專題29異面直線所成的角-教師版

典高數(shù)試解與式2018版考29：面線成角【考綱要求】1.能用向量方法解決直線與直線直線與平面、平面與平面的夾角的計算問.2.了解向量方法在研究立體幾何題中的應(yīng).【命題規(guī)律】異面直線的知識是高考的熱點問題，選擇、填空、解答題都有可能進行考.預(yù)計2018年高考對本知識的考查空間向量的應(yīng)用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題．【型考題式（）間線直夾的題例【2017全國3卷理，為間中兩條互相垂直的線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a

，

都垂直，斜邊

以直線

為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成角，與角②當(dāng)直線與a成角，與角③直線AB

與a

所稱角的最小值為

45

；④直線AB

與a

所稱角的最小值為；其中正確的________.（填寫有正確結(jié)論的編號）【答案】②③【解析】由題意知，，，AC三直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1故，AB2，邊AB直線AC為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點持不變，點運軌跡是以為心，1為半徑的圓．以為坐標(biāo)原點，以為

x

軸正方向，軸正方向，CA

為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則D(1,0,0)，A，直線

a

的方向單位向量

a

，

．點始坐標(biāo)為

(0,1,0)

，

直線b的方向單位向量

(1,0,0)b．設(shè)B在運動過程中的坐標(biāo)

B

，其中為CD的角，

[0,2π

．那么'

在運動過程中的向量AB

，

．當(dāng)

與夾為即

，

2cos

cos

3

2

1．22因為cos

，所以cos

2．所以cos．2因為

π0,

．所以

=

，此時

與b夾角為60以正確，①錯誤．故填②③.【方法技巧歸納】求空間兩條直線的夾角，可以先考察兩條直線是否異面垂直，若垂直，則化為線面垂直問題或用平移法轉(zhuǎn)化為共面垂直，結(jié)合勾股定理加以證.一般情形，可通過平移后通過解斜三角形求兩條異面直線所成的.【變式例中條件兩直線的夾角浙文知面四邊形ABCD，AB=BC=3CD=1AD=

，∠ADC=90°.沿直線AC將ACD翻成△直線AC與BD'成角的余弦的最大值______.【答案】

66

【解析】試題分析：如圖，連接BD，設(shè)直線

AC

與

所成的角為

．O

是

的中點由知得6，

OB

為軸

OA

為軸過

O

與平面

垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

6300)，B(,0,0)，C,0)作222于HD翻過程中始與垂，CH

CDCA

166

，則OH

63

，

3，因此D'(63

36

設(shè)∠DHD′=3030630則BD',,66

uur，平的單位向量為

n

，zD

HAx所以

,n

BD'BD'n

＝

，所以

cos

，cos得最6大值，為．6【變式二改編例題中結(jié)論，解態(tài)問題浙江嵊州市二?！吭谒睦庵鵅CD11

中，

AA

平面

AC1

底

ABCD

是邊長為

的正方形側(cè)棱

AA1的長為，

為側(cè)棱

BB1

上的動點（包括端點（）

A．對任意的

，

，存在點

，使得

DEC1B．當(dāng)且僅當(dāng)a，存在點，使得DEC11C．當(dāng)且僅當(dāng)a時存點E，得DEC11D．當(dāng)且僅當(dāng)

a

時，存在點

，使得

BDEC11【答案】（）面線夾例【全國2卷理知三棱柱

C中ABC120，，11BC1

，則異面直線

AB

1

與

BC1

所成角的余弦值為（）A．

B．

155

π152π152πC．

105

D．

【答案】【解析】M，N，P

分別為

，，BC中，則，夾角為MN和NP夾或其補角（異面線所成角為，知，NPBC，222作中Q則可知△為角三角形．PQ，

AC△，AC

AB

，

則MQ

7，則△MQP中MPMQ，22則△中

22PM2

22

.又異面線所成角為0，，余值為．故選C.25【方法技巧歸納1.利用向量法求異面直線所成角的步驟

222．注意向量法求異面直線所成與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍．【變式1編目條件和結(jié)，利用向量法求解東北師大附中、哈爾濱師大附中遼寧省實驗中學(xué)四模知四棱錐

ABCD

中，PAAB2,

分別是,的中點，則異面直線AE與所角余弦值為（）A.

