高中數(shù)學 平面向量基本定理 北師大必修4

平面向量基本定理

.教學目的：教學重點：教學難點：1．了解平面向量基本定理的證明．2.掌握平面向量基本定理及其應用.平面向量基本定理的應用.平面向量基本定理的理解..請同學們回顧向量的加法、減法和實數(shù)與向量的積，以及向量共線定理.1.三角形法則：2.平行四邊形法則：CBAABCD一.向量的加法：首尾相連共同起點二.向量的減法：BAD共同起點指向被減數(shù).1.當時：2.當時：3.當時：與方向相同。方向：長度：與方向相反。二、向量共線定理:向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得：

.今天我們繼續(xù)來學習有關向量的知識：設、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)的向量，我們研究與、之間的關系？首先，請大家在用平行四邊形法則作出、、.BOAMNC我們一起來作圖（平行四邊形法則：起點相同）㈠在平面內(nèi)任取一點O，作㈡過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA相交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB相交于N；你們得到了什么？現(xiàn)在要找與，與的關系，它們有什么樣的關系呢？

原來與共線；與共線。思考：我們能否用，把表示出來呢？所以有且只有一個實數(shù),使得：有且只有一個實數(shù),使得：即.思考2：是否這一平面內(nèi)的任一向量都可以用，來表示呢？

我們作圖驗證演示這樣，以與為基礎，我們可以表示這一平面內(nèi)的所有向量，我們就把這兩個向量叫做：表示這一平面內(nèi)所有向量的基底.(2)對你給的這兩個向量有什么要求？思考3：(1)這一平面內(nèi)所有向量的基底是否唯一呢？大家作圖驗證是否可以由其它兩個向量來表示？演示我們得到：(1)基底不唯一；(2)要求這兩個向量不共線；(3)如果基底選定，則，唯一確定,可以為零.(3)如果基底選定，，能唯一確定嗎？能為零嗎?我們得到：這一平面內(nèi)的任一向量都可以表示成：.既然這兩個向量這么特別，我們一般用，表示.通過我們的努力，得到了：平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使我們把不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.特別的：時,時,，與共線.時,，與共線..例1課堂練習：P118練習1已知向量、，求作向量.作法:(1)任取一點O,作(2)作平行四邊形OACBBOAC于是就是.例2如右圖示，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且，用，表示、、和.分析:因為ABCD為平行四邊形可知M為AC與BD的中點.所以.解:在平行四邊形ABCD中又說明:我們在做有關向量的題型時,要先找清楚未知向量和已知向量間的關系,認真分析未知與已知之間的相關聯(lián)系,從而使問題簡化..例3如右圖,、不共線，,用、表示.分析：求，由圖可知而解：說明：同上題一樣，我們要找到與未知相關連的量，來解決問題，避免做無用功！.課堂練習：一、下列說法中，正確的有：（）1）一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；2）一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；3）零向量不可以為基底中的向量.2、3二、已知ABC中，D為BC邊的中點，試用，表示.解：.三、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M、N分別是DC、AB的中點.請大家動手,從圖中的線段AD、AB、BC、DC、MN對應的向量中確定一組基底，將其它向量用這組基底表示出來.ANMCDB.三、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M、N分別是DC、AB的中點.ANMCDB參考答案：解：取為基底,則有.課堂小結：今天我們學習了“平面向量基本定理”及其應用.應用該定理的關鍵就是要找到未知與已知的聯(lián)系，這就要求我們對向量的加法的三角形法則、平行四邊形法則；向量減法的三角形法則；向量共線的充要條件這些知識掌握熟練！在定理中我們要注意“同一平面”、“兩個不共線向量”、“任一”和“有且只有一對”這些關鍵詞..課后作業(yè)：1.復