第一章函數(shù)與極限參考模板范本

班級學(xué)號姓名PAGE135第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即.試證：定義在對稱區(qū)間上的任意函數(shù)均可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.設(shè)，及是單調(diào)增函數(shù)，且.證明：.第二節(jié)初等函數(shù)設(shè)，，則，，，，.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t下列函數(shù)()的定義域是：（a） （b） （c） （d）設(shè)，，則，.一球的半徑為，作外切于球的圓錐，試將其體積表示為高的函數(shù)，并指明定義域.證明：.第三節(jié)數(shù)列的極限觀察下列數(shù)列的變化趨勢，用線將其與相應(yīng)結(jié)果連接起來. （a）極限為1 （b）極限為0 （c）極限不存在根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：.設(shè)數(shù)列有界，又，證明：.第四節(jié)函數(shù)的極限根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：.已知，問等于多少，可使時(shí)有成立？設(shè)，則，，，，問與是否存在？第五節(jié) 無窮小與無窮大根據(jù)定義證明：y=xsin當(dāng)x時(shí)為無窮小.函數(shù)y=xcosx在()內(nèi)是否有界？又當(dāng)x時(shí)，這個(gè)函數(shù)是否為無窮大？為什么？函數(shù)f(x)=當(dāng)x時(shí)極限存在嗎？何時(shí)是無窮大？何時(shí)是無窮小？第六節(jié)極限運(yùn)算法則計(jì)算下列極限.（1） （2）（3）（4）計(jì)算下列極限.（1） （2）（3） （4）（5） （6）第七節(jié)極限存在準(zhǔn)則,兩個(gè)重要極限計(jì)算下列極限.（1） （2）（3） (4)計(jì)算下列極限.（1） （2）（3） （4）已知=0，求a，b.利用極限存在準(zhǔn)則證明極限或求極限.（1）=1 （2）=0(3)(4)設(shè)數(shù)列{x}由下式給出：x>0,x=，（），證明存在，求其值.第八節(jié)無窮小的比較當(dāng)時(shí)，將下列所給無窮小與跟其相應(yīng)的結(jié)論用線連接起來： （a）是比低階的無窮小 （b）是比高階的無窮小 （c）是同階的無窮小，但不等價(jià) （d）是的等價(jià)無窮小當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)無窮小中，（）是比其它三個(gè)更高階的無窮小.為什么？（a） (b) (c) (d)利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下列極限：（1） （2），（3） （4）第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)設(shè)函數(shù)，則，，故是函數(shù)的第類間斷點(diǎn).討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判別其類型.下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷，說明這些間斷點(diǎn)屬哪一類，如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù).(1),,()(2),第十節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是：.求下列極限：(1) (2)(3) (4)(5)(提示：令) （6）設(shè)，應(yīng)怎樣選取數(shù)，，才能使處處連續(xù)？第十一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明方程至少有一個(gè)根介于1和2之間.設(shè)在上連續(xù)，且，，試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.第一章函數(shù)與極限總習(xí)題設(shè)，則.設(shè)，，求.計(jì)算下列極限：（1） （2）（）（3） （4）計(jì)算下列極限：（1） （2）（3） （4）已知，試求，之值.設(shè)，且（），證明：.已知，（），證明數(shù)列的極限存在并求.研究函數(shù)（）的連續(xù)性.第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念假設(shè)下列極限存在，則（1）= （2）= （3）= （4）若f(0)=0，則=設(shè)，因?yàn)? = ，故在處，又== ，所以在處既 又設(shè)，其中為連續(xù)函數(shù)且，證明在點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)，又在點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)各等于什么?設(shè)，求及，又是否存在？說明函數(shù)，在處連續(xù)但不可導(dǎo).已知，問應(yīng)各為何值時(shí)，處處連續(xù)、可導(dǎo).求曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程和法線方程.第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其中x、y是變量.（1） (2)（3） (4)(5)求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).