天然腸衣數(shù)學(xué)建模

摘要該題是以天然腸衣為背景，對(duì)其搭配問(wèn)題進(jìn)行探討和研究，建立數(shù)學(xué)模型，利用 編程，得到符合實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)方案。在給出了成品規(guī)格表和原料描述表等資料的基礎(chǔ)上，采用整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃，分別以最大捆數(shù)、最優(yōu)方案、降級(jí)利用、時(shí)間限制四個(gè)方面為目標(biāo)和約束條件建立最優(yōu)模型，利用編程，制作一套科學(xué)編程程序，整理合理的數(shù)據(jù)以及便利的搭配方案，從而達(dá)到提供生產(chǎn)效率的目的。首先，通過(guò)分析題目中成品捆數(shù)越多越好的要求，建立最大捆數(shù)最優(yōu)模型。對(duì)給出的成品規(guī)格數(shù)據(jù)分類(lèi)為A、三類(lèi)，對(duì)原料按長(zhǎng)度分檔，以米為一檔，共46檔?？紤]到選擇最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多方案越好以及剩余材料可以降級(jí)利用，我們采用“倒序（從大規(guī)格取到小規(guī)格）”方法。其次，在上述建立的最優(yōu)模型基礎(chǔ)上，根據(jù)總長(zhǎng)度允許有土米的誤差,總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根這一約束條件，對(duì)不同規(guī)格建立約束條件函數(shù)并建立模型。最后，綜合以上兩個(gè)模型，把得出的規(guī)格余料降級(jí)至規(guī)格中，再建立規(guī)格模型，依次類(lèi)推，利用求解，最后得出如下結(jié)果：規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)136,出11種分配方式，并且把剩余材料降級(jí)至13.5米檔使用。、規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)34，出3種分配方式，剩余根材料降級(jí)為6.5米檔使用。規(guī)格最大捆數(shù)總捆數(shù)17,出2種分配方式。剩余材料為下表最后，得出最終捆數(shù)為 （捆），該 程序能在分鐘內(nèi)產(chǎn)生。關(guān)鍵字：整數(shù)規(guī)劃 編程搭配方案最優(yōu)模型一、問(wèn)題重述天然腸衣（以下簡(jiǎn)稱(chēng)腸衣）制作加工是我國(guó)的一個(gè)傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)，出口量占世界首位。腸衣經(jīng)過(guò)清洗整理后被分割成長(zhǎng)度不等的小段（原料），進(jìn)入組裝工序。傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式依靠人工，邊丈量原料長(zhǎng)度邊心算，將原材料按指定根數(shù)和總長(zhǎng)度組裝出成品（捆）。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.米5為一檔，如：3-3米.按43米計(jì)算，3.米5-3.米9按3.米5計(jì)算，其余的依此類(lèi)推。表1是幾種常見(jiàn)成品的規(guī)格，長(zhǎng)度單位為米，表示沒(méi)有上限，但實(shí)際長(zhǎng)度小于米。表1成品規(guī)格表最短長(zhǎng)度最大長(zhǎng)度根數(shù)總長(zhǎng)度36.52089713.588914OO589為了提高生產(chǎn)效率，公司計(jì)劃改變組裝工藝，先丈量所有原料，建立一個(gè)原料表。表2為某批次原料描述。表2原料描述表長(zhǎng)度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根數(shù)4359394127283421長(zhǎng)度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根數(shù)2424202521232118長(zhǎng)度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根數(shù)3123225918253529長(zhǎng)度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根數(shù)3042284245495064長(zhǎng)度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根數(shù)526349352716122長(zhǎng)度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根數(shù)060001根據(jù)以上成品和原料描述，設(shè)計(jì)-個(gè)原料搭E肚方案，工人根據(jù)這個(gè)方案“照召方抓藥”進(jìn)行生產(chǎn)。公司對(duì)搭配方案有以下具體要求：對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好；對(duì)于成品捆數(shù)相同的方案，最短長(zhǎng)度最長(zhǎng)的成品越多，方案越好；為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.