中國(guó)古代數(shù)學(xué)

中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展史張新強(qiáng)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展史中國(guó)是世界文明古國(guó)之一。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要學(xué)科，其發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就輝煌。古代數(shù)學(xué)發(fā)展的階段：(1)春秋前中國(guó)數(shù)學(xué)的萌芽(2)戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立(3)魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立(4)唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮(5)明清數(shù)學(xué)——從衰落到艱難的復(fù)興春秋前中國(guó)數(shù)學(xué)的萌芽：我們的先民在從野蠻走向文明的漫長(zhǎng)歷程中，逐漸認(rèn)識(shí)了數(shù)與形的概念。出土的新石器時(shí)期的陶器大多為圓形或其他規(guī)則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個(gè)著地點(diǎn)，都是幾何知識(shí)的萌芽。先秦典籍中有“隸首作數(shù)”、“結(jié)繩記事”、“刻木記事”的記載，說(shuō)明人們從辨別事物的多寡中逐漸認(rèn)識(shí)了數(shù)，并創(chuàng)造了記數(shù)的符號(hào)。殷商甲骨文(公元前14—前11世紀(jì))中已有13個(gè)記數(shù)單字，最大的數(shù)是“三萬(wàn)”，最小的是“一”。古代數(shù)學(xué)發(fā)展的階段：一、十、百、千、萬(wàn)，各有專(zhuān)名。其中已經(jīng)蘊(yùn)含有十進(jìn)位置值制萌芽。傳說(shuō)伏羲創(chuàng)造了畫(huà)圓的“規(guī)”、畫(huà)方的“矩”，也傳說(shuō)黃帝臣子倕是“規(guī)矩”和“準(zhǔn)繩”的創(chuàng)始人。早在大禹治水時(shí)，禹便“左準(zhǔn)繩”

，“右規(guī)矩”

。因此，我們可以說(shuō)，“規(guī)”、“矩”、“準(zhǔn)”、“繩”是我們祖先最早使用的數(shù)學(xué)工具。人們丈量土地面積，測(cè)算山高谷深，計(jì)算產(chǎn)量多少，粟米交換，制定歷法，都需要數(shù)學(xué)知識(shí)。古代數(shù)學(xué)發(fā)展的階段：春秋時(shí)期，隨著鐵器的出現(xiàn)，生產(chǎn)力的提高，中國(guó)開(kāi)始了由奴隸制向封建制的過(guò)渡。新的生產(chǎn)關(guān)系促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步。此時(shí)王權(quán)衰微，疇人四散，私學(xué)開(kāi)始出現(xiàn)。最晚在春秋末年人們已經(jīng)掌握了完備的十進(jìn)位置值制記數(shù)法，普遍使用了算籌這種先進(jìn)的計(jì)算工具。人們已諳熟九九乘法表、整數(shù)四則運(yùn)算，并使用了分?jǐn)?shù)。戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立：

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，各諸侯國(guó)相繼完成了向封建制度的過(guò)渡。思想界、學(xué)術(shù)界諸子林立，百家爭(zhēng)鳴，異?；钴S，為數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。盡管沒(méi)有一部先秦的數(shù)學(xué)著作留傳到后世，但是，人們通過(guò)田地及國(guó)土面積的測(cè)量，粟米的交換，收獲及戰(zhàn)利品的分配，城池的修建，水利工程的設(shè)計(jì)，賦稅的合理負(fù)擔(dān)，產(chǎn)量的計(jì)算，以及測(cè)高望遠(yuǎn)等生產(chǎn)生活實(shí)踐，積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)。戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立：