（1） （2）試求經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.第三節(jié)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）設(shè)是的反函數(shù)，，求.在下列各題中，設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求.（1） （2）第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)（1）.（2）.（3）（其中，為自然數(shù)，且）.（4）設(shè)函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，則=.（1）求. （2）設(shè)，求.（3）設(shè)，求，，.試從導(dǎo)出：（1）；（2）.求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式.（1） （2）第六節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) (2),求求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).(1) (2)用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(或) (2)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)求當(dāng)時(shí)的值.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù).求對數(shù)螺線在點(diǎn)處的切線方程.在中午12點(diǎn)整甲船以6km/h的速率向東行駛,乙船在甲船之北16km,以8km/h之速度向南行,在下午1點(diǎn)整兩船相離之速率度為多少?第七節(jié)函數(shù)的微分已知,請將時(shí),分別等于1,0.1時(shí)的全增量與全微分與它們相應(yīng)的值用線連起來. 11 18 1.161 1.1求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的微分.(1), (2)，求下列復(fù)合函數(shù)的微分.(1), (2),將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi),使等式成立.(1)() (2)()(3)() (4)()計(jì)算.用一階微分形式不變性,求,這里第二章導(dǎo)數(shù)與微分總習(xí)題設(shè)和是在上定義的函數(shù),且具有如下性質(zhì).(1)(2)和在點(diǎn)可導(dǎo),且已知,證明:在上可導(dǎo).設(shè),求.設(shè),求.設(shè),求.設(shè)試證明關(guān)系式并求.設(shè)函數(shù)，存在，確定常數(shù)的值.設(shè)參數(shù)方程求及.已知，求.設(shè)，求.液體從深為，頂部直徑為的正圓錐形漏斗，漏入直徑為的圓柱形桶中，開始時(shí)漏斗盛滿液體，已知漏斗中液面深時(shí)，液面下落速度為，問此時(shí)桶中液面上升的速度是多少？

第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 中值定理填空（1）曲線在點(diǎn)_____________處的切線與連接曲線上(0,1)，(1,e)兩點(diǎn)的弦平行.（2）對函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日時(shí)所求得的=_________.證明：不等式.若方程有一個(gè)正根，證明方程必有一個(gè)小于的正根.（）設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，令，證明在,使.證明多項(xiàng)式在上不可能有兩個(gè)零點(diǎn).第二節(jié) 洛必達(dá)法則用洛必達(dá)法則求下列極限.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）若的二階導(dǎo)數(shù)存在，求.討論，在點(diǎn)處的連續(xù)性.設(shè)，在處可導(dǎo)，求和.第三節(jié) 泰勒公式填空.（1）的二階麥克勞林公式是____________________________；（2）在點(diǎn)處的二階泰勒公式是_________________________________；（3）在點(diǎn)處的二階泰勒公式是_____________ ________.求二階麥克勞林公式.第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判別法填空：（1）在區(qū)間單調(diào)減少，在區(qū)間單調(diào)增加.（2）在區(qū)間單調(diào)減少，在區(qū)間單調(diào)增加.（3）若和是單調(diào)增加的，則+是單調(diào)的，是單調(diào)的.證明下列不等式：（1）（） （2）設(shè)對于一切有，并且，證明當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，.試證明方程只有一個(gè)實(shí)根.第五節(jié)函數(shù)的極值及其求法填空：（1），在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)=，在點(diǎn)處取極值.（2）若時(shí)，函數(shù)取得極值，則=.（3）的極大值是，極小值是.求下列函數(shù)的極值.（1），（） （2）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)在處有極值？是極大值還是極小值？