哈密頓原理-科學美學的瑰旨琦意

哈密頓原理

—科學(kēxué)美學的瑰旨琦意哈密頓原理的重要性分析力學(lìxué)的發(fā)展歷史最小作用量原理的含義及應用哈密頓簡歷精品資料哈密頓原理(yuánlǐ)的重要性物理學中最基本的原理是什么？哈密頓原理。著名量子物理學家(wùlǐxuéjiā)狄拉克曾十分推重這條原理。因為它具有普適性,也就是說,它反映了物理學各不同理論的同一性。不論是牛頓力學、麥克斯韋電動力學、玻爾茲曼統(tǒng)計力學,還是狹義相對論、廣義相對論,抑或量子力學以及一些量子場論,它們的核心方程,都能從哈密頓原理出發(fā)、憑借拉格朗日分析力學的方法導出：幾乎所有的物理學理論都能歸結于最小作用量原理,并利用變分法這個數(shù)學工具彼此統(tǒng)一起來。精品資料哈密頓原理(yuánlǐ)的重要性何以會如此？自然界本來是和諧統(tǒng)一的,物質之間全都有相互作用,從而導致物質運動狀態(tài)的變化,能量是所有物質運動狀態(tài)的共性,那末標示這共性的哈密頓函數(shù)或拉格朗日函數(shù)所滿足的哈密頓正則方程或拉格朗日方程,便是此和諧統(tǒng)一的象征。該方程能統(tǒng)一描述種種物質系統(tǒng)的運動規(guī)律。藉此,不同(bùtónɡ)系統(tǒng)的物理運動形式所內蘊的同一性,就得以清晰地顯示。精品資料哈密頓原理(yuánlǐ)的重要性如果認為整個物理學為科學美學提供了無數(shù)珍寶的話,那末哈密頓原理以及拉格朗日一哈密頓理論就是這些珍寶中的一顆非常晶瑩圓潤的上好明珠；盡管在若干優(yōu)異理論—諸如牛頓力學、相對論、量子力學等—的光芒照耀下,人們并不特別注重它。其實,它真可謂整個物理學的一根主心骨,所蘊含的美學意義厚實(hòushi)、深湛、雋永。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史繼牛頓力學體系之后,拉格朗日一哈密頓的分析力學體系是經(jīng)典力學發(fā)展史上的又一成功建樹。眾所周知,牛頓力學離不開牛頓本人所創(chuàng)建的微積分流數(shù)術,但他的《自然哲學之數(shù)學原理》一書闡述其力學體系還主要利用幾何的直觀形式,推理時必須用到的微積分乃采取其特殊表述的流數(shù)術。大數(shù)學家歐拉,將微積分表述成清晰簡潔的形式,并由以重新(chóngxīn)闡解了牛頓的質點力學,進而還探討、發(fā)展了剛體力學和流體力學。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史數(shù)學分析的進一步完善,則促使力學體系得以拓寬(tuòkuān)。在牛頓和歐拉之成就基礎上形成的拉格朗日一哈密頓力學體系,也明確地采用純數(shù)學分析的完善表述形式,其理論框架有所變更，此力學體系就稱作分析力學?！蹲匀徽軐W之數(shù)學原理》于1687年問世；一百年以后,拉格朗日出版了《分析力學》(1788年)。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史成書之前二十年,拉格朗日依據(jù)J.伯努利、達朗伯的工作成果,便已從兩條重要的力學原理—虛位移原理和達朗伯原理出發(fā),得出了動力學普遍方程。拉格朗日等人選取廣義坐標q作為獨立變量,引入所謂(suǒwèi)的拉格朗日函數(shù)L即拉氏量,而由動力學普遍方程導出二階微分形式的拉格朗日方程。精品資料1788年拉格朗日《分析(fēnxī)力學》之扉頁精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史又過了將近五十年,哈密頓進一步擴展了拉格朗日分析力學(lìxué)。他添入相應于廣義坐標的廣義動量,將其也作為獨立變量由拉氏量L轉變成哈氏量H—哈密頓函數(shù)。于是,他就將二階微分形式的拉格朗日方程(組)轉化成個數(shù)增加一倍的一階微分方程組，此方程形式更為簡潔、對稱,被稱作哈密頓正則方程。