據(jù)東漢初鄭眾記載，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)分成了方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個(gè)部分，稱(chēng)為“九數(shù)”。九數(shù)確立了《九章算術(shù)》的基本框架。秦始皇結(jié)束了列國(guó)紛爭(zhēng)，首次建立了中央集權(quán)的封建帝國(guó)，本應(yīng)有利于數(shù)學(xué)的發(fā)展。但他的專(zhuān)制政策窒息了百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)空氣。秦朝的殘暴統(tǒng)治，尤其是焚書(shū)坑儒，給中國(guó)文化事業(yè)造成空前的浩劫。戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立：不久，劉邦利用推翻暴秦的農(nóng)民起義，統(tǒng)一了中國(guó)，建立了漢朝，史稱(chēng)西漢。西漢政府與民生息，社會(huì)生產(chǎn)力得到恢復(fù)、發(fā)展，給數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展帶來(lái)新的活力，人們提出了若干算術(shù)難題，并創(chuàng)造了解勾股形、重差等新的數(shù)學(xué)方法。同時(shí)，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數(shù)學(xué)新發(fā)展及先秦典籍的搶救工作的結(jié)晶，便是《九章算術(shù)》的成書(shū)?！毒耪滤阈g(shù)》(省稱(chēng)《九章》)是中國(guó)最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典，它之于中國(guó)和東方數(shù)學(xué)，大體相當(dāng)于《幾何原本》之于希臘和歐洲數(shù)學(xué)。戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立：

《九章》集先秦到西漢數(shù)學(xué)知識(shí)之大成。據(jù)東漢末大學(xué)者鄭玄(公元127—200年)引東漢初鄭眾說(shuō)，西漢在先秦九數(shù)基礎(chǔ)上又發(fā)展出勾股、重差兩類(lèi)數(shù)學(xué)方法。魏劉徽說(shuō)：《九章》是由九數(shù)發(fā)展而來(lái)的，由于秦朝焚書(shū)而散壞。西漢張蒼、耿壽昌(公元前1世紀(jì))收集秦火遺殘，加以整理刪補(bǔ)，便成為《九章算術(shù)》。戰(zhàn)國(guó)至兩漢中國(guó)數(shù)學(xué)框架的確立：方田章提出了完整的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則，各種多邊形、圓、弓形等的面積公式;粟米章提出了比例算法;崔分章提出了比例分配法則;少?gòu)V章給出了完整的開(kāi)平方、開(kāi)立方程序;商功章討論各種立體體積公式及工程分配方法;均輸章解決賦役中的合理負(fù)擔(dān)，也是比例分配問(wèn)題，還有若干結(jié)合西漢社會(huì)實(shí)際的算術(shù)雜題;盈不足章解決盈虧問(wèn)題及可以用盈不足術(shù)解決的一般算術(shù)問(wèn)題;方程章是線(xiàn)性方程組解法，并給出了正負(fù)數(shù)加減法則;勾股章由旁要發(fā)展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干測(cè)望問(wèn)題的方法。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

《九章算術(shù)》之后，中國(guó)的數(shù)學(xué)著述基本上采取兩種方式：一是為《九章算術(shù)》作注;二是以《九章算術(shù)》為楷模編纂新的著作。經(jīng)過(guò)兩漢社會(huì)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展，到魏晉，中國(guó)封建社會(huì)進(jìn)入一個(gè)新的階段，莊園農(nóng)奴制和門(mén)閥士族占據(jù)了經(jīng)濟(jì)政治舞臺(tái)的中心。思想文化領(lǐng)域中，儒家的統(tǒng)治地位被削弱，讖緯迷信和繁瑣的經(jīng)學(xué)退出歷史舞臺(tái)，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風(fēng)。學(xué)者們通過(guò)析理，探討思維規(guī)律，思想界出現(xiàn)了戰(zhàn)國(guó)的百家爭(zhēng)鳴以來(lái)所未有過(guò)的生動(dòng)局面。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：與此相適應(yīng)，數(shù)學(xué)家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立在必然的可靠的基礎(chǔ)之上。劉徽和他的《九章算術(shù)注》便是這個(gè)時(shí)代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。