并求此極值.證明：如果函數(shù)滿足條件<0，那么該函數(shù)沒有極值.方程有幾個(gè)實(shí)根？第六節(jié)最大值、最小值問題填空:（1）函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值為，最小值為.（2）在區(qū)間上的最大值為，最小值為.證明下列不等式:(1)當(dāng)時(shí),. (2)若及，則.求橢圓上的點(diǎn)，使過此點(diǎn)的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小.已知炮彈的彈道方程（不計(jì)空氣阻力）為，其中取炮彈的發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，為彈道曲線在原點(diǎn)的切線斜率，問：（1）為多少時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？（2）在離發(fā)射點(diǎn)300處有一直立墻壁，則為多少時(shí)炮彈擊中墻的高度最大？一火車鍋爐每小時(shí)耗煤的費(fèi)用與火車行駛速度的立方成正比，已知當(dāng)車速為20時(shí)，耗煤40元/h,其它費(fèi)用10元/h，甲、乙兩地相距km,問火車行駛速度如何，才能使火車由甲地開往乙地的總費(fèi)用最省.第七節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn)填空.(1)曲線在區(qū)間___________上是凸的,在區(qū)間___________上是凹的,拐點(diǎn)為_________________.(2)曲線的拐點(diǎn)為________________.利用函數(shù)圖形的凹凸性,證明下列不等式:(1)(2)問和為何值時(shí),點(diǎn)(1,3)為曲線的拐點(diǎn).第八節(jié)函數(shù)圖像的描繪作出下列函數(shù)的圖形.(1) (2)第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用總習(xí)題若是上的正值可微函數(shù)，則有點(diǎn)，使.設(shè)在上可微，證明：一定存在，使得.設(shè),證明不等式.求下列極限.（1） （2）（3）（4）(其中)假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)且端點(diǎn)函數(shù)值都為零，并且，試證:（1）在開區(qū)間內(nèi)；（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使.研究函數(shù)(為自然數(shù)）的極值.函數(shù)在處有極值，試求之值，證明已給函數(shù)對于這兩個(gè)值在點(diǎn)處為極小，在點(diǎn)處為極大.求橢圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn).設(shè)的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果,是否為極值點(diǎn)？為什么？10.要造一個(gè)圓柱形油罐，體積為V，問底半徑r和高h(yuǎn)等于多少時(shí)，才能使表面積最??？11.試決定中的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn).12.試證曲線的的拐點(diǎn)都在曲線上.13.求數(shù)列的最大項(xiàng).

第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)填空.（1）若，則=______________，=_____________.（2）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且=_________________，=____________.（3）在積分曲線族中，與直線相切的曲線過點(diǎn)________，其方程為_________________.（4）一物體由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)后的速度是，那么， （a）在3后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是________. （b）物體走完360m所需時(shí)間為_______.把下列函數(shù)與它的原函數(shù)用線連接起來. （1） （ （2） （ （3） （ （4） （ （ （計(jì)算下列不定積分.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）第二節(jié) 換元積分法填入適當(dāng)?shù)南禂?shù)，使下列等式成立.（1） （2）（3） （4）（5） （6）若.（1） （2） （3）計(jì)算下列不定積分.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）計(jì)算下列不定積分.（1）（） （2）（）（3） （4）（5） （6）第三節(jié)分部積分法下列不定積分采用分部積分法時(shí),___________選,__________選.(1), (2)(3), (4)已知的一個(gè)原函數(shù)為,則=____________.計(jì)算下列不定積分.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)設(shè)(正整數(shù)m>2),導(dǎo)出遞推公式第四章不定積分總習(xí)題計(jì)算下列不定積分.（1） （2）（3） （4）（5） (6)(7) (8)(9) (10)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求函數(shù).計(jì)算不定積分.