而后,又有所謂的哈密頓主函數(shù)的哈密頓一雅可比方程建立,該方程對于求解能量守恒問題尤顯簡易。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史分析力學有微分、積分兩種型式。拉氏方程和哈氏正則方程等屬微分型式。至于積分型式,乃從對最小作用量原理的探討起始。一般認為,該原理由莫佩蒂提出,其實對此最早作出確切表述的是歐拉,比他更早提及的可能還有萊布尼茲。各人對該原理的陳述方式不盡相同。粗略地可陳述為：凡物質系統(tǒng)運動變化,總是使其作用量S為最小或極小,但也可以為極大(jídà),即只要穩(wěn)定—取為極值便可,亦即實際發(fā)生的運動變化對應于作用量為穩(wěn)定的過程。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史變分法的發(fā)明使分析力學的建立和擴展有了簡便的數(shù)學工具。變分法發(fā)端于雅各布·伯努利和約翰·伯努利兄弟倆以及約翰的學生歐拉的卓越工作,并由拉格朗日用于構建其分析力學。變分原理使分析力學的微分型式和積分型式相互等價、易于轉換。作用量S之變分為零意指作用量取極值,即可由以簡捷(jiǎnjié)地導出拉格朗日方程和哈密頓正則方程等。所謂哈密頓作用量H,就是拉氏量L對時間的積分對應于實際發(fā)生的運動,其變分為零,即作用量S取作極值。這就是哈密頓原理。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史因此,該原理實際是作用量S的變分原理,這作用量S由拉氏量L確定。變分法是普通(pǔtōng)適用的數(shù)學原理在物理學各領域,拉氏量L和哈氏量H又是涵蓋面極廣的物理量。故而,哈密頓原理是物理學中最基本的原理,或可稱作第一性原理。這是經(jīng)典力學后牛頓發(fā)展的主要標志,也是物理學近、現(xiàn)代發(fā)展的一塊重要里程碑。當然,此原理還是以牛頓力學為其理論基礎的。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史第一性原理，英文FirstPrinciple，是一個計算物理或計算化學專業(yè)名詞，廣義的第一性原理計算指的是一切基于量子力學原理的計算。我們知道物質由分子組成，分子由原子組成，原子由原子核和電子(diànzǐ)組成。量子力學計算就是根據(jù)原子核和電子(diànzǐ)的相互作用原理去計算分子結構和分子能量（或離子），然后就能計算物質的各種性質。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史從頭算（abinitio）是狹義的第一性原理計算，它是指不使用經(jīng)驗參數(shù)，只用電子質量，光速，質子中子質量等少數(shù)實驗數(shù)據(jù)去做量子計算。但是這個計算很慢，所以就加入一些經(jīng)驗參數(shù)，可以大大加快計算速度，當然(dāngrán)也會不可避免的犧牲計算結果精度。第一性原理就是從頭計算，不需要任何參數(shù)，只需要一些基本的物理常量，就可以得到體系基態(tài)的基本性質的原理。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史那為什么使用“第一性原理”這個字眼呢？第一推動力是牛頓創(chuàng)立的，因為牛頓第一定律說明了物質在不受外力的作用下保持靜止或勻速直線運動。如果宇宙誕生之初萬事萬物應該是靜止的，后來卻都在運動，是怎么動起來的呢？牛頓相信這是由于上帝推了一把，并且牛頓晚年致力于神學研究?，F(xiàn)代科學認為宇宙起源于大爆炸，那么大爆炸也是有原因的吧。所有這些(zhèxiē)說不清的東西，都歸結為宇宙“第一推動力”問題。科學不相信上帝，我們不清楚“第一推動力”問題只是因為我們科學知識不完善。第一推動一定由某種原理決定。