滬教版高一數(shù)學(xué)3.1 函數(shù)的基本概念 講義（無答案）

7/77/77/7第九講：函數(shù)的概念【引例】下面我們舉例對函數(shù)關(guān)系作進一步的分析,以便引入更為確定的語言來表達函數(shù)概念.〔1〕在研究學(xué)生好奇心指標隨年齡增長的變化規(guī)律時,通過某次實驗得到的數(shù)據(jù)如下圖.在這個圖像中,給定10~15歲的每一個年齡〔以歲為單位〕,就對應(yīng)一個好奇心指標.你能這個圖中了解到哪些信息？〔2〕農(nóng)業(yè)科學(xué)家研究玉米的生長過程,把生長過程分為31個時間段,通過實驗得到了各時間段與植株高度之間的相關(guān)數(shù)據(jù),如圖.在玉米生長的31個時間段內(nèi),給定生長的某個時間段,就可從這張圖中查到與這個時間段相應(yīng)的玉米植株的高度.〔3〕下表列出了我國從2019年到2019年,每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.年份生產(chǎn)總值〔億元〕2019783452019820672019894422019959332019102398在這張表中給定2019年到2019年中的任一年,都可從表中查到當(dāng)年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.〔4〕電路中的電壓,電流與電阻之間的變化規(guī)律,用歐姆定律表示,即這個公式說明,在電路中,電壓〔〕不變,電流〔〕與電阻〔〕的變化成反比例關(guān)系只要測出電路中的電阻值,就可由上述公式計算出唯一的電流值.1.什么是函數(shù)？試評注函數(shù)的要素.如果在某個變化的過程中有兩個變量,并且對于在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值,按照某種對應(yīng)法那么,都有唯一確定的值和它對應(yīng),那么就是的函數(shù),叫做自變量,的取值范圍叫做函數(shù)的定義域,和對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域,是的函數(shù),記作.2．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然,值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．[探究]假設(shè)兩個函數(shù)的定義域與值域都相同,它們是否是同一個函數(shù)？提示：不一定．如函數(shù)y＝x與y＝x＋1,其定義域與值域完全相同,但不是同一個函數(shù)；再如y＝sinx與y＝cosx,其定義域都為R,值域都為[－1,1],顯然不是同一個函數(shù)．因為定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同,所以定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)．常見根本初等函數(shù)的定義域：(1)分式函數(shù)中分母不等于零。(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0。(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R。(4)y＝ax(a＞0且a≠1),y＝sinx,y＝cosx,定義域均為R.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域為(0,＋∞)．(6)y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)x≠kπ＋\f(π,2),k∈Z)).(7)實際問題中的函數(shù)定義域,除了使函數(shù)的解析式有意義外,還要考慮實際問題對函數(shù)自變量的制約．3．相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,那么這兩個函數(shù)為相等函數(shù)．例1求以下函數(shù)的定義域：〔1〕； 〔2〕；〔3〕.練習(xí)1〔1〕；〔2〕； 〔3〕.例2判斷以下各題兩函數(shù)是否為同一函數(shù)？〔1〕,；〔2〕,；〔3〕,；〔4〕,.練習(xí)2判斷以下各題兩函數(shù)是否為同一函數(shù)？〔1〕,；〔2〕,；〔3〕,.練習(xí)3有以下判斷：(1)f(x)＝eq\f(|x|,x)與g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,x≥0,－1,x<0))表示同一個函數(shù)．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個．(3)f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)．(4)假設(shè)f(x)＝|x－1|－|x|,那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0.其中正確判斷的序號是________．例3求函數(shù),,在處的函數(shù)值和值域.練習(xí)4設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2},N＝{y|0≤y≤2},給出以下4個圖形,其中能表示定義域為M,值域為N的函數(shù)關(guān)系的有________(填序號)．例4〔1〕假設(shè)是一次函數(shù),且,,求的解析式；〔2〕函數(shù),求；〔3〕函數(shù),求.練習(xí)5〔1〕,求,；〔2〕,求；〔3〕,求.課堂練習(xí)〔1〕判斷以下曲線所確定的與之間的關(guān)系,哪些是函數(shù)關(guān)系〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔2〕作出以下函數(shù)的圖像并求出其值域：〔3〕設(shè)是任意的一個實數(shù),是不超過的最大整數(shù),試問和之間是否是函數(shù)關(guān)系？如果是,畫出這個函數(shù)的圖像.復(fù)合函數(shù)的定義域和值域問什么是復(fù)合函數(shù)？[說明]〔1〕復(fù)合函數(shù)的定義域,就是復(fù)合函數(shù)中的取值范圍?！?〕稱為直接變量,稱為中間變量,的取值范圍即為的值域?！?〕與表示不同的復(fù)合函數(shù)?！?〕假設(shè)的定義域為,那么復(fù)合函數(shù)中,．注意：的值域.例5函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1,x<1,,x2＋ax,x≥1,))假設(shè)f(f(0))＝4a,那么實數(shù)a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9練習(xí)6設(shè)函數(shù),求．