大約與劉徽同時(shí)或稍前，有趙爽的《周髀算經(jīng)注》，其可觀者為“勾股圓方圖”，用600余字概括了兩漢以來(lái)勾股算術(shù)的成果。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：劉徽《九章算術(shù)注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面論證了《九章》的公式、解法，發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無(wú)窮小分割和極限思想，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章》的某些不精確的或錯(cuò)誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創(chuàng)造了解線(xiàn)性方程組的互乘相消法與方程新術(shù)，用十進(jìn)分?jǐn)?shù)逼近無(wú)理根的近似值等，使用了大量類(lèi)比、歸納推理及演繹推理，并且以后者為主。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

《孫子算經(jīng)》三卷，常被誤認(rèn)為春秋軍事家孫武所著，實(shí)際上是公元400年前后的作品。這是一部數(shù)學(xué)入門(mén)讀物，給出了籌算記數(shù)制度及乘除法則等預(yù)備知識(shí)，其河上蕩杯、雞兔同籠等問(wèn)題后來(lái)在民間廣泛流傳，“物不知數(shù)”題則開(kāi)一次同余式解法之先河。張丘建(今山東人，生平不詳)著的《張丘建算經(jīng)》三卷，成書(shū)于北魏(5世紀(jì)下半葉)。此書(shū)補(bǔ)充了等差級(jí)數(shù)的若干公式，其百雞問(wèn)題是著名的不定方程問(wèn)題，后世十分重視。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

《綴術(shù)》包含了祖沖之(公元429—500年)和兒子祖

更之的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。由于其內(nèi)容深?yuàn)W，隋唐算學(xué)館學(xué)官(相當(dāng)于今天大學(xué)數(shù)學(xué)系教授)讀不懂，遂失傳。據(jù)認(rèn)為，將圓周率精確到八位有效數(shù)字、球體積的解決及含有負(fù)系數(shù)的二次、三次方程皆是其中的內(nèi)容。祖沖之，字文遠(yuǎn)，祖籍范陽(yáng)逎人。劉宋大明六年(公元462年)造大明歷，使用歲差，改革閏制。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

他的改革遭到守舊派官僚戴法興的反對(duì)，祖沖之不畏權(quán)勢(shì)，據(jù)理駁斥，堅(jiān)持了反對(duì)讖緯迷信，不虛推古人，實(shí)事求是的科學(xué)精神。他對(duì)機(jī)械深有研究，制造過(guò)水碓、水磨、指南車(chē)、千里船、漏壺等，并著《安邊論》、《述異記》等。祖暅之，字景爍。從小愛(ài)好數(shù)學(xué)，巧思入神，極其精微。專(zhuān)心致志之時(shí)，雷霆不能入。有一次走路時(shí)思考問(wèn)題，仆射徐勉迎面而來(lái)竟然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，頭撞到徐勉身上，徐勉喚他，他才知道撞了人。其父的《大明歷》經(jīng)他的努力在梁朝頒行。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：隋唐是中國(guó)封建社會(huì)經(jīng)濟(jì)政治文化的鼎盛時(shí)期，然而數(shù)學(xué)上除天文歷法研究中劉焯(公元544—610年)創(chuàng)造等間距內(nèi)插公式(7世紀(jì)初)和僧一行(公元683—727年)創(chuàng)造不等間距內(nèi)插公式(8世紀(jì))外，幾無(wú)創(chuàng)造，數(shù)學(xué)成就及理論水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于魏晉南北朝。唐初王孝通(生卒不詳)撰《緝古算經(jīng)》一卷，解決了若干復(fù)雜的土方工程及勾股問(wèn)題，且都用三次或四次方程解決，是為現(xiàn)存記載三次、四次方程的最早著作。然而，《緝古算經(jīng)》未必是高于《綴術(shù)》的著作。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