這個可以成為“第一原理”。愛因斯坦晚年致力于“大統(tǒng)一場理論”研究，也是希望找到統(tǒng)概一切物理定律的“第一原理”，可惜，這是當時科學水平所不能及的。現(xiàn)在也遠沒有答案。精品資料分析(fēnxī)力學發(fā)展史但是為什么稱量子力學計算為第一性原理計算？大概是因為這種計算能夠從根本上計算出來分子結構和物質的性質，這樣的理論很接近于反映宇宙本質的原理，就稱為(chēnɡwéi)第一性原理了。廣義的第一原理包括兩大類，以Hartree-Fork自洽場計算為基礎的abinitio從頭算，和密度泛函理論（DFT）計算。也有人主張，abinitio專指從頭算，而第一性原理和所謂量子化學計算特指密度泛函理論計算。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意物理學家考察具體的物理問題,常常以最小作用量原理為出發(fā)點,通過變分運算而導出物質系統(tǒng)的運動方程以表示其運動規(guī)律。所以,數(shù)學上的變分原理亦可謂物理學中一項可起頗大效用的方法論準則。牛頓質點運動方程可通過這樣的推導過程得出；甚至(shènzhì)如廣義相對論里的愛因斯坦場方程也可如此導出,盡管它是一個相當復雜的非線性方程。其實,所有運動方程就是拉格朗日方程或哈密頓正則方程在其拉氏量或哈氏量對于不同物質系統(tǒng)取不同形式時的具體體現(xiàn)。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意哈氏量H乃物質系統(tǒng)(xìtǒng)的動能T與勢能U之和,即H=T+U拉氏量L乃其動能T與勢能U之差,即L=T-U上兩式一般就保守系統(tǒng)(xìtǒng)、且受完整約束條件限制的場合而言。所以說,H和L都反映了物質系統(tǒng)(xìtǒng)的能量狀況。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意作用量S是系統(tǒng)在一段時間間隔(t1→t2)里L的累積數(shù)量,即S取極值，其變分(S往往(wǎngwǎng)取極小值)實際上,最小作用量原理意味著,一切物質系統(tǒng)的運動變化都遵循最大可能的經(jīng)濟原則即上文所說的往往(wǎngwǎng)使作用量降到最小或不很嚴格地說,乃能耗最小。這符合一般的變分原理,而變分法便是自然界里普遍成立的一條經(jīng)濟原則。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意數(shù)學家曾詳細討論過兩點之間的最短連線和最速降線變分法正起源于這些數(shù)學課題。在地面上的直立(zhílì)平面內,一質點在自身重量作用下,沿某一條曲線從一點最快地降到另一點這條曲線稱為速降線。伯努利兄弟等人通過變分運算,確定速降線呈擺線旋輪線形狀，見右圖。速降線呈擺線旋輪線形狀例子Ⅰ精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意與此相仿佛,費馬斷定光線在兩種介質的交界面上折射,之所以滿足折射定律(dìnglǜ)如右圖所示,也是因為循著一條最速路徑光程最短。例子Ⅱ精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意自由粒子在平坦空間里沿最短的直線行進,在彎曲空間里沿彎曲的最短程線行進。這短程線滿足的方程也由變分原理導出,其方法(fāngfǎ)與推導速降線的相同。該方程與愛因斯坦引力場方程相洽,它亦是廣義相對論的一個重大結論，而如前文已提及的,引力場方程的導出可采用引力場之作用量的變分運算。例子Ⅲ例子Ⅳ精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意從光線路徑和質點運動到四維彎曲時空中的短程線方程乃至引力場運動方式等等實例可見,無論是幾何問題,還是物理問題,都可憑籍變分法去圓滿地解決特別是最小作用量原理及其在物理學各領域的成功應用,正就是(jiùshì)利用變分法這一幾何方法、亦乃經(jīng)濟原則去解析各物質系統(tǒng)之運動規(guī)律的豐盈成果。