數字信號處理實驗報告二 時域采樣與頻域采樣

..實驗二:時域采樣與頻域采樣姓名： 班級：學號：一、實驗目的時域采樣理論與頻域采樣理論是數字信號處理中的重要理論二、實驗原理與方法時域采樣定理的要點：〔1〕對模擬信號xa

(t)以間隔T進行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜X?(j)Xa式為：

j)以采樣角頻率〔 /T〕為周期進行周期延拓。公s s?()FT[?t)]1

(jjn)a a

a sn〔2〕采樣頻率s

必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的頻譜不上進行實驗。a

(t)和模擬信號xa

(t)之間的關系為：(t)xa a

(t)

(tnT)對上式進行傅立葉變換，得到：

n? (j)[x(t)

(tnT)]ejtdta a＝ x

na(t)(tnTjtdtan在上式的積分號內只有當tnT時，才有非零值，因此：(j)a

xan

(nT)ejnTx(nT＝x(n，再將代入，得到：a(j)a

n

x(n)e上式的右邊就是序列的傅立葉變換X(ej)，即(j)X(ej)a T上式說明理想采樣信號的傅立葉變換可用相應的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量ω用T代替即可。頻域采樣定理的要點：,N1〔1〕對信號x(n)的頻譜函數在,N1

等間隔采樣N點，得到X (k)X(eN

2kN

,k0,1,2,那么N點IDFT[X (k)]得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值N區(qū)序列，公式為：x (n)IDFT[XN

(k)]N

[i

x(niN)]RN

(n)〔2〕由上式可知，頻域采樣點數N必須大于等于時域離散信號的長度M(即N≥M)，才能使時域不產生混疊那么N點IDFT[X (k)]得到的序列x (n)就是原序列x(n),即x (n)=x(n)。N N N如果N>M，x (n)比原序列尾部多N-M個零點；如果那么x (n)=IDFT[X (k)]N N N發(fā)生了時域混疊失真，而且x (n)的長度N也比x(n)的長度M短，因此。x (n)與x(n)不N N相同。要點。實驗。三、實驗內容及步驟〔1：x(t)Aea

sin(t)u(t)0式中A，=502π， =502πrad/s，它的幅頻特性曲線如圖0圖2.1 x(t)的幅頻特性曲線a現(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號的幅頻特性，以驗證時域采樣理論。x(t的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即F。觀a s測時間選T 50ms。p為使用DFT，首先用下面公式產生時域離散信號，對三種采樣頻率，采樣序列按順序用x1

(n)，x2

(n)，x3

(n)表示。x(n)x(nT)AenTsin(nT)u(nT)a 0因為采樣頻率不同，得到的x1

(n)，x2

(n)，x3

(n)的長度不同，長度〔點數〕用公式NT F計算。選FFT的變換點數為M=64，序列長度不夠64的尾部加零。p sX(k)=FFT[x(n)]，k=0,1,2,3, 式中k代表的頻率為k

k。M要求：編寫實驗程序，計算x1

(n)、x2

(n)x3

(n)的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分...析頻譜混疊失真?！?〕頻域采樣理論的驗證：給定信號如下：n1 0n13x(n)27n 14n26 0 其它編寫程序分別對頻譜函數X(ej)FT[x(n)]在區(qū)間[0,2]上等間隔采樣32和16點，得到X (k)和X (k)：3132 1631X (k)X(e32

2153215

, k0,1,2,X (k)X(e16

216

, k0,1,2,再分別對X32

(k)和X16

(k3216IFFTx32

(n)和x16

(n)：x (n)IFFT[X32 x (n)IFFT[X16 16

(k)]32(k)]16

, n0,1,2,,31,15, n0,1,2,,31,15X(ejX32

(k)和X16

(k)的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、x32

(n)和x16

(n)的波形，進行比照和分析，驗證總結頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序實現(xiàn)?！?〕直接調用MATLAB函數fft計算X32點頻率域采樣

)FFT[x(n)]32

就得到X(ej)在[0,2]的32〔2〕抽取X32(k)的偶數點即可得到X(ej)在[0,2]的16點頻率域采樣X16(k)，即,15。X16(k)X32(2k),k,15。〔3x(n)16區(qū)〔1616DFT(FFT),X(ej)在[0,216點頻率域采樣X16(k。四、實驗結果實驗源程序%內容一：時域采樣理論程序%采樣頻率Fs=1000Hz;Tp=64/1000;%產生M長采樣序列x(n)Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;

%觀察時間Tp=64微秒A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,1);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %調用繪圖函數stemxlabel({'n';'(a)采樣頻率Fs=1kHz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(a)T*FT[xa(nT)],Fs=1kHz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%采樣頻率Fs=300Hz;Fs=300;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,3);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %調用繪圖函數stemxlabel({'n';'(b)采樣頻率Fs=300Hz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(b)T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])%采樣頻率Fs=200Hz;Fs=200;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); MFFT[xnt)]subplot(3,2,5);n=0:length(xnt)-1;stem(n,xnt,'.'); %調用繪圖函數stemxlabel({'n';'(c)采樣頻率Fs=200Hz'});ylabel('y(n)');axis([0,n(end),min(xnt),1.2*max(xnt)]);k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));xlabel({'f(Hz)';'(f)T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz'});ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])M=27;N=32;n=0:M;xa=0:floor(M/2);xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %1024點FFT[x(n)],x(n)的FTX32k=fft(xn,32); %32FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32點IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16點IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');boxontitle('(b)三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');boxontitle('(c)16');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');boxontitle('(d)16IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');boxontitle('(e)32點頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');boxontitle('(f)32點IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])〔2〕實驗運行結果實驗內容一：時域采樣理論的驗證150) 100 y 50 00 20 40 60n采樣頻率Fs=1kHz150) 100 y 50 00 5 10 15n采樣頻率Fs=300Hz

10.500 500 1000f(Hz)(a)T*FT[xa(nT)],Fs=1kHz10.500 100 200 300f(Hz)(b)T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz150) 100 y 50 00 5 10n

0.500

50 100 f(Hz)

200采樣頻率Fs=200Hz

(f)T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz實驗結論：時域采樣理論的驗證程序運行結果exp2a.m10.3.2300Hz150Hz當采樣頻率為200Hz時，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很嚴重。實驗內容二：頻域采樣理論的驗證)jeX||)

2001000200

0 0.5/(a)FT[x(n)]

20) x0120

0 10 20 n三角波序列x(n)(6 100 (6 10X1 x1| 00 2 4 6 8k點頻域采樣

00 10 20 30n點IDFT[X(k)](X3|

2001000

)n(x0 5 10 k點頻域采樣

16201000 10 20 30n點IDFT[X(k)]32x(nX(ej)在[0，2πN=16,NIDFTXN

(kx(n)16周期進行周期延拓后的主值區(qū)序列：x(n)IDFT[XN

(k)]N

[i

x(niN)]RN

(n)N=16N<MXN

(n)與x(n)不相同，如圖(c)和(d)所示；當N=32時，如圖(e)和(f)所示，由于N>M，頻域采樣定理，所以不存在時域混疊失真，因此XN

(n)與x(n)相同。五、思考題(選做)如果序列x(n)的長度為X(ej)在上的N點等間隔采樣，N<M時，如何用一次最少點數的DFT得到該頻譜采樣？答：先對原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后取主值區(qū)序列，x(n)[Ni

x(niN)]RN

(n),N1NDFT,N1X (k)IDFT[xN

(n)]N

X(e