2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市盆地青學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市盆地青學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（

）參考答案：D2.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于A．

B．

C．4

D．參考答案：A略3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為

（

）（A）

（B） （C） （D）參考答案：C由題意函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)的解析式為，所以，故選C.

4.雙曲線的漸近線方程是，則其離心率為（）A．B．C．D．參考答案：D略5.已知，則下列關(guān)系中正確的是A．a(chǎn)>b>c

B．b>a>c

C．a(chǎn)>c>b

D．c>a>b參考答案：A6.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f（x）=loga（ax2–x）在[3，4]是增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．（1，+∞）

B．

C．

D．參考答案：A略7.集合，則=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B8.設(shè)全集，集合，，則等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}參考答案：B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可計(jì)算出集合.【詳解】由題意可得，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)a=log32，b=log23，c=，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.a＞c＞b B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.c＞a＞b參考答案：C【分析】可以得出，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，∴c＞b＞a．故選：C．【點(diǎn)睛】考查對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足：f′（x）＜f（x）+ex，其f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底且f（0）＝2，則關(guān)于x的不等式f（lnx）＞xlnx+2x的解集為（

）A.（0，+∞） B.（1，+∞） C.（0，1） D.（0，e）參考答案：C【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）x，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出不等式的解集．【詳解】∵f′（x）＜f（x）+ex，∴1＜0，設(shè)g（x）x，∴g′（x）1＜0，∴g（x）在R上單調(diào)遞減，∵f（0）＝2，∴g（0）0＝2，∵f（lnx）＞xlnx+2x，∴l(xiāng)nx+2．即lnx＞2，∴g（lnx）＞2＝g（0），∴l(xiāng)nx＜0，∴0＜x＜1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量滿足，，，，則的最小值為

.參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3解析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．∵||=1，∴不妨設(shè)=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可設(shè)=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化為（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=﹣n=時(shí)取等號(hào)．∴=2+mn．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．由||=1，不妨設(shè)=（1，0）．由?=1，?=2，可設(shè)=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用數(shù)量積運(yùn)算=2+mn即可得出．12.設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)，的直線與圓的位置關(guān)系是

．（相交、相離、相切）參考答案：相離13.已知函數(shù)，若,則實(shí)數(shù)的最小值為

．參考答案：314.曲線y=x3﹣2x在點(diǎn)（1，﹣1）處的切線方程是．參考答案：x﹣y﹣2=0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．【解答】解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1）∴曲線y=x3﹣2x在x=1的處的切線方程為x﹣y﹣2=0故答案為：x﹣y﹣2=015.記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，且數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則a13=．參考答案：50考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得，，的值，由數(shù)列{}也為等差數(shù)列可得2=+，解方程可得d值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵數(shù)列{}也為等差數(shù)列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案為：50．點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題16.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是．

參考答案：考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：畫出幾何體的直觀圖，然后利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可．解：由圖知此幾何體為邊長(zhǎng)為2的正方體裁去一個(gè)三棱錐（如右圖），所以此幾何體的體積為：2×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的三視圖與直觀圖的關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．

17.在平行四邊形中，，，若，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)的直線分別交橢圓于和，且，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）因?yàn)?，所以，橢圓的方程為，將代入可得，所以橢圓的方程為；（2）若的斜率為零或不存在，易知,存在滿足條件的，使成等差數(shù)列；若的斜率為，設(shè)的方程為，代入方程，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則有，于是，同理，由于直線的斜率為，，同理，由于直線的斜率為，，所以，總之，存在滿足條件，使得成等差數(shù)列.19.問(wèn)題：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為

；探索：（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長(zhǎng)．參考答案：（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【分析】（1）易證△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）連接CE，易證△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其關(guān)系；（3）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BE，先證△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的長(zhǎng)即可.【詳解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.證明如下：連接CE，如解圖1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BE，如解圖2所示，則AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可證得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(負(fù)值已舍去)．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.20.如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，，是的中點(diǎn)，面，垂足為.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.

參考答案：21.（本小題滿分分）選修4─4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線．（1）以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求中點(diǎn)的軌跡方程．參考答案：（1）將代入，得的參數(shù)方程為∴曲線的普通方程為．極坐標(biāo)方程為

………5分（2）設(shè)，，又，且中點(diǎn)為所以有：又點(diǎn)在曲線上，∴代入的普通方程得∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．

………10分22.如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，BH=2．（Ⅰ）求DE的長(zhǎng)；（Ⅱ）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，若PC=2，求PD的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；推理和證明．【分析】（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于點(diǎn)H，AB為圓O的直徑，由垂徑定理，我們易得DH=HE，進(jìn)而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，進(jìn)而得到DE的長(zhǎng)；（Ⅱ）由于PC切圓O于點(diǎn)C，由切割線定理，我