2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程3.1空間直角坐標(biāo)系1教案新人教版必修2202202262129

PAGEPAGE9空間直角坐標(biāo)系一、教材分析學(xué)生已經(jīng)對立體幾何以及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識有了較為全面的認識,學(xué)習(xí)《空間直角坐標(biāo)系》有了一定的基礎(chǔ).這對于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是很有幫助的.但部分同學(xué)仍然會在空間思維與數(shù)形結(jié)合方面存在困惑.本節(jié)課的內(nèi)容是非常抽象的,試圖通過教師的講解而讓學(xué)生聽懂、記住、會用是徒勞的,必須突出學(xué)生的主體地位,通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與和同學(xué)的合作探究,讓學(xué)生親手實踐,這樣學(xué)生才能獲得感性認識,從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)并上升到理性認識奠定基礎(chǔ).通過激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲望,使學(xué)生主動參與教學(xué)實踐活動.創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境,營造氛圍,精心設(shè)計問題,讓學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常有自我展示的機會,并有經(jīng)常性的成功體驗,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,從學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程.通過閱讀教材,并結(jié)合空間坐標(biāo)系模型,模仿例題,解決實際問題.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能（1）使學(xué)生深刻感受到空間直角坐標(biāo)系的建立的背景（2）使學(xué)生理解掌握空間中點的坐標(biāo)表示2．過程與方法建立空間直角坐標(biāo)系的方法與空間點的坐標(biāo)表示3．情態(tài)與價值觀通過數(shù)軸與數(shù)、平面直角坐標(biāo)系與一對有序?qū)崝?shù)，引申出建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，培養(yǎng)學(xué)生類比和數(shù)列結(jié)合的思想.三、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：在空間直角坐標(biāo)系中確定點的坐標(biāo).教學(xué)難點：通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系確定空間點的坐標(biāo),以及相關(guān)應(yīng)用.四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計（一）導(dǎo)入新課思路1.大家先來思考這樣一個問題,天上的飛機的速度非常的快,即使民航飛機速度也非?？?有很多飛機時速都在1000km以上,而全世界又這么多,這些飛機在空中風(fēng)馳電掣,速度是如此的快,豈不是很容易撞機嗎？但事實上,飛機的失事率是極低的,比火車,汽車要低得多,原因是,飛機都是沿著國際統(tǒng)一劃定的航線飛行,而在劃定某條航線時,不僅要指出航線在地面上的經(jīng)度和緯度,還要指出航線距離地面的高度.為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系,教師板書課題:空間直角坐標(biāo)系.思路2.我們知道數(shù)軸上的任意一點M都可用對應(yīng)一個實數(shù)x表示,建立了平面直角坐標(biāo)系后,平面上任意一點M都可用對應(yīng)一對有序?qū)崝?shù)(x,y)表示.那么假設(shè)我們建立一個空間直角坐標(biāo)系時,空間中的任意一點是否可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)表示出來呢？為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系,教師板書課題:空間直角坐標(biāo)系.（二）推進新課、新知探究、提出問題①在初中,我們學(xué)過數(shù)軸,那么什么是數(shù)軸?決定數(shù)軸的因素有哪些?數(shù)軸上的點怎樣表示?②在初中,我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系,那么如何建立平面直角坐標(biāo)系?決定平面直角坐標(biāo)系的因素有哪些?平面直角坐標(biāo)系上的點怎樣表示?③在空間,我們是否可以建立一個坐標(biāo)系,使空間中的任意一點都可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來呢？④觀察圖1,體會空間直角坐標(biāo)系該如何建立.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點M如何用坐標(biāo)表示呢？討論結(jié)果：①在初中,我們學(xué)過數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線.決定數(shù)軸的因素有原點、正方向和單位長度.這是數(shù)軸的三要素.數(shù)軸上的點可用與這個點對應(yīng)的實數(shù)x來表示.②在初中,我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系是以一點為原點O,過原點O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy,xOy稱平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系具有以下特征：兩條數(shù)軸：①互相垂直;②原點重合;③通常取向右、向上為正方向;④單位長度一般取相同的.平面直角坐標(biāo)系上的點用它對應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示,括號里橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面,它們是一對有序?qū)崝?shù)(x,y).③在空間,我們也可以類比平面直角坐標(biāo)系建立一個坐標(biāo)系,即空間直角坐標(biāo)系,空間中的任意一點也可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來.④觀察圖2,OABC—D′A′B′C′是單位正方體,我們類比平面直角坐標(biāo)系的建立來建立一個坐標(biāo)系即空間直角坐標(biāo)系,以O(shè)為原點,分別以射線OA,OC,OD′的方向為正方向,以線段OA,OC,OD′的長為單位長度,建立三條數(shù)軸Ox,Oy,Oz稱為x軸、y軸和z軸,這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中O叫坐標(biāo)原點,x軸、y軸和z軸叫坐標(biāo)軸.