黑龍江省哈爾濱市第三十一中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析

黑龍江省哈爾濱市第三十一中學2021-2022學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，且，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先通過已知求出，再利用平方關系求的值.【詳解】因為，所以.因為，且，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查二倍角公式和同角的平方關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2.函數的單調遞減區(qū)間是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A3.

已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數的值是

A．

B．

C．

D．參考答案：A由于Ｍ到其焦點的距離為５，所以,所以Ｍ（１，４），，由題意知，4.已知函數f（x）=x2﹣ln|x|，則函數y=f（x）的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】3O：函數的圖象．【分析】判斷f（x）的奇偶性和單調性，計算極值，從而得出函數圖象．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x）2﹣ln|﹣x|=x2﹣ln|x|=f（x），∴f（x）是偶函數，圖象關于y軸對稱，排除D；當x＞0時，f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=2x﹣=，∴當0＜x＜時，f′（x）＜0，當x＞時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，排除C，當x=時，f（x）取得最小值f（）=﹣ln＞0，排除B，故選A．5.函數在區(qū)間內的圖象大致是（

）參考答案：D6.給出平面區(qū)域G，如圖所示，其中，若使目標函數取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個，則的值為A．

B．

C．2

D．4參考答案：D略7.如圖2，三棱柱的側棱長和底面邊長均為4，且側棱底面，其主視圖（又稱正視圖）是邊長為４的正方形，則此三棱柱的側視圖（又稱左視圖）的面積為A．16

B．

C．

D．

參考答案：D該三棱柱的側視圖是長為4，寬為的矩形，故選D.8.命題“，≥0”的否定是（

）A．，≥0

B．，C．，

D．，參考答案：C9.設集合,,則

（）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα=m，且β為第三象限角，則cosβ的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則______.參考答案：【分析】由兩角和的余弦公式及二倍角公式求得轉化為的齊次式求解即可【詳解】由題.故答案為【點睛】本題考查兩角和與差的余弦公式，正切齊次式求值，熟記公式，準確化為二次齊次式是關鍵，是中檔題12.已知函數f（x）=|x|（x﹣a）+1．當a=0時，函數f（x）的單調遞增區(qū)間為

；若函數g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則a的取值范圍為

．參考答案：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）

【考點】分段函數的應用．【分析】當a=0時，函數f（x）=|x|x+1=，結合二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）的單調遞增區(qū)間；函數g（x）=f（x）﹣a至多有一個負零點，兩個非負零點，進而得到a的取值范圍．【解答】解：當a=0時，函數f（x）=|x|x+1=，故函數圖象是連續(xù)的，且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均為增函數，故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；函數g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，令g（x）=0，則當x＜0時，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，即函數g（x）至多有一個負零點，此時a﹣1＜0，a＜1；當x≥0時，x2﹣ax﹣a+1=0，若函數g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則x2﹣ax﹣a+1=0有兩個不等的正根，則，解得：2﹣2＜a＜1，綜上可得：若函數g（x）=f（x）﹣a有3個不同的零點，則a的取值范圍為（2﹣2，1），故答案為：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數零點的存在性及個數判斷，難度中檔．13.已知，為單位向量，且夾角為60°，若=+3，=2，則在方向上的投影為．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算．【分析】運用向量數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，再由向量投影的定義可得在方向上的投影為，計算即可得到所求值．【解答】解：，為單位向量，且夾角為60°，可得?=||?||?cos60°=1×1×=，若=+3，=2，則?=22+6?=2+6×=5，||====，則在方向上的投影為==．故答案為：．【點評】本題考查向量的數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，同時考查向量投影的概念，運算能力，屬于中檔題．14.已知函數在區(qū)間上有極大值和極小值，則實數的取值范圍是

.

參考答案：15.已知函數，給定條件：，條件：，若是的充分條件，則實數的取值范圍為

．參考答案：16.若二項式的展開式的第五項是常數項，則此常數項為

參考答案：112017.若拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為___________.參考答案：

x=-2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，正方形的頂點都在上，且，，，依逆時針次序排列，點的極坐標為．（1）求點，，，的直角坐標；（2）設為上任意一點，求的取值范圍．參考答案：（1）點，，，的極坐標為，，，，點，，，的直角坐標為，，，.（2）設，則（為參數），．19.（本小題滿分12分）假設甲乙兩種品牌的同類產品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現從兩種品牌的產品中分別隨機抽取100個進行測試，結果統(tǒng)計如下：（Ⅰ）估計甲品牌產品壽命小于200小時的概率；（Ⅱ）這兩種品牌產品中，，某個產品已使用了200小時，試估計該產品是甲品牌的概率。參考答案：20.設.

（1）.求得單調遞增區(qū)間;

（2）.把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再把得到的圖象向左平移個單位,得到函數的圖象,有零點，求m的范圍；參考答案：1.由

由得

所以,的單調遞增區(qū)間是,(或)

2.由1知的圖象,

把的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),

得到的圖象,

再把得到的圖象向左平移個單位,得到的圖象,

即,

所以

21.在中，，是邊上一點，且，.（1）求的大小；（2）若，求的面積.參考答案：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理，得，

…………4分∴，∴．

……………………6分(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD中，由余弦定理：，即，

……8分整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分∴BC=BD+CD=4+2=6．∴S△ABC=．……12分22.(本小題滿分13分)已知函數.（Ⅰ）若角的終邊與單位圓交于點，求的值；（Ⅱ）若，求最小正周期和值域.參考答案：解：（Ⅰ）∵角的終邊與單位圓交于點∴，，

………………2分∴

.

………………4分（Ⅱ）

……