第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念用定義計(jì)算時(shí)，將分成________等份，取子區(qū)間的左端點(diǎn)為.函數(shù)在下列區(qū)間上是否可積？為什么？ 在上___________________________________________________________. 在上___________________________________________________________.試用定積分表示：（1）曲線所圍成的圖形的面積___________________.（2）曲線及x軸所圍成的圖形的面積_______________.第二節(jié) 定積分的性質(zhì)、中值定理估計(jì)下列定積分的值.（1） （2）證明：（n為正整數(shù)）第三節(jié) 微積分的基本公式填空.（1）若在上連續(xù)，為內(nèi)任固定點(diǎn)，則；（2）設(shè)，則的一個(gè)函數(shù)=________________；（3）若函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則；（4）設(shè)函數(shù)，則；的駐點(diǎn)為x=___________，極值點(diǎn)為____________，極值為____________；（5）設(shè)由確定y是x的函數(shù)，則.將極限表示為定積分，并求其值.計(jì)算下列極限.（1） （2）（3），其中連續(xù).用牛頓--萊布尼茲公式計(jì)算下列定積分.（1） （2）設(shè)，求.計(jì)算下列定積分.（1） （2）設(shè)，其中連續(xù)，且.試確定C使連續(xù).設(shè)，求的表達(dá)式.第四節(jié) 定積分換法填空.（1）已知.（2）.（3）設(shè)在上連續(xù)，.若為上連續(xù)的偶函數(shù)，，證明為偶函數(shù).計(jì)算下列定積分.（1） （2）（3） （4）設(shè)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明積分的值與a無關(guān).試證下列各題.設(shè)在上連續(xù)，則.第五節(jié)定積分的分部積分法填空:(1)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且,計(jì)算__________.(2)若具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，則.設(shè)，分別計(jì)算（1）當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)的值.計(jì)算下列定積分.(1) (2)(3) (4)設(shè)連續(xù),且,,求的值.第七節(jié)廣義積分證明:.將下列廣義積分與其收斂時(shí)的取值范圍用線連接起來.(1) a.（2） b.（3）并寫出第（2）題的解題過程.計(jì)算下列廣義積分.（1） （2）（3）第五章定積分總習(xí)題設(shè)處處連續(xù)，且，，則，，.設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，，試證：在內(nèi)，方程至少有一個(gè)實(shí)根.計(jì)算下列極限.（1） （2）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明.計(jì)算下列極限.（1） （2）(3) (4)()設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，，，證明：（1）；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一根.求正常數(shù)，，使得.設(shè)函數(shù)，（1）證明為偶函數(shù)；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.設(shè)在上連續(xù)、可導(dǎo),不恒為零，.求.10.設(shè)，計(jì)算.

第六章 定積分的應(yīng)用第二節(jié) 平面圖形的面積求下列曲線所圍圖形的面積.（1）. （2）（3）.求曲線和直線所圍圖形的面積.（畫出草圖）求拋物線與其在點(diǎn)（及（處的切線所圍平面圖形的面積.求位于曲線下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以及x軸上方之間圖形的面積.（畫出草圖）心臟線與圓所圍圖形公共部分的面積.試確定a的值，使曲線與三直線所圍圖形的面積最小.第三節(jié) 體積由曲線所圍圖形繞x軸旋而成旋轉(zhuǎn)體的體積V=_____________.A． B． C．函數(shù)，在區(qū)間上上連續(xù)，且，則由曲線及直線所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積是______________.曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體，求其體積.求曲線與直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積.求曲線與直線所圍圖形繞直線要旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積.求圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積.第四節(jié) 平面曲線的弧長已知函數(shù)，其定義域是_____________；；所表示的曲線的全長L=_______________，并寫出求解過程.計(jì)算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長度.計(jì)算星形線的全長.求心臟線的全長（a>0）.在擺線上求分?jǐn)[線第一拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo).第六章 定積分的應(yīng)用總習(xí)題曲線處的法線方程是__________________________，該法線與曲線的交點(diǎn)為_______，它們所圍圖形的面積是_________________.曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為=__________，它們所圍圖形的公共部分面積的積分表達(dá)式為_________________，面積值為_____________.曲線在區(qū)間內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線和曲線所圍圖形的面積最小.曲線分別繞x軸及直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（.設(shè)拋物線通過點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.試確定的值，使得拋物線與直線所圍圖形的面積為，且使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成旋轉(zhuǎn)體的體積最小.