練習(xí)7〔1〕假設(shè)函數(shù)的定義域是,求的定義域；〔2〕假設(shè)的定義域是,求函數(shù)的定義域；〔3〕定義域是,求定義域.〔4〕函數(shù)定義域是,求實數(shù)的取值范圍.練習(xí)8函數(shù)定義域是,求的定義域.【試總結(jié)復(fù)合函數(shù)求定義域的題型和方法】例6〔1〕求；〔2〕,求.練習(xí)9〔1〕,求；〔2〕,求.〔3〕設(shè)函數(shù)的定義域為,那么函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為________；〔4〕假設(shè)函數(shù)的定義域為,那么函數(shù)的定義域是；函數(shù)的定義域為?！?〕知函數(shù)的定義域為,且函數(shù)的定義域存在,求實數(shù)的取值范圍?！驹嚳偨Y(jié)復(fù)合函數(shù)求解析式的題型和方法】例7〔1〕是一次函數(shù),滿足,求；〔2〕,求.練習(xí)10〔1〕,求和；〔2〕,求.〔3〕設(shè)的定義域是,求的定義域.練習(xí)11(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x),求出f(x)的解析式．(2)假設(shè)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3,f(x＋2)－f(x)＝4x＋2,試求出f(x)的解析式．問什么是分段函數(shù)？試總結(jié)幾種常見的分段函數(shù)類型.假設(shè)函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù),分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值域的并集,分段函數(shù)雖由幾個局部組成,但它表示的是一個函數(shù)．例8設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c,x≤0,,2,x>0.))假設(shè)f(－4)＝f(0),f(－2)＝－2,那么關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為________．練習(xí)12寫出以下函數(shù)的解析式并作出函數(shù)的圖像：〔1〕設(shè)函數(shù),當(dāng)時,；當(dāng)時,；〔2〕設(shè)函數(shù),當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,例9函數(shù),滿足,且,.求,,,,.練習(xí)13一個函數(shù)的定義域為區(qū)間,當(dāng)時,對應(yīng)法那么為,當(dāng)時,對應(yīng)法那么為,試用解析法與圖像法分別表示這個函數(shù).練習(xí)14函數(shù),〔1〕求,,的值；〔2〕假設(shè),求實數(shù)的值；〔3〕假設(shè),求實數(shù)的取值范圍.練習(xí)15〔1〕設(shè)定義在上的函數(shù),求的值.〔2〕定義新運算：當(dāng)時,；當(dāng)時,.函數(shù),,,求實數(shù)的值.課堂練習(xí)1.假設(shè)函數(shù)的定義域是,那么函數(shù)的定義域是_______________.2.作出以下函數(shù)的圖像：〔1〕； 〔2〕； 〔3〕；〔4〕； 〔5〕； 〔6〕.3.自變量與因變量之間有以下關(guān)系,寫出函數(shù)表達式,并作出各函數(shù)的圖像：〔1〕； 〔2〕.4.〔1〕函數(shù),滿足,且,,求,,.〔2〕函數(shù),滿足,且,,求,,,.5.作函數(shù)的圖像,并求,,,.6.某學(xué)生離開家去學(xué)校,為了鍛煉身體,開始跑步前進,跑累了再走余下的路程.圖中軸表示離學(xué)校的距離,軸表示所用的時間,那么符合學(xué)生走法的只可能是 〔〕7.函數(shù),假設(shè),求的值.11.記為中的最小者,設(shè),假設(shè),求.9．以下各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為________(填序號)．①y1＝eq\f(x＋3x－5,x＋3),y2＝x－5；②y1＝eq\r(x＋1)eq\r(x－1),y2＝eq\r(x＋1x－1)；③f(x)＝x,g(x)＝eq\r(x2)；④f(x)＝eq\r(3,x4－x3),F(x)＝xeq\r(3,x－1)；⑤f1(x)＝(eq\r(2x－5))2,f2(x)＝2x－5.10．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的公共點數(shù)目是________．11．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≤－1,,x2－1<x<2,,2xx≥2,))假設(shè)f(x)＝3,那么x的值為________．12．函數(shù)y＝的定義域為________．13．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1x≥0,x2x<0)),g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x2x≤1,2x>1)),那么f[g(3)]＝________,g[f(－eq\f(1,2))]＝________.14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2,x<1,,x2＋ax,x≥1,))假設(shè)f(f(0))＝4a,那么實數(shù)a＝______.15．(1)假設(shè)f(x＋1)＝2x2＋1,求f(x)的表達式；(2)假設(shè)2f(x)－f(－x)＝x＋1,求f(x)(3)假設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ax＋b),f(2)＝1,又方程f(x)＝x有唯一解,求f(x)的表達式．作業(yè)1.函數(shù)的定義域為_______________.2.設(shè)是一次函數(shù),且,那么.3.函數(shù)的定義域是,那么其值域是_______________.4.假設(shè),為一個正常數(shù),且,那么.5.假設(shè)函數(shù),,分別由下表給出：123131123321那么的值__________________；滿足的的值__________________.6.以下各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是 〔〕A．與；B．與；C．與；D．與；7.假設(shè),那么以下等式成立的是 〔〕A．； B．； C．； D．.8.,,求的解析式.9.函數(shù),〔1〕求,的值；〔2〕求的值；〔3〕求的解析式.1