高中數(shù)學(xué)人教B版3第二章概率（全國一等獎(jiǎng)）

章末綜合測評(píng)(二)概率(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說法不正確的是()A.某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量B.正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一個(gè)特定實(shí)數(shù)的概率為0C.公式E(X)＝np可以用來計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值D.從一副撲克牌中隨機(jī)抽取5張，其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布【解析】公式E(X)＝np并不適用于所有的離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算，適用于二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算.故選C.【答案】C2.若在甲袋內(nèi)裝有8個(gè)白球、4個(gè)紅球，在乙袋內(nèi)裝有6個(gè)白球、5個(gè)紅球，現(xiàn)從兩袋內(nèi)各任意取出1個(gè)球，設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為X，則下列概率中等于eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,11))的是()(X＝0) (X≤2)(X＝1) (X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,11)).【答案】C3.若X的分布列為X01Peq\f(1,5)a則E(X)＝()\f(4,5) \f(1,2)\f(2,5) \f(1,5)【解析】由eq\f(1,5)＋a＝1，得a＝eq\f(4,5)，所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).【答案】A4.甲、乙、丙三人參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的概率分別是,,，則三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是() 【解析】三人都不達(dá)標(biāo)的概率是(1－×(1－×(1－＝，故三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1－＝.【答案】C5.如果隨機(jī)變量X～N(4,1)，則P(X≤2)等于()(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝4) 86 5【解析】P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×eq\f(1,2)＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×eq\f(1,2)＝(1－4)×eq\f(1,2)＝8.【答案】B6.某同學(xué)通過計(jì)算機(jī)測試的概率為eq\f(1,3),他連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為()\f(4,9) \f(2,9)\f(4,27) \f(2,27)【解析】連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為P＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).【答案】A7.校園內(nèi)移栽4棵桂花樹，已知每棵樹成活的概率為eq\f(4,5)，那么成活棵數(shù)X的方差是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980062】\f(16,5) \f(64,25)\f(16,25) \f(64,5)【解析】由題意知成活棵數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4,5)))，所以成活棵數(shù)X的方差為4×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq\f(16,25).故選C.【答案】C8.對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是()\f(3,5) \f(2,5)\f(1,10) \f(5,9)【解析】記“第一次摸到正品”為事件A，“第二次摸到正品”為事件B，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(5,9).【答案】D9.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,10\r(2π))e－，則下列命題中不正確的是()A.該市在這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10【解析】利用正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式知μ＝80，σ＝10.故A，D正確，利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對(duì)稱，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，故C正確，故選B.【答案】B10.設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又設(shè)隨機(jī)變量η＝2ξ－1，則P(η<6)＝() 【解析】因?yàn)镻(ξ＝k)＝eq\f(1,10)，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<eq\f(7,2)，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,10)＝.【答案】A11.甲、乙兩個(gè)工人在同樣的條件下生產(chǎn)，日產(chǎn)量相等，每天出廢品的情況如下表所示，則有結(jié)論()工人甲乙廢品數(shù)01230123概率0A.甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些B.乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些C.兩人的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好D.無法判斷誰的產(chǎn)品質(zhì)量好一些【解析】∵E(X甲)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，E(X乙)＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.∵E(X甲)>E(X乙)，∴乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些.【答案】B12.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位的二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位數(shù)中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，ξ的數(shù)學(xué)期望為()\f(8,27) \f(11,3)\f(16,81) \f(65,81)【解析】記a2，a3，a4，a5位上出現(xiàn)1的次數(shù)為隨機(jī)變量η，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，E(η)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).因?yàn)棣危?＋η，E(ξ)＝1＋E(η)＝eq\f(11,3).故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)13.袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P(X≤6)＝________.【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)＋C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).【答案】eq\f(13,35)14.一只螞蟻位于數(shù)軸x＝0處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為eq\f(2,3)，向左移動(dòng)的概率為eq\f(1,3)，則3秒后，這只螞蟻在x＝1處的概率為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62980063】【解析】由題意知，3秒內(nèi)螞蟻向左移動(dòng)一個(gè)單位，向右移動(dòng)兩個(gè)單位，所以螞蟻在x＝1處的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)15.一個(gè)正方形被平均分成9個(gè)小正方形，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中).設(shè)投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝________.【解析】如圖，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(A∩B)＝1，P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)16.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，給出下列結(jié)論：①從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是eq\f(3,5)；②從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數(shù)的方差為eq\f(4,3)；③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為eq\f(2,5)；④從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為eq\f(26,27).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.【解析】①恰有一個(gè)白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正確；②每次任取一球，取到紅球次數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差為6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正確；③設(shè)A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}.則P(A)＝eq\f(2,3)，P(A∩B)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,5)，故③錯(cuò)；④每次取到紅球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到紅球的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正確.【答案】①②④三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問：(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？【解】記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球；事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球.P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3).P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩eq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).18.(本小題滿分12分)在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績?chǔ)畏囊粋€(gè)正態(tài)分布，即ξ～N(90,100).(1)試求考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績?cè)?80,100)的考生大約有多少人？【解】因?yàn)棣巍玁(90,100)，所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是4，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是6，所以考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是6.一共有2000名學(xué)生，所以考試成績?cè)?80,100)的考生大約有2000×6≈1365(人).19.(本小題滿分12分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表.試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)【解】工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝，D(X)＝(0－2×eq\f(6,10)＋(1－2×eq\f(1,10)＋(2－2×eq\f(3,10)＝.工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(Y)＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝，D(Y)＝(0－2×eq\f(5,10)＋(1－2×eq\f(3,10)＋(2－2×eq\f(2,10)＝.由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.20.(本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))【解】(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率為p＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的所有可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).故X的分布列為X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)從而E(X)＝1×eq\f(17,42)＋2×eq\f(43,84)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(47,28).21.(本小題滿分12分)某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α＋β＝1).(1)如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用ξ表示投資收益(收益＝回收資金－投資資金)，求ξ的分布列及E(ξ)；(2)要使10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求α的取值范圍.【解】(1)依題意，ξ可能的取值為1,0，－1.ξ的分布列為ξ10－1Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)E(ξ)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).(2)設(shè)η表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則η的分布列為η2－2PαβE(η)＝2α－2β＝4α－2.依題意得4α－2≥eq\f(1,4)，故eq\f(9,16)≤α≤1.22.(本小題滿分12分)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為eq\f(1,2)，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比.分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.【解】(1)X可能的取值為10,20,100，－200.根據(jù)題意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)