米5的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根；(4某)種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13米.的5進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13米.的5規(guī)格；(5為)了食品保鮮,要求在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。請(qǐng)建立上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，給出求解方法，并對(duì)表1、表2給出的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，給出搭配方案。二、問(wèn)題分析2.1問(wèn)題背景分析該題以腸衣制作加工為背景，由題意可知，目的為建立一種模型，通過(guò)計(jì)算，生成經(jīng)過(guò)優(yōu)化后滿(mǎn)足成品規(guī)模要求的搭配方法，然后按照成品規(guī)格表，再根據(jù)“照方抓藥”選擇最優(yōu)方案，以達(dá)到減少勞動(dòng)強(qiáng)度、提高生產(chǎn)效率的目的。2.問(wèn)2題數(shù)據(jù)分析根據(jù)成品規(guī)格表，把成品規(guī)格分為三類(lèi)，分別為A、B、C三類(lèi)。原料按長(zhǎng)度分檔，通常以0.米5為一檔，如：3-3米.按43米計(jì)算，3.米5米按 米計(jì)算，其余的依此類(lèi)推，共 個(gè)小檔，在類(lèi)中只有個(gè)可用數(shù)據(jù)。2.問(wèn)3題要求分析題目要求裝出的成品捆數(shù)越多越好，建立f(x)的函數(shù)，當(dāng)maxf(x)=€xi時(shí)，即可以達(dá)到最優(yōu)解，以捆數(shù)最大為目標(biāo)方案進(jìn)行優(yōu)化。綜合考慮到(2)(4)中的要求，所以先從大規(guī)格開(kāi)始分析并且優(yōu)先選擇最長(zhǎng)腸衣充分搭配，使剩余原料長(zhǎng)度接近下一檔的最長(zhǎng)腸衣長(zhǎng)度。利用lingo軟件編程，求出最大捆數(shù)和每一規(guī)格在最大捆數(shù)下使用的具體根數(shù)。如果出現(xiàn)了剩余原料，則考慮降級(jí)使用，如長(zhǎng)度為14米的原料可以和長(zhǎng)度介于7-13米.的5進(jìn)行捆扎，成品屬于7-13米.的規(guī)格。在優(yōu)化過(guò)程中考慮到提高原料利用率，約束條件為總長(zhǎng)度允許有土 米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根。運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃，以捆數(shù)最大為目標(biāo)方案進(jìn)行優(yōu)化。最后，在確定了最大捆數(shù)的具體根數(shù)情況下，就每規(guī)格的具體搭配建立通用搭配模型，分別就三種規(guī)格具體數(shù)據(jù)，利用lingo軟件編程，求出三種規(guī)格成品各個(gè)搭配方案。三、模型假設(shè)假設(shè)在整理分配天然腸衣過(guò)程中不出現(xiàn)損壞情況。假設(shè)組裝整理任何時(shí)候機(jī)器和工人都正常并且不間斷工作假設(shè)不考慮時(shí)間、溫度、濕度等外界因素對(duì)腸衣質(zhì)量的影響假設(shè)接口處長(zhǎng)度忽略不計(jì)降級(jí)使用的原料不出現(xiàn)分割錯(cuò)誤等問(wèn)題該模型建立在一起理想化條件上，忽略外界因素對(duì)模型的影響四、符號(hào)說(shuō)明X為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)；ii為第幾種搭配方式；i表示第幾種搭配方式，i=l,2,3,...N；j表示第幾號(hào)材料,j=l,2,3,…24；R表示第i種搭配方式中，第j號(hào)材料的長(zhǎng)度；ijL表示j號(hào)種材料的長(zhǎng)度；jS表示表示j號(hào)材料的總根數(shù)。如Sl=35,表示14米檔的材料根數(shù)為35；j五、模型建立原料以3~3.4算為3米檔，3.5~3.9算為3.5米檔，依此類(lèi)推。長(zhǎng)度33.5424.52525.5根數(shù)435939001根據(jù)公司對(duì)搭配方案的要求，將不同長(zhǎng)度的腸衣分為三個(gè)規(guī)格，3-6.5米為規(guī)格A；7-13.5米為規(guī)格B；14-25.5米為規(guī)格C。某種規(guī)格對(duì)應(yīng)原料如果出現(xiàn)剩余，可以降級(jí)使用。因此先從大規(guī)格開(kāi)始分析求解。例如：大規(guī)格的材料有剩余，應(yīng)降級(jí)算入規(guī)格中，對(duì)材料降檔處理。規(guī)格：規(guī)格類(lèi)的材料為 米所取根數(shù)范圍為 ，并且所取總長(zhǎng)度范圍[88.5，89.5],將材料進(jìn)行編號(hào)：編號(hào)檔類(lèi)數(shù)量編號(hào)

