù)字是0的三位數(shù)，有個(gè).根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是4.2排列

解法2因?yàn)榘傥簧系臄?shù)字不能是0，所以可分兩個(gè)步驟來(lái)完成：第1步，先排百位上的數(shù)字，它只能從除0以外的1～9這9個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有P種選法．

第2步，再排十位和個(gè)位上的數(shù)字，它可以從余下的9個(gè)數(shù)字（包括0）中任選兩個(gè)，有P種選法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是1929解法3從0～9這10個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為P，其中0排在百位上的排列數(shù)為P，因此所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是310294.2排列

4.2排列

例6以所有26個(gè)英文字符組成一個(gè)26位的密碼，規(guī)定在一個(gè)密碼中不出現(xiàn)相同的字符，那么可以組成多少種不同的密碼？以單臺(tái)計(jì)算機(jī)去解密，若計(jì)算機(jī)解密的速度是每秒鐘檢查107個(gè)不同的密碼，那么最多需要多少時(shí)間才能解密？（結(jié)果以年為單位，保留6位有效數(shù)字）解26個(gè)英文字符是26個(gè)不同的元素，一個(gè)密碼是26個(gè)元素的一個(gè)全排列，總計(jì)密碼數(shù)是26的全排列數(shù)．所以組成的密碼數(shù)是26?。?jì)算機(jī)解密耗時(shí)最長(zhǎng)的情況是直到最后一個(gè)才檢查到設(shè)置的密碼，此時(shí)耗時(shí)T為

所以，用題中所給計(jì)算機(jī)解密，最多需要時(shí)間約為

12788.3億年．

4.2排列

課堂練習(xí)2１．計(jì)算：2．若，求n。3．由0，1，2，3，5，7，9這7個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？4．（1）7人排隊(duì)，甲必須站在正中間有多少種排法？（2）7人排隊(duì)，甲，乙必須站頭尾有多少種排法

4.2排列

4.3組合在一個(gè)4人（甲、乙、丙、?。﹨⒓拥男⌒凸ぷ鲿?huì)議上，任何一位與會(huì)者都要同其他與會(huì)者每人握手一次．下表已給出兩次握手的雙方名單，請(qǐng)補(bǔ)充列出其他各次握手的雙方名單．實(shí)例考察4.3組合列出各次握手的雙方名單就是要從4個(gè)人中選出兩人，且不計(jì)兩人間的順序，并將各種選法羅列出來(lái)．要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法？請(qǐng)逐一列出．一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（n，m∈N*，m≤n），不考慮順序組成一組，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C表示．mn4.3組合

一、組合與組合數(shù)的概念例題解析（1）在人數(shù)為60人的班級(jí)中，選出5人參加專(zhuān)業(yè)知識(shí)競(jìng)賽，有多少種選法？

（2）由20人組成的足球隊(duì)中，除守門(mén)員外，還需選10人作為首發(fā)陣容，可組成多少種不同的首發(fā)陣容？又要在50名拉拉隊(duì)員中挑選20人前往助陣，有多少種挑選方案？4.3組合

例把下列的問(wèn)題歸結(jié)為組合問(wèn)題，并寫(xiě)出相應(yīng)的組合數(shù)的符號(hào)：4.3組合

（2）除去守門(mén)員，從19位球員中選10人出陣，因?yàn)?0人將分別擔(dān)當(dāng)右后衛(wèi)、左前鋒等不同職責(zé)，因此與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題，共有Ｐ種不同的首發(fā)陣容；選助陣?yán)?duì)員與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，共有Ｃ種挑選方案．

10192050560解（1）一般來(lái)說(shuō)，專(zhuān)業(yè)知識(shí)競(jìng)賽的選手之間無(wú)分工問(wèn)題．所以選擇過(guò)程與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，共有C種選法．課堂練習(xí)１1．把下列的問(wèn)題歸結(jié)為組合問(wèn)題，并寫(xiě)出相應(yīng)的組合數(shù)的符號(hào)：