第七章空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系將下列各點(diǎn)與它所具有的特殊位置用線連接起來. 在軸上 坐標(biāo)原點(diǎn) 在面上 在面上 在軸上求點(diǎn)分別關(guān)于(1)各坐標(biāo)面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).求點(diǎn)與原點(diǎn)及各坐標(biāo)軸間的距離.試證以點(diǎn)，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.第二節(jié)向量及其加法,向量與數(shù)的乘法設(shè)，，試用，，表示.把的邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為，，，，在把各分點(diǎn)與點(diǎn)連接，試以，表示向量，，和.用向量的方法證明：由三角形兩邊中點(diǎn)所連成的線段（中位線）平行于第三邊，且等于第三邊之半.第三節(jié)向量的坐標(biāo)填空:(1)設(shè)向量的模是4，它與軸的夾角是，則在軸上的投影等于.(2)一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)，它在軸、軸和軸上的投影依次是4，－4和7，則這向量的起點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為.(3)設(shè)一向量的方向角依次是，，，若已知其中之二角為,，則第三角γ=.(4)與向量平行的單位向量是.已知兩點(diǎn)和，求向量的模、方向余弦和方向角.設(shè)，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量.求由兩點(diǎn)和所連成的線段的中點(diǎn)和兩個(gè)三等分點(diǎn)，的坐標(biāo).第四節(jié) 數(shù)量積、向量積已知向量與垂直，向量與平行，求和的值.設(shè)，，問為何值時(shí)最??？并求出此最小值.已知，和分別計(jì)算以下各式（1） （2）已知求的面積.應(yīng)用向量證明不等式:,其中，，，，，為任意實(shí)數(shù)，并指出等號成立的條件.第五節(jié)曲面極其方程一動點(diǎn)與兩定點(diǎn)等距離，求該動點(diǎn)的軌跡方程.求與坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)的距離之比為的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程，它表示怎樣的曲面？求下列各平面曲線按指定軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程.（1）面上的拋物線繞x軸.（2）面上的圓繞z軸.指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1） （2）（3） （4）畫出下列方程所表示的曲面.（1） （2）第六節(jié)空間曲線極其方程下列方程組各表示什么曲線？（1） （2）（3） （4）求由上半球面，柱面及平面所圍立體在面和面上的投影.求下列立體在面上的投影.(1)由圍成的立體；(2)立體：.第七節(jié) 平面及其方程填空.設(shè)有平面，則當(dāng)它與（1）平面垂直時(shí)，；（2）平面平行時(shí)，.指出下列各平面特殊位置.（1） （2）(3) (4)求下列各平面的方程.（1）過點(diǎn)且與向量垂直.（2）過點(diǎn)且與向量和向量平行.一平面通過z軸，且與平面的夾角為，求它的方程.第八節(jié)空間及其方程求過點(diǎn)且平行于直線的直線方程.求過點(diǎn)且通過直線的平面方程.求直線和平面間的夾角.試確定下列各組中直線和平面間的關(guān)系.（1）和（2）和（3）和：.求點(diǎn)在平面上的投影.設(shè)一平面垂直于平面，并通過從點(diǎn)到直線：的垂直，求平面的方程.求過點(diǎn)，且平行于平面，又與直線相交的直線的方程.設(shè)是直線外一點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，且直線的方向向量為，試證：點(diǎn)到直線的距離為.第九節(jié)二次曲面指出下列方程表示什么曲面：（1） （2）建立單葉雙曲面與平面的交線關(guān)于面的投影柱面與投影曲線方程.畫出下列各曲面所圍成的立體圖形.（1），，，，，.（2），畫出下列曲面所圍成的立體圖形.平面，，及拋物線柱面所圍成的圖形.（2）及所圍成的圖形.第七章空間解析幾何與向量代數(shù)總習(xí)題已知向量與的交角，并且，，求與及向量與的夾角.設(shè)，，求.設(shè)，，，證明三向量，，共面，并用和表示.設(shè)，，以，為邊作平形四邊形，（1）求證此平形四邊形的對角線互相垂直；（2）求此平行四邊形的面積.求下列各平面的方程.(1)過原點(diǎn)和點(diǎn)且與直線：平行.(2)過點(diǎn)而與直線：垂直.(3)通過直線：，且垂直于平面：.求下列各直線的方程.(1)過點(diǎn)與軸相交，且與直線：垂直.(2)過點(diǎn)與兩直線：和：都垂直.(3)過點(diǎn)且與直線：和：相交.求點(diǎn)到平面：的垂直方程及距離.已知球面方程為，試在該球面上作切平面，使其與直線：垂直，求其方程.