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意變分法作為一個簡單、有效的幾何方法,具有明顯的賦美價值。作用量S等取極值,則導致靜止物體呈現(xiàn)平衡形態(tài)、運動物體呈現(xiàn)優(yōu)越的變化(biànhuà)方式。那末,最小作用量原理,或曰哈密頓原理,也就顯露出生動、豐富、瑰琦的臻美旨意。誠然,該原理是動力學原理而靜止物體取特定的形態(tài),亦有與其相似的緣由。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意例如,小液滴總是呈圓球形張在閉合金屬絲架上的肥皂膜均為極小曲面其面積極小形態(tài)。此乃因為液面的表面能與其表面積成正比,曲面不論封閉與否,凡表面能極小以至表面積極小者才是其穩(wěn)定平衡形態(tài)。相同體積的所有立體中球面(qiúmiàn)的表面積最小,當然,球形的對稱性最高而張成不同形狀的閉合圍線的極小曲面可謂千姿百態(tài),亦都富有一定的對稱性升觀之頗為賞心悅目。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意這里選載兩幅極小曲面圖,由其可見一斑。靜止(jìngzhǐ)物體的平衡態(tài)有穩(wěn)定和非平穩(wěn)之別,比如對于處在引力場里的物體而言,穩(wěn)定平衡態(tài)對應于引力勢能極小,非穩(wěn)平衡態(tài)對應于勢能極大。四條等長直線段相互連接，界定一極小曲面精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意如圖所示,小球(xiǎoqiú)在P1、P2點時很穩(wěn);P3點雖也是平衡點,但小球(xiǎoqiú)在此并不那么穩(wěn)定。極小值點(P1，P2)和極大值點(P3)，h超出平面的高度精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意開普勒定律表明行星沿著橢圓軌道繞恒星運行，牛頓(niúdùn)用他的動力學理論對此作了嚴密的論證。而從哈密頓一雅可比方程出發(fā),同樣可得出行星運行軌道一般為橢圓的結論,并且還可導出行星運行速度增大時,其軌道會演變成拋物線、甚或雙曲線形狀,至于圓形乃橢圓形的特例。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意如圖所示的從圓→橢圓→拋物線→雙曲線這一些圓錐曲線，正是天體(tiāntǐ)運動的優(yōu)美寫照。行星運行軌道精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意牛頓力學描繪了天體運動的出色圖景，拉格朗日一哈密頓理論描繪此圖景也毫不遜色。當然,在經(jīng)典力學范疇里,這兩個理論體系本來是等價的，二者的臻美旨意也相仿佛。只是著眼點有所不同；對于行星運動,牛頓著眼于行星與恒星之間的萬有引力；哈密頓等人著眼于行星運行時的能量守恒。正因為(yīnwèi)后者著眼于能量狀況,遂使哈密頓原理的適用性得以超出經(jīng)典力學范疇。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意就是說,在力學以外的經(jīng)典物理領域,哈密頓的作用量原理同樣有效。例如電磁場,也可對其設定作用量,令其變分為零,便可導出著名的麥克斯韋方程。與離散質點系不同,物質場是連續(xù)性系統(tǒng)亦有相應的連續(xù)性系統(tǒng)的拉格朗日方程,對子電磁場、弓力(ɡōnɡlì)場、流體等均適用。再者,哈密頓原理的應用還可越出經(jīng)典物理。量子力學的核心薛定鄂方程正可從哈密頓一雅可比方程過渡得出。