（1）6位朋友互相握手道別，共握手多少次？

（2）6道習(xí)題任意選做4道題，有多少種不同的選法？

（3）正16邊形有多少條對(duì)角線(xiàn)？4.3組合2．按要求寫(xiě)出下列組合：

（1）從5個(gè)元素a，b，c，d，e中任取2個(gè)元素的所有組合．

（2）從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有組合．4.3組合10.3組合

二、組合數(shù)公式34

第1步，從４個(gè)不同元素中取出３個(gè)元素作組合，共有Ｃ種。34從４個(gè)不同元素中取３個(gè)元素的排列數(shù)Ｐ：10.3組合

通常，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)P，可以按以下兩步求得：

第1步，先求出從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)C.mnmn33第2步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素作全排列，各有P＝6種．

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此

由此得到組合數(shù)公式：4.3組合mn第2步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)P.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得10.3組合

組合數(shù)C同樣也可以利用計(jì)算器直接計(jì)算，其按鍵順序是：mn

因?yàn)樗越M合數(shù)公式還可寫(xiě)成根據(jù)組合數(shù)公式，當(dāng)m＝n時(shí)有例題解析4.3組合例1計(jì)算：解4.3組合解因?yàn)?2個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在同一直線(xiàn)上，所以任取3個(gè)點(diǎn)都可以畫(huà)出一個(gè)三角形．因此所求三角形的個(gè)數(shù)，就是從12個(gè)不同的元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，即

所以一共可畫(huà)220個(gè)三角形．

例2平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，任何3個(gè)點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，以每3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，一共可畫(huà)多少個(gè)三角形？解設(shè)與會(huì)的人數(shù)為n．根據(jù)題意，互相握手的次數(shù)為C＝15，即

解得所以，共有6人參加這次集會(huì)．

2n4.3組合

例3一次小型聚會(huì)，每一個(gè)與會(huì)者都和其他與會(huì)者握一次手，共有15次握手，問(wèn)有多少人參加這次聚會(huì)？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，從中任取3件：（1）3件都是正品，有多少種不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？

解

（１）因?yàn)?件都是正品，所以應(yīng)從97件正品中取，

所有不同取法的種數(shù)是

4.3組合4.3組合解從97件正品中取2件，有C種取法；從3件次品中取1件，有C種取法．因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的種數(shù)是

29713（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和沒(méi)有次品兩種，其中只有１件是次品的取法有CC種，沒(méi)有次品的取法有C種，因此，3件中最多有1件次品的取法的種數(shù)是132973974.3組合（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的種數(shù)是

4.3組合（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？課堂練習(xí)24.3組合１．計(jì)算：2．平面內(nèi)有8個(gè)點(diǎn)，其中只有3個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，過(guò)每2個(gè)點(diǎn)作一條直線(xiàn)，一共可以作幾條直線(xiàn)？3．從2，3，5，7，11這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的和？10.3組合

三、組合數(shù)的性質(zhì)在一般情況下：從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)元素中選出n－m個(gè)元素的組合數(shù)是相等的．

由此，得到組合數(shù)的一種重要性質(zhì)：例題解析4.3組合解例1計(jì)算例題解析4.3組合例2已知，求n．解為使，可令n=3n－2，即n=1又因?yàn)?，所以成立又因此也可?0－n=3n－2，即n=3因此，n=1或n=3課堂練習(xí)34.3組合1.計(jì)算：（1）（2）2.已知，求n.專(zhuān)題閱讀抽屜原理與電腦算命一:引子《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是：齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開(kāi)疆、公孫接和古冶子。這三名勇士都力大無(wú)比，武功超群，為齊景公立下過(guò)不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無(wú)人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃子；田開(kāi)疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子，古冶子說(shuō)出了自己更大的功勞。公孫接、田開(kāi)疆都覺(jué)得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺(jué)得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒(méi)有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。古冶子見(jiàn)了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我獨(dú)自活著，算什么勇士！說(shuō)罷，也拔劍自殺了。晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說(shuō)是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝的一位無(wú)名氏在一首詩(shī)中曾不無(wú)諷刺的寫(xiě)道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰(shuí)能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子!”值得指出的是，在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理——抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合，每一個(gè)蘋(píng)果就可以代表一個(gè)元素，假如有n＋1或多于n＋1個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素。”