第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念1．填空。（1）設(shè)，則=________________；(2)設(shè)則=_________________；(3)設(shè)若當(dāng)時(shí)，則函數(shù)=________________；(4)函數(shù)的定義域是_________________________；(5)函數(shù)的定義域是，此定義域可用平面圖形表示為_____________________________________。2．求極限。（1）（2）4．討論函數(shù)的連續(xù)性。第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)1．填空。（1）則，；（2）則，；(3)設(shè)，則=__________,=__________,=__________,=__________；（4）設(shè)，（為連續(xù)函數(shù)），則=__________,=__________。2．證明函數(shù)在處連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。3．驗(yàn)證滿足。4．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（1）（2）第三節(jié)全微分及其應(yīng)用1．填空。（1）設(shè)，則（2）設(shè)，則（3）設(shè)，則2．求函數(shù)當(dāng)時(shí)的全增量和全微分。3．求函數(shù)的全微分4．設(shè)證明在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1．請把及填入下列式子的空括號里，并寫出計(jì)算結(jié)果。（1）設(shè)，而，，則復(fù)合關(guān)系圖為，從而_______________________.，令，，，則復(fù)合關(guān)系圖為，且=.2．設(shè),而，，求，3．設(shè)u=,而，，求.4．設(shè)，而,為可導(dǎo)的函數(shù)，證明：5．設(shè)，其為可導(dǎo)的函數(shù)，驗(yàn)證.6．設(shè)，其中是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，，第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1．設(shè)，求及2．設(shè)，用隱函數(shù)求導(dǎo)的公式求；用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法求；利用全微分形式不變性求出及。具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足4．已知，求，是把變量視為自變量，變量與視為變量的函數(shù)。求出5．已知，求，，，，與看作自變量，而把變量與都看作與的函數(shù)，求出，6．設(shè)，求第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用螺旋線，，在點(diǎn)處的切線和法平面方程。并證明其上任一點(diǎn)的切向量與軸成一定角。求曲線，在點(diǎn)處的切線和法平面方程。求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程。在曲面上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫出該法線方程。證明錐面上任意一點(diǎn)處的切平面都通過錐面的頂點(diǎn)。試證曲面上的任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于。第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法求函數(shù)的極值。求函數(shù)的極值。求平面和柱面的交線上與平面距離最短的點(diǎn)。在球面位于第一卦限的部分求一點(diǎn)P，使該點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上截距的平方和最小。第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用總習(xí)題設(shè)，求，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)，驗(yàn)證。設(shè)，又，求常數(shù)，使。4．設(shè)，求及。設(shè)，問：（1）在點(diǎn)是否連續(xù)，為什么？（2）在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，是否存在？（3）在點(diǎn)是否可微？為什么？設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，二階可導(dǎo)，求。設(shè)，而是由方程所確定的的函數(shù)，其中都具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試證明：設(shè)，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，利用全微分形式不變性求隱函數(shù)的全微分，并由此求出。10．求曲線上點(diǎn)處的法平面與直線間的夾角。過直線，作曲面的切平面，求此切平面方程。經(jīng)過點(diǎn)但不過原點(diǎn)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)面所圍成的立體的體積最小。重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)選擇題.設(shè)，若由軸，軸與直線圍成，則在上A．B．由二重積分的性質(zhì)可知.A．B．C．填空題設(shè)若，區(qū)域?yàn)?，則在上，的最小值為最大值為此時(shí),.第二節(jié)二重積分的計(jì)算法填空：改變積分次序(1)(2)若則=.(3)設(shè)：，則應(yīng)把二重積分化為先對___后對___的二次積分=.