量子力學的三種表述形式與拉格朗日一哈密頓理論比較,都有其直接的對應物當然,這里除了考慮到從經(jīng)典力學過渡到量子力學的對應原理外,還須引入量子概念。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意其實,作用量原理在量子場論研究中發(fā)揮的效用最大；經(jīng)典物理各動力學方程的導出,起先倒不必利用該原理,而建立種種量子場論,往往就是考查所研究之量子場的作用量,用變分法探索其變化規(guī)律。量子物理學家樂于采用此法去展示微觀物質層次的面貌。狄拉克認為：“哈密頓量H對于量子理論是真正重要的；只有通過將哈密頓量H或哈密頓概念的推廣,才能獲得成功?！币驗椤??從哈密頓量出發(fā)工作,確實是極為本質的”；而且由此出發(fā)的方法“有一個最大的優(yōu)點,便是可以很容易(róngyì)使得理論滿足相對性原理。”精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意看來,哈密頓作用量原理以及拉格朗日、哈密頓等人創(chuàng)造的憑借(píngjiè)變分法的研究方式,的確能揭示許多物質系統(tǒng)的運動狀況。物理世界的外觀美行星運行軌道、短程線等和內在美各種不同的運動規(guī)律,全都聚焦于這同一條最基本的原理這真乃大自然的造化神功。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意如果把哈密頓原理稱作“第一性原理”,那末也許可把由該原理簡捷地導出的拉格朗日方程(fāngchéng)或哈密頓正則方程(fāngchéng)稱作“第一性方程(fāngchéng)”。且把拉氏方程(fāngchéng)列出如下：其中，qi是第i個廣義坐標。倘若系統(tǒng)內有n個質點,同時受S個約束條件限制,則系統(tǒng)的自由度為3n-S。,相應地就有3n-S個獨立的廣義坐標。倘若是連續(xù)性物質系統(tǒng),即某一物質場,雖有無限多自由度,但qi代表場量,場量的個數(shù)當然不多。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意拉氏量是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù),前面已述,常有L=T-U。但L也可不取T-U的形式,它由所著眼于系統(tǒng)的某一特征而定。它可以反映系統(tǒng)是質點系還是物質場；也可以反映是經(jīng)典物理系統(tǒng)還是量子物理系統(tǒng)。它可以反映系統(tǒng)之動能及其相互作用勢的性質(xìngzhì)；也可以反映其他方面的主要特征,比如在廣義相對論里,則反映引力場之四維時空的彎曲征狀,如此等等。自然界中物質系統(tǒng)的多樣性,就由這拉氏量的不同形式表達得淋漓盡致。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意拉氏方程本身是關于L的線性微分形式,但因對于不同物質系統(tǒng),L的形式相差(xiānɡchà)甚多,故當它轉化成具體的質點系運動方程或場方程后,有時會是非線性的。比如愛因斯坦場方程—關于時空度規(guī)的微分方程,因L及其作用量體現(xiàn)了引力場的自作用而包含非線性項。由此可見,物質運動的一些線性規(guī)律和非線性規(guī)律,竟然都可溯源于相同的數(shù)學方程。既然拉氏方程是各種物質運動規(guī)律的統(tǒng)一表示形式,那末不妨說它是物理世界的一個最優(yōu)化的理性描述方式。對于一定條件下的保守系統(tǒng),L可等同于T-U,直截了當?shù)胤从诚到y(tǒng)的能量性質。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意而在別的某些場合,即使L代表系統(tǒng)其他方面的特征,這征還是與其能量有關；仍說廣義相對論的例子,時空的彎曲本由引力場的能量一動量所引起。