王孝通是歷算博士，曾任太史丞，在天文歷法方面是保守的。他在《上〈緝古算經(jīng)〉表》中指責(zé)《綴術(shù)》全錯(cuò)不通，于理未盡，大約他與當(dāng)時(shí)別的數(shù)學(xué)家一樣讀不懂《綴術(shù)》。他自詡他的《緝古算經(jīng)》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法后人莫曉。科學(xué)家不必作謙謙君子，但如此狂妄，也是不足取的。魏晉至唐初中國(guó)數(shù)學(xué)理論體系的建立：

隋唐統(tǒng)治者在國(guó)子監(jiān)設(shè)算學(xué)館，置算學(xué)博士、助教指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。唐李淳風(fēng)等奉敕于顯慶元年(公元656年)為《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《張丘建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等十部算經(jīng)作注，作為算學(xué)館教材，這就是著名的《算經(jīng)十書(shū)》，該書(shū)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)奠基時(shí)期的總結(jié)。李淳風(fēng)等注釋保存了許多寶貴資料，但注釋水平并不高。由于種種原因，算學(xué)館實(shí)際未培養(yǎng)出像樣的數(shù)學(xué)家。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

宋元數(shù)學(xué)家賈憲、李冶、楊輝、朱世杰的著作，大都在成書(shū)后不久即刊刻。數(shù)學(xué)著作借助印刷術(shù)得以空前廣泛的流傳，對(duì)傳播普及數(shù)學(xué)知識(shí)，其意義尤為深遠(yuǎn)。宋元數(shù)學(xué)高潮早在唐中葉已見(jiàn)端倪。隨著商業(yè)貿(mào)易的蓬勃發(fā)展，人們改進(jìn)籌算乘除法，新、舊《唐書(shū)》記載了大量這類(lèi)書(shū)籍，可惜絕大多數(shù)失傳，只有韓延《算術(shù)》以《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》的名義流傳下來(lái)，該書(shū)提出了若干化乘除為加減的捷算法，并在運(yùn)算中使用了十進(jìn)小數(shù)，極可寶貴。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

11世紀(jì)上半葉賈憲撰《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》，是為北宋最重要的數(shù)學(xué)著作。賈憲曾任左班殿直，是當(dāng)時(shí)著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家楚衍的學(xué)生。還著有《算法??古集》二卷，已佚。他將《九章算術(shù)》未離開(kāi)題設(shè)具體對(duì)象甚至數(shù)值的術(shù)文大都抽象成一般性術(shù)文，提高了《九章算術(shù)》的理論水平;他對(duì)某些類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行概括，比如提出開(kāi)方作法本源即賈憲三角，作為他提出的立成釋鎖(即開(kāi)方)法的算表，這是開(kāi)方問(wèn)題的綱;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是創(chuàng)造增乘開(kāi)方法，并提出了開(kāi)四次方的程序。賈憲的思想與方法對(duì)宋元數(shù)學(xué)影響極大，是宋元數(shù)學(xué)的主要推動(dòng)者之一。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：大科學(xué)家沈括(公元1031—1095年)對(duì)數(shù)學(xué)有獨(dú)到的貢獻(xiàn)。在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，開(kāi)高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題之先河，又提出會(huì)圓術(shù)，首次提出求弓形弧長(zhǎng)的近似公式。12世紀(jì)北宋劉益撰《議古根源》，亦失傳。楊輝《田畝比類(lèi)乘除捷法》引用了它的若干題目與方法?！毒Y術(shù)》失傳之后，開(kāi)方式的系數(shù)仍皆為正數(shù)，劉益突破了這個(gè)限制，首先引入負(fù)系數(shù)方程，并創(chuàng)造了益積開(kāi)方術(shù)與減從開(kāi)方術(shù)求其正根，楊輝譽(yù)之為“實(shí)冠前古”。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