如果我們把通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,我們又得到三個坐標(biāo)平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我們知道,確定空間直角坐標(biāo)系必須有三個要素,即原點、坐標(biāo)軸方向、單位長.圖1圖1表示的空間直角坐標(biāo)系也可以用右手來確定.用右手握住z軸,當(dāng)右手的四個手指從x軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時,大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無特別說明,我們課本上建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.注意:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系O—xyz時,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二測畫法畫立體圖,這里顯然要注意在y軸和z軸上的都取原來的長度,而在x軸上的長度取原來長度的一半.同學(xué)們往往把在x軸上的長度取原來的長度,這就不符和斜二測畫法的約定,直觀性差.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點M就可以用坐標(biāo)來表示了.已知M為空間一點.過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸和z軸的交點分別為P、Q、R,這三點在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別為x,y,z.于是空間的一點M就唯一確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標(biāo),并依次稱x,y,z為點M的橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).坐標(biāo)為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).圖2反過來,一個有序數(shù)組x,y,z,我們在x軸上取坐標(biāo)為x的點P,在y軸上取坐標(biāo)為y的點Q,在z軸上取坐標(biāo)為z的點R,然后通過P、Q與R分別作x軸、y軸和z軸的垂直平面.這三個垂直平面的交點M即為以有序數(shù)組x,y,z為坐標(biāo)的點.數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標(biāo),并依次稱x,y和z為點M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).(如圖2所示)坐標(biāo)為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).我們通過這樣的方法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系.注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點,其坐標(biāo)各有一定的特征.如果點M在yOz平面上,則x=0；同樣,zOx面上的點,y=0；xOy面上的點,z=0；如果點M在x軸上,則y=z=0；如果點M在y軸上,則x=z=0；如果點M在z軸上,則x=y=0；如果M是原點,則x=y=z=0.空間點的位置可以由空間直角坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)唯一確定,因此,常稱我們生活的空間為“三度空間或三維空間”.事實上,我們的生活空間應(yīng)該是四度空間,應(yīng)加上時間變量t.即(x,y,z,t),它表示在時刻t所處的空間位置是(x,y,z).（三）應(yīng)用示例思路1例1如圖3,長方體OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,寫出D′,C,A′,B′四點的坐標(biāo).圖3活動：學(xué)生閱讀題目,對照剛學(xué)的知識,先思考,再討論交流,教師適時指導(dǎo),要寫出點的坐標(biāo),首先要確定點的位置,再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點寫出.D′在z軸上,因此它的橫縱坐標(biāo)都為0,C在y軸上,因此它的橫豎坐標(biāo)都為0,A′為在zOx面上的點,y=0；B′不在坐標(biāo)面上,三個坐標(biāo)都要求.解:D′在z軸上,而|OD′|=2,因此它的豎坐標(biāo)為2,橫縱坐標(biāo)都為0,因此D′的坐標(biāo)是(0,0,2).同理C的坐標(biāo)為(0,4,0).A′在xOz平面上,縱坐標(biāo)為0,A′的橫坐標(biāo)就是|OA|=3,A′的豎坐標(biāo)就是|OD′|=2,所以A′的坐標(biāo)就是(3,0,2).點B′在xOy平面上的射影是點B,因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同,在xOy平面上,點B的橫坐標(biāo)x=3,縱坐標(biāo)y=4;點B′在z軸上的射影是點D′,它的豎坐標(biāo)與D′的豎坐標(biāo)相同,點D′的豎坐標(biāo)z=2,所以點B′的坐標(biāo)是(3,4,2).點評:能準(zhǔn)確地確定空間任意一點的直角坐標(biāo)是利用空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ),一定掌握如下方法,過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,確定x,y和z,同時掌握一些特殊點的坐標(biāo)的表示特征.例2講解課本例2.活動：學(xué)生閱讀,思考與例1的不同,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,圖中沒有坐標(biāo)系,這就給我們解題帶來了難度,同時也給我們的思維提供了空間,如何建立空間直角坐標(biāo)系才能使問題變得更簡單?一般來說,以特殊點為原點,我們所求的點在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面上的多為基本原則建立空間直角坐標(biāo)系,這里我們以上底面為xOy平面,其他不變,來看這15個點的坐標(biāo).解:把圖中的鈉原子分成上、中、下三層,下層的鈉原子全部在xOy平面上,因此其豎坐標(biāo)全部是0,所以這五個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(,,0);中層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與z軸交點的豎坐標(biāo)是,所以這四個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(,0,)、(1,,)、(,1,)、(0,,);上層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與z軸交點的豎坐標(biāo)是1,所以這五個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(,,1).