檔類(lèi)數(shù)量1、根據(jù)條件1對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：式表示i種搭配方式中，各檔材料的根數(shù)小于該材料的總根數(shù)；式表示i種搭配方式中，各檔材料的根數(shù)之和為4或5根；式表示i種搭配方式中，各檔材料的長(zhǎng)度和的范圍是88.5,89.5］；式表示以i種搭配方式生產(chǎn)X捆成品，所需的各檔材料數(shù)小于該材料的總數(shù)；用LINGGO軟件進(jìn)行優(yōu)化求解(附錄1)，求得局部最優(yōu)解，得到結(jié)果總捆數(shù)136捆。11種分配方式，其分配方案如下：1141151161171181192202212222325捆4.55.56.57.58.59.50.51.52.5.5.5數(shù)111111422111113531121274111285239612167111148111112911111111111101121111剩余材料表如下，并把剩余材料降級(jí)至13.5米使用:規(guī)格的余料20米檔1根21.5米檔2根22.5米檔1根規(guī)格：規(guī)格B類(lèi)的材料為7~13.5米，所取根數(shù)范圍為 ，所取總長(zhǎng)度范圍［88.5,89.5］，并考慮降級(jí)使用的材料，將材料進(jìn)行歸于13.檔5。對(duì)材料進(jìn)行編號(hào)并制

成下表：編號(hào)1234567891011121314檔類(lèi)77.588.599.51010.51111.51212.51313.5數(shù)量2424202521232118312322591835+4=39i根據(jù)條件對(duì)于F給定的一批原料，裝出的成品?捆數(shù)i越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：用 求解得(附錄)：總捆數(shù)34捆。3種分配方式，其分配方案如下77.588.599.51010.51111.51212.51313.5捆數(shù)1111112122211211293121223剩余材料表如下，并把剩余材料降級(jí)至6.5米使用:規(guī)格及規(guī)格降級(jí)使用的余料米檔米檔米檔米檔米檔米檔米檔米檔規(guī)格：規(guī)格類(lèi)的材料為3-6.5米，所取根數(shù)范圍為 ，所取總長(zhǎng)度范圍［88.5,89.5］，并考慮降級(jí)使用的材料，將材料進(jìn)行歸于6.檔5，考慮降級(jí)使用的材料對(duì)材料進(jìn)行編號(hào)并制成下表。：編號(hào)檔類(lèi)數(shù)量i根據(jù)條件對(duì)于給定的一批原料，裝出的成品捆數(shù)越多越好，可建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：maxf(x)=€x(i=l,2,3,4,...N)iXi為某種搭配方式對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的腸衣捆數(shù)，i為第幾種搭配方式；2、根據(jù)條件3：為提高原料使用率，總長(zhǎng)度允許有±0.5米的誤差，總根數(shù)允許比標(biāo)準(zhǔn)少1根，建立相應(yīng)的約束條件：使用 軟件求解得：總捆數(shù)17捆。2種分配方式，其分配方案如下：33.544.555.566.5捆數(shù)134211224142013930213最終剩余材料:最終剩余材料：米檔根米檔根米檔根米檔根綜上，整理最終得出總捆數(shù)為六、模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):（1） 該方案，形式簡(jiǎn)單，通俗易懂易，所有的數(shù)據(jù)已表格形式呈現(xiàn)，易于操作和查看。（2） 方案數(shù)直觀顯示各種配方的類(lèi)型和所需數(shù)目，完全達(dá)到了“照方抓藥”的目的，也可以準(zhǔn)確得出剩余數(shù)目，方便工人對(duì)所需要加工的腸衣種類(lèi)做好準(zhǔn)備。（3） 提高了生產(chǎn)的速度，降低成本。缺點(diǎn):（1） 忽略原料損壞而使整個(gè)生產(chǎn)方案失效的情況。（2） 對(duì)軟件掌握不熟練，導(dǎo)致無(wú)法得出正確答案七、模型推廣該模型不僅應(yīng)用于原料優(yōu)化搭配，而且還在其他的優(yōu)化系統(tǒng)中有著很廣泛的應(yīng)用，由于線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題涉及的因素很多，因此我們建立約束條件來(lái)滿(mǎn)足所有的因素。因此我們?cè)诮獯鹁€(xiàn)性規(guī)劃的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，首先建立目標(biāo)函數(shù)，其次依據(jù)所有的因素建立目標(biāo)函數(shù)的約束條件，最后借助數(shù)學(xué)軟件來(lái)求解，得到我們滿(mǎn)意的方案。因此，對(duì)于生活中的實(shí)際問(wèn)題，我們依據(jù)模型中的方法，我們可以為決策者提供一定經(jīng)驗(yàn)，讓決策者采用更合理的方案。對(duì)決策者有一定的指導(dǎo)意義。模型的推廣:模型還可運(yùn)用到項(xiàng)目投資，證券交易等。附錄:程序：規(guī)格：22.523.525.5;enddatamax=@sum(pai:y);@for(liao(j):@sum(pai(i):y(i)*x(i,j))<=l(j));@for(liao(j):s(j)=l(j)-@sum