1127年金朝入主中原，趙宋南遷，史稱(chēng)南宋。1234年，蒙古貴族滅金，后來(lái)建立元朝。1279年元滅南宋，統(tǒng)一全國(guó)。13世紀(jì)中葉至14世紀(jì)初，是宋元數(shù)學(xué)高潮的集中體現(xiàn)，也是中國(guó)歷史上留下重要數(shù)學(xué)著作最多的半個(gè)世紀(jì)，并形成了南宋統(tǒng)治下的長(zhǎng)江中下游與金元統(tǒng)治下的太行山兩側(cè)兩個(gè)數(shù)學(xué)中心。南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數(shù)值解法、同余式解法及改進(jìn)乘除捷算法的研究為主。北方中心則以李冶為代表，以列高次方程的天元術(shù)及其解法為主。元統(tǒng)一中國(guó)后的朱世杰，則集南北兩個(gè)數(shù)學(xué)中心之大成，達(dá)到了中國(guó)籌算的最高水平。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：1247年秦九韶撰成《數(shù)書(shū)九章》18卷。秦九韶，字道古，自稱(chēng)魯郡(今山東省)人，約1202年生于普州安岳縣(今四川省)。他生活在宋元激烈斗爭(zhēng)的南宋末年，并卷入了南宋統(tǒng)治集團(tuán)戰(zhàn)和兩派的斗爭(zhēng)，支持抗戰(zhàn)派吳潛，屢遭劉克莊等人彈劾。賈似道專(zhuān)權(quán)后被貶到梅州(今廣東省)，不久(約公元1261年)死于任所，并在死后被追隨賈似道的周密丑詆不堪。他天資聰明好學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)、天文、土木建筑、詩(shī)詞、音律、弓馬等都十分精通。他多次呼吁統(tǒng)治者施仁政，并把數(shù)學(xué)知識(shí)看成開(kāi)源截流、施仁政、利國(guó)利民的有力工具。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

《數(shù)書(shū)九章》分大衍、天時(shí)、田域、測(cè)望、賦役、錢(qián)谷、營(yíng)建、軍旅、市易九類(lèi)81題，其成就之大，題設(shè)之復(fù)雜都超過(guò)以往算經(jīng)，有的問(wèn)題有88個(gè)條件，有的答案多達(dá)180條，軍事問(wèn)題之多也是空前的，反映了秦氏對(duì)抗元戰(zhàn)爭(zhēng)的關(guān)注。大衍總數(shù)術(shù)系統(tǒng)解決了一次同余式組解法;正負(fù)開(kāi)方術(shù)把以增乘開(kāi)方法為主導(dǎo)的求高次方程正根的方法發(fā)展到十分完備的程度，有的方程高達(dá)十次;線(xiàn)性方程組解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了與海倫公式等價(jià)的三斜求積公式;使用了完整的十進(jìn)小數(shù)表示法，等等，都是其杰出成就。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

1262年又撰《日用算法》，著重于改進(jìn)乘除捷算法，只有少量題目保存下來(lái)。1274年撰《乘除通變本末》三卷。卷上的“習(xí)算綱目”是一個(gè)從啟蒙到《九章》主要方法的數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃。本書(shū)還總結(jié)了九歸等乘除捷算法及其口訣。次年編纂《田畝比類(lèi)乘除捷法》二卷，引用了劉益的方法與題目，批評(píng)了《五曹算經(jīng)》四不等田求法的錯(cuò)誤。同年，編纂《續(xù)古摘奇算法》二卷，對(duì)縱橫圖即幻方研究頗有貢獻(xiàn)。后三部書(shū)又常合稱(chēng)為《楊輝算法》。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：楊輝共撰五部數(shù)學(xué)著作，傳世的有四部，居元以前數(shù)學(xué)家之冠。楊輝，字謙光，錢(qián)塘(今杭州市)人，生平不詳，只知在今江浙一帶管錢(qián)糧，為政清廉。與其他大家比較，他的著作偏重于教育與普及。1261年，楊輝在劉徽注、李淳風(fēng)等注釋、賈憲細(xì)草的《九章算術(shù)》基礎(chǔ)上作解題、比類(lèi)，并補(bǔ)充了圖、乘除、纂類(lèi)三卷，是為《詳解九章算法》，今圖、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比類(lèi)中的垛積術(shù)發(fā)展了沈括的隙積術(shù);“纂類(lèi)”則打破了《九章算術(shù)》的分類(lèi)格局，按方法分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類(lèi)。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：十二、十三世紀(jì)，北方出現(xiàn)了許多天元術(shù)著作，大都失傳，流傳至今的最早的以天元術(shù)為主要方法的著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，號(hào)敬齋，真定欒城(今河北省)人，生于大興(今北京市)。其父為官清廉正直，李冶自幼受到良好的教養(yǎng)，且愛(ài)好數(shù)學(xué)，青年時(shí)便成為名重中原的學(xué)者，金詞賦科進(jìn)士。入元，遂隱居于忻、郭一帶，在極為艱苦的條件下研究數(shù)學(xué)及各種學(xué)問(wèn)。1251年起，主持封龍書(shū)院(今河北省)。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