思考：如果把原點取在中間的點(上述兩點的中點氯原子)上,以中層面作為xOy平面,結(jié)果會怎樣呢？解:把圖中的鈉原子分成上、中、下三層,中層的鈉原子全部在xOy平面上,因此其豎坐標(biāo)全部是0,所以這四個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(,0,0)、(1,,0)、(,1,0)、(0,,0);上層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與軸交點的豎坐標(biāo)是,所以這五個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,)、(0,1,)、(1,0,)、(1,1,)、(,,);下層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與軸交點的豎坐標(biāo)是-,所以這五個鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,-)、(1,0,-)、(1,1,-)、(0,1,-)、(,,-).點評:建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵,坐標(biāo)系建立的不同,點的坐標(biāo)也不同,但點的相對位置是不變的,坐標(biāo)系的不同也會引起解題過程的難易程度不同.因此解題時要慎重建立空間直角坐標(biāo)系.思路2例1如圖4,已知點P′在x軸正半軸上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x軸,|PP′|=1,求點P′和P的坐標(biāo).圖4解:顯然,P′在x軸上,它的坐標(biāo)為(2,0,0).若點P在xOy平面上方,則點P的坐標(biāo)為(2,0,1).若點P在xOy平面下方,則點P的坐標(biāo)為(2,0,-1).點評:注意點P有兩種可能的位置情況,不要漏解.例2如圖5,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F分別是BB1和D1B1圖5解:方法一:從圖中可以看出E點在xOy平面上的射影為B,而B點的坐標(biāo)為(1,1,0),E點的豎坐標(biāo)為,所以E點的坐標(biāo)為(1,1,);F點在xOy平面上的射影為G,而G點的坐標(biāo)為(,,0),F點的豎坐標(biāo)為1,所以F點的坐標(biāo)為(,,1).方法二:從圖中條件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E為BB1的中點,F為D1B1的中點,由中點坐標(biāo)公式得E點的坐標(biāo)為()=(1,1,),F點的坐標(biāo)為()=(,,1).點評:(1)平面上的中點坐標(biāo)公式可以推廣到空間,即設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB的中點P(,,);(2)熟記坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)和坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)表示的特征.變式訓(xùn)練1.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于平面xoy對稱的點的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點為B0(x0,y0,z0),由于B為B0B1的中點,所以解之,得.所以B0(1,1,-1).2.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于z軸對稱的點的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點為P(x0,y0,z0),由于D1為PB1的中點,因為D1(0,0,1),所以解之,得所以P(-1,-1,1).3.在上題中求B1(1,1,1)點關(guān)于原點D對稱的點的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點為M(x0,y0,z0),由于D為MB1的中點,因為D(0,0,0),所以.解之,得所以M(-1,-1,-1).（四）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.（五）拓展提升1.在空間直角坐標(biāo)系中的點P(x,y,z)關(guān)于①坐標(biāo)原點;②橫軸(x軸);③縱軸(y軸);④豎軸(z軸);⑤xOy坐標(biāo)平面;⑥yOz坐標(biāo)平面;⑦zOx坐標(biāo)平面的對稱點的坐標(biāo)是什么?解:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點的對稱方法結(jié)合中點坐標(biāo)公式可知:點P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為P1(-x,-y,-z);點P(x,y,z)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點為P2(x,-y,-z);點P(x,y,z)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點為P3(-x,y,-z);點P(x,y,z)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點為P4(-x,-y,z);點P(x,y,z)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點為P5(x,y,-z);點P(x,y,z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P6(-x,y,z);點P(x,y,z)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對稱點為P7(x,-y,z).點評:其中記憶的方法為:關(guān)于誰誰不變,其余的相反.如關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點,橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù);關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對稱點,橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)相反.變式訓(xùn)練在空間直角坐標(biāo)系中的點P(a,b,c),有下列敘述:①點P(a,b,c)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點是P1(a,-b,c);②點P(a,b,c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對稱點為P2(a,-b,-c);③點P(a,b,c)關(guān)于縱軸(