B.

C.

1D.【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，可知

.2,0

．則

2,

，則

cos,

BF

1121122

１６

．故本題答案選C．

【變式2編目條件和結(jié)，利用普通方法求解屆北省邢臺市高三上學(xué)期第二次月考】如圖，在四棱錐PABCD中PO面，

為線段

的中點，底面為菱形，PCa

則異面直線與PC所成角的正弦值）A.

5B.C.5

D.

【答案】【解析】如圖，

AC,DB面從DO，EO,DB所以DE4OD5sinDEO故，故選B.DE55

2

2

a

【數(shù)學(xué)思想】1.轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中一切問題的解當(dāng)然包括解)都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段。所以說，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈.2.轉(zhuǎn)包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，非等價轉(zhuǎn)化又分為強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能保證轉(zhuǎn)化的結(jié)果仍為原問題所需要的結(jié)果，非等價轉(zhuǎn)化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉(zhuǎn)化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價變形要對所得結(jié)論進行必要的修.非等價轉(zhuǎn)化（強化轉(zhuǎn)化和弱化轉(zhuǎn)化）在思維上帶有跳躍性，是難點，在壓軸題的解答中常常用到，一定要特別重視！3.轉(zhuǎn)化與化歸的原則（）悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題；（）觀化原則：將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；（）單化原則：將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便與解.（）難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破的途徑；（）維度原則：將高維度問題轉(zhuǎn)化成低維度問4.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型（）正反、一般與特殊的轉(zhuǎn)；（）常與變量的轉(zhuǎn)化；（）數(shù)形的轉(zhuǎn)化；（）數(shù)各分支之間的轉(zhuǎn)化；（）相與不相等之間的轉(zhuǎn)化（）實問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn).5．常見的轉(zhuǎn)化方法（）接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（換元法運“換元”把標(biāo)準(zhǔn)形式的方程不等式函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題；

（）數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（）造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（坐標(biāo)法以標(biāo)系為工具用數(shù)方法解決解析幾何問題是化方法的一種重要途徑；（）比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（）殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；（）般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉(zhuǎn)化；（）價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到轉(zhuǎn)化目的；（）集法難反）若正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集，通過解決全集U及集獲得原問題的解.立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸，主要利用直接轉(zhuǎn)化法或坐標(biāo)法，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題、將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題加以解.【間的圍理誤意】解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問.【例題練1屆河省武邑中學(xué)五?！空拿骟wABCD中，M是AD的中，是點底面BCD內(nèi)射影，則異面直線BM與AO所角的余弦值為（）

在A.

2B.C.D.5【答案】【解析】6如圖，設(shè)正四面體的棱長是1，則BM，高AO2

，設(shè)點M在

底面內(nèi)的射影是N，MN

，所以BMN即所求異面直線所成角則NM2cosBM

，應(yīng)選答案B。2屆南省六市高三下期第二次聯(lián)考】如圖，

G

，

，M，

分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示

GH

，

MN

是異面直線的圖形的序號為（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】3屆川省廣元市高三第三次高考適應(yīng)性統(tǒng)考于面體

,有以下命題①若

,則點

在底面

內(nèi)的射影是

的外心；②若,

,則

在底面

內(nèi)的射影是

的內(nèi)心；③四面體的四個面中最多有四個直角三角形若四面體表面積為.其中正確的命題是A.①B.③④C.①②D.【答案】

的6條長都為1,則它的內(nèi)切的

2222【解析】由題設(shè)