因此,拉氏方程揭示的是物質系統(tǒng)能量性質(xìngzhì)趨于極至狀態(tài)這樣一條基本的經(jīng)濟原則,表明系統(tǒng)真實的運動過程比其他一切可能的變化方式都優(yōu)越、都經(jīng)濟系統(tǒng)總是通過最簡捷的途徑達到最佳狀態(tài)。姑妄言之,第一性原理和第一性方程的全部美學蘊含就在于其統(tǒng)一性乃至最優(yōu)性,它披露了一個使人愜意的真理宇宙萬物的運動變化服從于一個統(tǒng)一的經(jīng)濟模式。精品資料最小作用量原理(yuánlǐ)的臻美旨意既然不同物質系統(tǒng)的運動變化同出一轍、服從于同一的模式,那末物理世界必然呈現(xiàn)和諧統(tǒng)一的美妙圖像。拉氏量可以千變萬化,從而把這幅圖像渲染得斑斕多彩不同的拉氏量滿足同一方程,又使圖像的各個片段彼此協(xié)調和順。故而這第一性原理和第一性方程把物理世界的多樣性和同一性融于一體。此物理世界包含種種物質系統(tǒng)的不同運動形式,包含宇宙物質構成從宇觀(yǔɡuān)到微觀的所有層次。各層次、各系統(tǒng)的運動規(guī)律盡管有形形色色的特殊性,但都以同一的模式結合成為一個整體。這同一模式就把內涵宏富的整個物理學貫穿起來。精品資料最小作用(zuòyòng)量原理的臻美旨意任何物理理論都是物質系統(tǒng)運動的近似描述,各層次、各系統(tǒng)的具體理論都有一定的適用條件而它們的同一模式、即第一性原理和第一性方程的適用范圍也還是有限的。若作如下廣義定義:凡遵循這第一性原理和第一性方程的物質系統(tǒng),就稱為哈密頓系統(tǒng)。那末,迄今為止物理學主要研究的就是這樣的系統(tǒng)。也就是說,凡滿足此原理和此方程的物理理論,組成物理學迄今為止的全部理論結構的主體。至于上世紀中期(zhōngqī)開始紅火起來的混沌物理、分形物理、孤立子理論、耗散結構理論等,則超越了這個主體規(guī)范它們有另一番景象、另一派風光,它們會為當今物理學增添別的美學旨意,而且可能更為誘人、瑰琦、朦朧。精品資料哈密頓簡介(jiǎnjiè)哈密頓(WilliamRowanHamilton)是英國數(shù)學家、物理學家。1805年8月4日生于愛爾蘭的都柏林,父親是一位律師。少年時代母親和父親相繼去世,他是在叔父的悉心照料下成長起來的,少年及青年時代,哈密頓沒進過正規(guī)學校,但他從小天資過人,靠自學不僅掌握了12國語言,而且自修了數(shù)學。哈密頓12歲時已經(jīng)讀完了歐幾里得的拉丁文《幾何原本》,13歲即對牛頓的《自然科學與哲學原理》產(chǎn)生濃厚興趣,開始研究牛頓和拉普拉斯的著作。17歲時,向愛爾蘭皇家天文學會指出拉普拉斯《天體力學》中的數(shù)學錯誤,因為他發(fā)現(xiàn)了其中關于力的平行四邊形法則的證明有誤,令都柏林當時的天文學教授們大為震驚(zhènjīng)。1823年,18歲的哈密頓以第一名的成績考入都柏林大學的三一學院。在此期間他幾乎囊括了各種獎項,并用純分析的方法寫成了《光線系統(tǒng)理論》一文,建立了光的數(shù)學理論,被其導師布林克教授稱為“同齡人中第一流的數(shù)學家”。精品資料哈密頓簡介(jiǎnjiè)1828年,年僅22歲的哈密頓被任命為三一學院的天文學教授,兼任學校天文臺臺長。大學畢業(yè)后哈密頓定居(dìngjū)在都柏林附近的鄧辛克天文臺,這一工作使他有較多的時間從事數(shù)學與物理學研究,同年獲得愛爾蘭皇家天文學家的稱號。由于哈密頓的學術成就和聲望,1835年不列顛科學進步協(xié)會在都柏林召開的會議上推選他為主席,同年被授予爵士頭銜。1836年,皇家學會因他在光學上的成就而授予他皇家獎章。1837年,哈密頓被任命為愛爾蘭皇家科學院院長,直至1845年。1863年,新成立的美國科學院任命哈密頓為14位外國院士之一,此外,哈密