(4)二重積分畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分。(1)，其中D是頂點(diǎn)分別為，和的三角形閉區(qū)域.(2)其中D是由直線，及所圍成的閉區(qū)域.(3)，其中D是由所確定的閉區(qū)域。化二重積分為累次積分（按兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D由直線，及雙曲線圍成。求由曲線，，所圍成的平面圖形位于第一象限部分的面積。證明：求下列空間域的體積。（1）標(biāo)平面及平面，，圍成的立體；（2）曲面，圍成的立體；7．畫出積分區(qū)域，并且把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1），（2）由曲線，，及圍成的閉區(qū)域；8．利用極坐標(biāo)計(jì)算：（1），其中是圓環(huán)形閉區(qū)域：；（2）其中D是由直線,及曲線所圍成的閉區(qū)域；（3）其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域；9．求由圓和心形線所圍圖形（在圓外部分）的面積。第三節(jié)二重積分的應(yīng)用1.求錐面被柱面所割下部分的曲面面積。2.求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積。3.求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍成立體的表面積。第四節(jié)三重積分的概念及其計(jì)算法1．化為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：(1)由雙曲拋物面及平面，所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面所圍成的閉區(qū)域。計(jì)算，其中是由平面，，，所圍成的空間域。計(jì)算，其中是由錐面與平面所圍成的閉區(qū)域。計(jì)算，其中由平面，，以及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域。第五節(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1．設(shè)由球面與錐面圍成，則三重積分在三種坐標(biāo)系下分別化為三次積分如下：直角坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：。2．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分。（1），其中為錐面及平面所圍成的閉區(qū)域；（2），其中由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(3)，其中由曲面，，，所圍成的閉區(qū)域。3．利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分。（1），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；（2）其中由不等式，所確定。4．選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算下列三重積分。（1），其中是由曲面，所圍成閉區(qū)域；（2），其中是由不等式：，所確定；（3）其中是，的公共部分。利用三重積分計(jì)算：曲面所圍成立體的體積。第九章重積分復(fù)習(xí)題計(jì)算，：，。2．計(jì)算，其中D由，，圍成。計(jì)算，其中：，。計(jì)算，其中D是閉區(qū)域。計(jì)算其中是由，，圍成閉區(qū)域。6．用“先二后一”法計(jì)算，其中由橢球面，所圍成（部分）的閉區(qū)域。第十章曲線積分與曲面積分第一節(jié)對弧長的曲線積分1．計(jì)算,其中為右半單位圓周：，。計(jì)算其中是以，，為頂點(diǎn)的三角形。求空間曲線，，的弧長。第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分1．計(jì)算，其中L為圓周（按逆時(shí)針方向繞行）。2．計(jì)算,其中L是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。3．計(jì)算，其中L為擺線，上對應(yīng)從到的一段弧。計(jì)算，其中Ｌ為曲線上由點(diǎn)到點(diǎn)的部分。5．計(jì)算其中L是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。計(jì)算，其中為有向閉折線，這里的，，依次為點(diǎn)，及。第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用1．設(shè)平面上閉曲線L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈，將給定的二重積分與其相應(yīng)的曲線積分用線連接起來.(1)(a)(2)(b)（3）(c)2．證明只與的起訖點(diǎn)有關(guān)，而與所取路徑無關(guān)，其中不與軸相交，且求積分的值。3．計(jì)算,其中為從到的正弦曲線。4．已知連續(xù)，且，，，計(jì)算，其中是以線段為直徑的上半圓周。證明為某一個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的函數(shù)。確定的值,使曲線積分與路徑無關(guān)，并求當(dāng)點(diǎn)、分別為、時(shí)曲線積分的值。第四節(jié)對面積的曲面積分1．計(jì)算，其中為平面在第一卦限的部分。計(jì)算，其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面。計(jì)算，其中為拋物面在面上方的部分。計(jì)算，為球面。第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分1．當(dāng)是面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，及與二重積分的關(guān)系為==2．