二、抽屜原理常識(shí)桌上有十個(gè)蘋(píng)果，要把這十個(gè)蘋(píng)果放到九個(gè)抽屜里，無(wú)論怎樣放，有的抽屜可以放一個(gè)，有的可以放兩個(gè)，有的可以放五個(gè)，但最終我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個(gè)抽屜里面至少放兩個(gè)蘋(píng)果。這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的抽屜原理。在“二桃殺三士”的故事中，把兩個(gè)桃子看作兩個(gè)抽屜，把三名勇士放進(jìn)去，至少有兩名勇士在同一個(gè)抽屜里，即有兩人必須合吃一個(gè)桃子。如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個(gè)桃子的羞恥，那么悲劇的結(jié)局就無(wú)法避免。三、抽屜原理應(yīng)用抽屜原理雖然簡(jiǎn)單，但在數(shù)學(xué)中卻有廣泛而深刻的運(yùn)用。例１：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理可以得知：至少有兩人的生日相同.又如：我們從街上隨便找來(lái)13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來(lái)建立有理數(shù)的理論，以后逐漸地應(yīng)用到引數(shù)論、集合論、組合論等數(shù)學(xué)分支中，所以現(xiàn)在抽屜原理又稱(chēng)為狄里克雷原理。1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家把這一原理引進(jìn)到中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，當(dāng)年匈牙利全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人。”這個(gè)問(wèn)題乍看起來(lái)，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個(gè)問(wèn)題是十分簡(jiǎn)單的：我們用A、B、C、D、E、F代表六個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認(rèn)識(shí)，那么我們就找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B、C、D三人中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么，A、B、C就是三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人。不管哪種情況，本題的結(jié)論都是成立的。四、抽屜原理與電腦算命

所謂“電腦算命”不過(guò)是把人為編好的算命語(yǔ)句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰(shuí)要算命，即根據(jù)出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機(jī)械地到電腦的各個(gè)“柜子”里取出所謂命運(yùn)的句子。其實(shí)這充其量不過(guò)是一種電腦游戲而已。我們用數(shù)學(xué)上的抽屜原理很容易說(shuō)明它的荒謬。如果以70年計(jì)算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數(shù)應(yīng)為70×365×2＝51100，我們把它作為“抽屜”數(shù)。我國(guó)人口按11億計(jì)，我們把它作為“物體”數(shù)。由于1.1億=21526×51100+21400，根據(jù)原理，存在21526個(gè)以上的人，盡管他們的出身、經(jīng)歷、天資、機(jī)遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！

1.某班37名同學(xué)，至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日？

4個(gè)2.42只鴿子飛進(jìn)5個(gè)籠子里，可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子？

9只3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個(gè)，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個(gè)球，才能保證有4個(gè)顏色相同的球？

13個(gè)4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋(píng)果，其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋(píng)果，飼養(yǎng)員至少要拿來(lái)多少個(gè)蘋(píng)果？

61個(gè)5.一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問(wèn)：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？9塊

6.一個(gè)班有40名同學(xué)，現(xiàn)在有課外書(shū)125本。把這些書(shū)分給同學(xué)，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？

是六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問(wèn)：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類(lèi)相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類(lèi)共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報(bào)刊種類(lèi)是相同的。

例題1：一副撲克牌有黑桃、紅桃、梅花和方塊各13張，為保證至少有4張牌的花色相同，則至少應(yīng)當(dāng)抽出多少?gòu)埮疲?×4＋1＝13張。

例題2：有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個(gè)袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？例題3：從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？5×4＋2＋1＝23張，

4.4隨機(jī)事件及其概率

必然現(xiàn)象——在一定條件下必然出現(xiàn)；

不可能現(xiàn)象——在一定條件下不可能出現(xiàn)；有的現(xiàn)象則既非必然出現(xiàn)，也非不可能．

確定性現(xiàn)象——不可能現(xiàn)象.第一種向上拋一顆石子，石子落回地面．

第二種沒(méi)有空氣和水，種子也能發(fā)芽．

第三種拋擲一枚硬幣落在桌面上，正面向上．實(shí)例考察

隨機(jī)現(xiàn)象——可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象．對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象必須注意一點(diǎn)：在相同條件下，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都應(yīng)該是可知的，我們只是不能預(yù)測(cè)某次試驗(yàn)的結(jié)果．4.4隨機(jī)事件及其概率

一、隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件

隨機(jī)現(xiàn)象4.4

隨機(jī)事件及其概率

隨機(jī)事件不可能事件——在一定條件下不可能發(fā)生的事件，用表示．事件——確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱(chēng)為事件．