1257、1260年兩次受到元主忽必烈召見(jiàn)，發(fā)表了立法度，正綱紀(jì)，進(jìn)君子，退小人，減刑罰，止征戰(zhàn)，反對(duì)種族偏見(jiàn)的政治主張。他被聘為翰林學(xué)士。然而他羞于作唯天子、宰相之命是聽(tīng)的御用文人，不久便以老病為辭回到封龍山。他一生文史著述頗多，僅存《敬齋古今黈》。《測(cè)圓海鏡》在洞淵九容基礎(chǔ)上考慮了勾股形與圓的10種基本關(guān)系，在卷二一十二中就15個(gè)勾股形與圓的關(guān)系提出了170個(gè)求圓徑長(zhǎng)的問(wèn)題，答案當(dāng)然都相同。這些問(wèn)題大都要用天元術(shù)列出方程。卷一是全書(shū)的理論基礎(chǔ)，包括圓城圖式、識(shí)別雜記等部分。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：朱世杰有兩部重要著作《算學(xué)啟蒙、《四元玉鑒傳世。朱世杰，字漢卿，號(hào)松庭，燕山人。他在13世紀(jì)末以數(shù)學(xué)名家周游全國(guó)20余年，向他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人很多?！端銓W(xué)啟蒙》20門(mén)，259問(wèn)，包括了從乘除及其捷算法到增乘開(kāi)方法、天元術(shù)等當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)各方面的內(nèi)容，形成了一個(gè)較完整的體系?！端脑耔b》，卷首給出古法七乘方圖(改進(jìn)了的賈憲三角)等四種五幅圖，以及天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)的解法范例。創(chuàng)造四元消法，解決了多元高次方程組問(wèn)題，以及高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，高次招差法問(wèn)題，是本書(shū)最大的貢獻(xiàn)。此書(shū)是中國(guó)古代水平最高的數(shù)學(xué)著作。唐中葉至宋元中國(guó)數(shù)學(xué)的高潮：

楊輝、朱世杰等人對(duì)籌算乘除捷算法的改進(jìn)、總結(jié)，導(dǎo)致了珠算盤(pán)與珠算術(shù)的產(chǎn)生(大約在元中葉)，完成了我國(guó)計(jì)算工具和計(jì)算技術(shù)的改革。元中后期，又出現(xiàn)了《丁巨算法》、賈亨《算法全能集》、何平子《詳明算法》等改進(jìn)乘除捷算法的著作。明清數(shù)學(xué)：

元中葉之后，中國(guó)數(shù)學(xué)急劇衰落，元末的幾部著作只是對(duì)乘除捷算法有所改進(jìn)。明永樂(lè)年間(公元1403—1425年)修《永樂(lè)大典》，將前此的中國(guó)數(shù)學(xué)著作按起源、各種數(shù)學(xué)方法及音義、纂類(lèi)等分類(lèi)抄錄。漢唐宋元數(shù)學(xué)著作在明代大都散佚，清中葉修《四庫(kù)全書(shū)》，中國(guó)古算書(shū)多賴(lài)此重新面世。明清數(shù)學(xué)：