，故頂點

在底面內(nèi)的射影是底面中心，故命題①是正確的；四面體中的四個面中最多有四個直角三角形，如圖，故命題③是正確的；對于命題②，如圖，盡管,,點

在底面

內(nèi)的射影不是

的內(nèi)心，即命題②是錯誤的；33若四面體的6條都為1，則它體積V432

，又設(shè)內(nèi)切球的半徑為r

則

2V12

則

S

即命題④也是正確的。應(yīng)選答案D4屆西省臨汾市高三前適應(yīng)性訓(xùn)練】已知平，及直線a,b（）

下列說法正確的是A.若線,b

與平面所成角都是30

，則這兩條直線平行B.若線,b與面所成角都是30，則這兩條直線不可能垂直C.若線a,b

平行，則這兩條直線中至少有一條與平平D.若線a,b垂，則這條直線與平面可能都垂直【答案】【解析】解：由題意逐一分析所給的選項：若直線b

與平面

所成角都是

，則這兩條直線不一定平行；若直線a,b

與平面所角都是

，則這兩條直線可能垂直；若直線a,b

平行，則這兩條直線中可能兩條都與平面

不平行；若直線a,b

垂直，則這兩條直線與平面不可能都垂直；本題選擇選項

5屆北省張家口市高三上學(xué)期期末考試棱柱

中，

為等邊三角形，平面，，，分是，A.B.C.D.

的中點

與

所成角的余弦值）【答案】【解析】三棱柱

中，

為等邊三角形，如圖：

的中點為，結(jié)

，則有，有

所四邊形

為平行四邊形所，在

或其補角即為所求不設(shè)則中，由余弦定理可得：，故選C.6屆吉林省百校聯(lián)盟高TOP20九聯(lián)考】如圖，在長方體

D1

中，AB，BB長方體外的一點點P作線l直線l與線，1

的夾角分別為，，1

1

2

件直l（）A.有1條B.有2條C.3條D.4條【答案】【解析】由題意有：

,,即：

sin

1

2

考與直線

AC,C111

所成的角相同的直線，其在平面

ADCB11

內(nèi)的射影應(yīng)該平分

AC11

，這樣的直線只有1條同理其補角也存在1條滿題意的直線，這樣找到滿足題意的直線，同理，在處可以找到2條滿題意的直線；綜上可得：滿足條件的直線

l

有4條。本題選擇選項7屆西省西安市西北業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期第六次模擬】在正三棱柱AB中，AB2111

，則

與

BC1

所成角的大小為()A.

B.C.D.32【答案】【解析】以為原點,在平面ABC中過AC的線為軸以AC為y軸AA為z軸建空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)BB=

,則A(0,0,0),

B2C2AB

3,1,2,CB

1

，∴AB與CB所角的大小為本題選擇選項

.

8屆西省西安市長安第一中學(xué)高三月擬】如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形斜

長為2側(cè)視圖是一直角三角形視為一直角梯形，且

BC

，則異面直線所角的正切值是（）A.1B.

C.

D.

【答案】【解析】如圖，取

的中點E

，連接CE

，依題意得，

BE//

，所以PBE

為異面直線PB

與

CD

所成角，因為

PEBE

，所以

PE2BE2

，故選C.92017年福建泉州新世紀中模面體中，若

3

，

，

，則直線AB

與

CD

所成角的余弦值為（）A.

B.

11C.D.【答案】【解析】如圖所示，該四面體為長方體的個頂點，設(shè)長體的長寬高分別為b,

，則：a

2

2

a{224b

，解得：

{b2c3

，問題等價于求解線段AB與線段

'D'

夾角的余弦值，

結(jié)合邊長和余弦定理可得：直線AB

與

所成角的余弦值為

。本題選擇選項10屆四川省成都市高中業(yè)班第三次診斷檢測我古代數(shù)學(xué)名九算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑

中，

平面，且，則異面直線

與

所成角的余弦值為（）A.B.C.

D.【答案】【解析】由題意，可補形成正方體如下圖：

33所以異面直線

與

所成角就是

與

所以角，而

為直角三角形，所以所成角為，。選A.11屆西省孝義市高三學(xué)期考前熱身訓(xùn)練方體

ABCD11

中AAAB2a1111

,點P

在線段

上運動當(dāng)異面直線

與

BA1

所成的角最大時,則三棱錐

CD11

的體積為()A.

a3aa3B.C.432

D.

3【答案】【解析】如圖所示，連結(jié)CD，DCP為銳角，CP1