隨機(jī)事件——在相同條件下，隨機(jī)現(xiàn)象的每一種可能的結(jié)果．通常用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示．若A表示某隨機(jī)事件，常寫(xiě)作A＝｛事件具體內(nèi)容｝，例如：隨機(jī)事件A＝｛某人射擊一次，中靶｝．必然事件——在一定條件下必然要發(fā)生的事件，用Ω表示．

確定事件——必然事件和不可能事件．例題解析解（2）是必然事件；（3）是不可能事件；（1）、（4）是隨機(jī)事件．

4.4隨機(jī)事件及其概率

例下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

（1）明天下雨．

（2）在操場(chǎng)上扔出的籃球落下來(lái)．

（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到60℃沸騰．

（4）在混有次品的一批產(chǎn)品中，若事先不知道哪些是次品，抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，取到是次品．下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

（1）罰點(diǎn)球成功．

（2）自然界中，水從高處流到低處．

（3）投一枚骰子，出現(xiàn)5點(diǎn)．

（4）一個(gè)人同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)不同的地方．

（5）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0．

課堂練習(xí)１4.4隨機(jī)事件及其概率

相同條件下做試驗(yàn)，重復(fù)n次，把隨機(jī)事件A出現(xiàn)的次數(shù)m稱(chēng)為頻數(shù)，把比值

稱(chēng)為頻率．4.4隨機(jī)事件及其概率

二、概率的概念

一次試驗(yàn)——對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀(guān)察．隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有偶然性．但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，它的發(fā)生又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性．4.4隨機(jī)事件及其概率

4.4隨機(jī)事件及其概率

對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，我們就把這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為事件A的概率，記作P（A）．

必然事件的概率等于1；不可能事件的概率P（）＝0；而對(duì)于一般的隨機(jī)事件A，則有

0≤P（Ａ）≤14.4隨機(jī)事件及其概率

也就是說(shuō)，任何事件的概率是區(qū)間［0，1］內(nèi)的一個(gè)數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．在一次試驗(yàn)中，小概率（接近0）事件很少發(fā)生，而大概率（接近1）事件則經(jīng)常發(fā)生．課堂練習(xí)2

1．某醫(yī)院治愈癌癥的概率為10％，前9個(gè)病人都未能治愈，第10個(gè)病人一定能治好嗎？這是必然事件，不可能事件，還是隨機(jī)事件？

2．某地氣象局預(yù)報(bào)說(shuō)，明天本地降水概率為70％．你認(rèn)為下面兩個(gè)解釋中哪個(gè)代表氣象局的觀(guān)點(diǎn)？

（1）明天本地有70％的區(qū)域下雨，30％的區(qū)域不下雨．

（2）明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70％．4.4隨機(jī)事件及其概率

4.4隨機(jī)事件及其概率

實(shí)

踐

下面我們來(lái)做拋一枚硬幣的試驗(yàn)，觀(guān)察它落下后，哪一個(gè)面向上．

第一步：全班每個(gè)同學(xué)各取一枚相同的一元硬幣，做10次拋硬幣的試驗(yàn)，每人記錄下試驗(yàn)結(jié)果，填入下表4.4隨機(jī)事件及其概率

第三步：請(qǐng)數(shù)學(xué)課代表統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果，填入下表：第二步：請(qǐng)小組長(zhǎng)把本組同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)一下，填入下表：第四步：請(qǐng)同學(xué)們找出拋擲硬幣時(shí)，“正面向上”這個(gè)事件發(fā)生的規(guī)律，并討論：把1枚硬幣拋100次和把100枚硬幣各拋1次，結(jié)果是相同的嗎？4.4隨機(jī)事件及其概率

4.5等可能事件的概率

拋擲一個(gè)骰子，擲出的數(shù)可能是1，2，3，4，5，6中的一個(gè)，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種．

現(xiàn)在進(jìn)一步問(wèn)：事件A＝｛骰子擲出的數(shù)是偶數(shù)｝的概率是多少？實(shí)例考察4.5等可能事件的概率一次試驗(yàn)可能發(fā)生的每一個(gè)結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)基本事件．設(shè)一次試驗(yàn)中總共有n個(gè)基本事件，且每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等（簡(jiǎn)稱(chēng)等可能）．若試驗(yàn)中的某一事件A由m個(gè)（m≤n）基本事件組成，則事件A的概率

如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

那么，我們把這一試驗(yàn)的概率模型稱(chēng)為等可能概率模型．4.5等可能事件的概率例題解析

例1單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，Ｂ，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)