明代八股取士，思想禁錮嚴(yán)重，學(xué)者們很少留心數(shù)學(xué)。顧應(yīng)祥、唐順之是明代數(shù)學(xué)大家，全然不懂天元術(shù)和增乘開(kāi)方法。景泰元年(公元1450年)吳敬撰《九章算法比類(lèi)大全》十卷，收集歷代應(yīng)用題，亦拋棄了增乘開(kāi)方法和天元術(shù)。元明之后，隨著籌算捷算法的完備，珠算術(shù)產(chǎn)生并得到普及，明朝出現(xiàn)了一批有關(guān)珠算的著作。其最著者為程大位的《算法統(tǒng)宗》(公元1592年)此書(shū)適應(yīng)商業(yè)發(fā)展的需要，以珠算為主要計(jì)算工具，并載有珠算開(kāi)方法。此書(shū)在以后二、三百年問(wèn)被多次翻刻、改編，流傳之廣是罕見(jiàn)的。明清數(shù)學(xué)：

16世紀(jì)末，利瑪竇等歐洲傳教士來(lái)華，與徐光啟等一起翻譯《幾何原本》等著作。后來(lái)，傳教士們又引入了三角學(xué)、對(duì)數(shù)等西方初等數(shù)學(xué)，從此，中國(guó)數(shù)學(xué)開(kāi)始了中西會(huì)通的階段。清朝260余年，留下數(shù)學(xué)著作極多，都在不同程度上融會(huì)中西數(shù)學(xué)。清宣城梅文鼎潛心于中西數(shù)學(xué)研究，著述甚多，其孫梅瑴成將他的著作編輯成《梅氏叢書(shū)輯要》60卷，其中數(shù)學(xué)著作13種40卷，內(nèi)容遍及當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的各個(gè)門(mén)類(lèi)，對(duì)清朝數(shù)學(xué)影響極大。明清數(shù)學(xué)：康熙皇帝愛(ài)好數(shù)學(xué)，他御定由梅瑴成、何國(guó)宗、明安圖、陳厚耀等編纂的《數(shù)理精蘊(yùn)》53卷，全面系統(tǒng)地介紹了當(dāng)時(shí)傳入的西方數(shù)學(xué)知識(shí)。上編立綱明體，為數(shù)理本源、幾何原本、算術(shù)原本等五卷;下編分條致用，為實(shí)用數(shù)學(xué)和借根方比例，以及對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等，同樣對(duì)清朝數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大影響。此書(shū)于雍正元年(公元1723年)印行。1723年，雍正帝即位，認(rèn)為傳教士不利于自己的統(tǒng)治，除少數(shù)供職于欽天監(jiān)者外，將傳教士悉數(shù)趕到澳門(mén)。此后，西學(xué)的傳入遂告一段落，中國(guó)數(shù)學(xué)家一方面消化前此傳入的數(shù)學(xué)知識(shí)，一方面忙于整理中國(guó)古典數(shù)學(xué)著作。明清數(shù)學(xué)：

18世紀(jì)初，法人杜德美傳入牛頓、格雷果里創(chuàng)造的三個(gè)三角函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。后來(lái)，三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)展開(kāi)式的研究成為中國(guó)數(shù)學(xué)家的重要課題。明安圖、董祐誠(chéng)、項(xiàng)名達(dá)、戴煦等都作出了杰出貢獻(xiàn)。李善蘭的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對(duì)數(shù)探源在三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的研究上取得了更大的成就。他創(chuàng)造的尖錐術(shù)提出了幾個(gè)相當(dāng)于定積分的公式，在接觸西方微積分思想之前獨(dú)立地接近了微積分學(xué)。李善蘭，字壬叔，號(hào)秋紉，浙江海寧人。幼年即嗜好數(shù)學(xué)，30余歲即獲創(chuàng)造性成果。明清數(shù)學(xué)：

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