高中數(shù)學(xué)人教A版5不等式和絕對值不等式2

第一講一3一、選擇題1．設(shè)x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，則lgx＋lgy＋lgz的取值范圍是()A．(－∞，lg6] B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞) D．[3lg2，＋∞)解析：∵x，y，z∈R＋∴x＋y＋z＝6≥3eq\r(3,xyz)∴xyz≤8∴l(xiāng)gx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg8＝3lg2.答案：B2．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列不等式總成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：圓柱高為h，半徑為r，∴4r＋2h＝6∴h＝3－2rV＝πr2·h＝πr2·(3－2r)＝πr·(3－2r)·r≤πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))3＝π.答案：B3．已知x∈R＋，有不等式：x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，….啟發(fā)我們可以推廣結(jié)論為：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，則a的值為()A．nn B．2nC．n2 D．2n＋1解析：x＋eq\f(1,x)≥2x＋eq\f(4,x2)≥3??x＋eq\f(nn,xn)≥n＋1∴a＝nn.答案：A4．已知a，b，c∈R＋，x＝eq\f(a＋b＋c,3)，y＝eq\r(3,abc)，z＝eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))，則()A．x≤y≤z B．y≤x≤zC．y≤z≤x D．z≤y≤x解析：∵a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)∴eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，∴x≥y∴x2－z2＝eq\f(a＋b＋c2,9)－eq\f(a2＋b2＋c2,3)＝eq\f(2ab＋2bc＋2ac－2a2－2b2－2c2,9)＝eq\f(－a＋b2－b＋c2－a＋c2,9)<0.∴x2≤z2∴x≤z∴y≤x≤z答案：B二、填空題5．設(shè)三角形三邊長為3,4,5，P是三角形內(nèi)的一點，則P到這三角形三邊距離乘積的最大值是________．解析：如圖所示P到三邊的距離分別為a，b，c.∵S＝eq\f(1,2)×3×4＝6S＝eq\f(1,2)(3a＋4b＋5c)．∴3a＋4b＋5∴12≥3eq\r(3,3a×4b×5c)∴abc≤eq\f(16,15).答案：eq\f(16,15)6．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，對于下列不等式：①abc≤eq\f(1,27)；②eq\f(1,abc)≥27；③a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)；④ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).其中正確不等式的序號是________．解析：因為eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc).所以abc≤eq\f(a＋b＋c3,27)又因為a＋b＋c＝1，所以abc≤eq\f(1,27)①正確所以eq\f(1,abc)≥27②正確因為a2＋b2≥2aba2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bca2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，因為a＋b＋c＝1(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3(a2＋b2＋c2所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)③正確(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≥3(ab＋bc＋ac所以ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)④正確答案：①②③④三、解答題7．已知x，y∈R＋且x2y＝4，試求x＋y的最小值及達到最小值時x，y的值．解析：∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)x＋y≥3eq\r(3,\f(1,4)x2y)＝3eq\r(3,\f(1,4)×4)＝3，當且僅當eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝y(tǒng)時等號成立．又∵x2y＝4.∴當x＝2，y＝1時，x＋y取最小值3.8．已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥6eq\r(3)，并確定a，b，c為何值時，等號成立．解析：方法一：因為a，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\f(2,3). ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3)，所以(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥9(abc)－eq\f(2,3). ②故a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3). ③所以原不等式成立．當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立．當且僅當3(abc)eq\f(2,3)＝9(abc)－eq\f(2,3)時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝3eq\f(1,4)時，原式等號成立．方法二：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， ①同理eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥eq\f(1,ab)＋eq\f(1,bc)＋eq\f(1,ac)， ②故a2＋b2＋c2＋(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c))2≥ab＋bc＋ac＋3eq\f(1,ab)＋3eq\f(1,bc)＋3eq\f(1,ac)≥6eq\r(3). ③所以原不等式成立．當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝3eq\f(1,4)時，原式等號成立．9．如圖所示，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？解析：設(shè)切去的正方形邊長為x，無蓋方底盒子的容積為V，則V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\