計(jì)算，其中為半球面的上側(cè)。計(jì)算，其中是平面，，，+所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。計(jì)算，其中是過，，三點(diǎn)的平面位于第一卦限的部分，取上側(cè)。第六節(jié)高斯公式計(jì)算，其中為平面，，，，，所圍成的立體的表面的外側(cè)。計(jì)算，其中是球面外側(cè)的上半部分。計(jì)算，其中具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，為柱面及平面，所圍成立體的表面外側(cè)。計(jì)算，其中為球面的內(nèi)側(cè)。計(jì)算，其中為曲面在平面右側(cè)部分的外側(cè)。第十章曲線積分與曲面積分總習(xí)題填空。設(shè)平面曲線L為下半圓周，則曲線積分的值是______________________；設(shè)L為取正向的圓周，則曲線積分的值是_______________________。計(jì)算，其中是以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的正方形邊界。3．計(jì)算，其中為螺線，=，上從點(diǎn)到點(diǎn)的弧段。4．計(jì)算曲線積分，（1）L是圓周的正向；（2）是曲線的正向。設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且。計(jì)算的值。計(jì)算，其中為球面的外側(cè)。設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正的常數(shù)，又設(shè)表面的外側(cè)為S，的體積為V，證明：計(jì)算I=，其中S是圓柱面被平面和所截出的部分的外側(cè)。計(jì)算，其中為上半球面的上側(cè)。第十一章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)1．如果級數(shù)收斂，則：(1)級數(shù)100+；（2）級數(shù)；(3)級數(shù)。2．若級數(shù)收斂，則級數(shù)。3．已知級數(shù)=S，則級數(shù)的和是。4．級數(shù)是，級數(shù)收斂于，級數(shù)的和是。5．根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法用比較審斂法及其極限形式判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)(3)(4)(5)1+用比值審斂法判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)(3)(4)用根值審斂法判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)(3)(4)4．判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)(3),其中，（，，）5．判別下列級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂。(1)(2)(3)第三節(jié)冪級數(shù)求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間。（1）（2）已知冪級數(shù)，問,是否為此冪級數(shù)的收斂點(diǎn)。求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。（1）（2）

（3）證明級數(shù)收斂，并求其和。第四節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求其展開式成立的區(qū)間。（1）（2）（3）（4）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求其展開式成立的區(qū)間。將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求其展開式成立的區(qū)間。將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求其展開式成立的區(qū)間。第十一章無窮級數(shù)總習(xí)題1．判別下列級數(shù)的斂散性。(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用級數(shù)收斂的必要條件，證明。討論級數(shù)的收斂性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？判定級數(shù)（是常數(shù)，）的斂散性。設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂，證明收斂，并說明反之不成立。求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。(1)(2)7．求下列級數(shù)的和。(1)(2)8．求極限。9．將函數(shù)展為的冪級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間。第十二章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念將下列方程與其名稱用線連接起來。（1）（a）1階微分方程（2）(b)2階微分方程（3）(c)代數(shù)方程（4）(d)偏微分方程（5）(e)3階微分方程設(shè)微分方程為。驗(yàn)證（為任意常數(shù)）是方程的通解；由通解求滿足初始條件的解；說明上述通解和特解的幾何意義。第二節(jié)可分離變量的微分方程求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）求下列微分方程滿足所給初始條件的特解。（1），（2），一曲線過點(diǎn)，在該曲線上任一點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段恰被軸平分，求此曲線方程。第三節(jié)齊次方程求下列齊次方程的通解。（1）（2）（3）求下列齊次方程滿足