數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)8-曲線擬合

MathematicsLaboratory阮小娥博士ExperimentsinMathematics李換琴數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)辦公地址：理科樓225電話：82663174實(shí)驗(yàn)13人口數(shù)量預(yù)測(cè)模型實(shí)驗(yàn)2、掌握在最小二乘意義下數(shù)據(jù)擬合的理論和方法.1、學(xué)會(huì)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合3、通過對(duì)實(shí)際問題的分析和研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型的方法實(shí)驗(yàn)?zāi)康膿?jù)人口統(tǒng)計(jì)年鑒，知我國(guó)從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料如下：(人口數(shù)單位為：百萬)（1）在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算1999年的人口數(shù)。實(shí)驗(yàn)問題年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口數(shù)

541.67

602.66

672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口數(shù)

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

如何確定a,b?線性模型1曲線擬合問題的提法:

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n個(gè)點(diǎn)),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）)(xfy=，使)(xf在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好，如圖:

xy0++++++++一、曲線擬合確定f(x)使得

達(dá)到最小

最小二乘準(zhǔn)則

２.用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)?常用的曲線函數(shù)系類型：１．畫圖觀察；２．理論分析指數(shù)曲線：

雙曲線（一支):

多項(xiàng)式：

直線：

３擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定二、人口預(yù)測(cè)線性模型

對(duì)于開始提出的實(shí)驗(yàn)問題,代如數(shù)據(jù)，計(jì)算得從而得到人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系為把x=1999代如，估算出1999年的人口數(shù)為y=1252.1（百萬）＝12.52億1999年實(shí)際人口數(shù)量為１２.６億。線性預(yù)測(cè)模型英國(guó)人口學(xué)家Malthus根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料，于1798年提出了著名的人口自然增長(zhǎng)的指數(shù)增長(zhǎng)模型。三、人口預(yù)測(cè)的Malthus模型基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)x(t)~時(shí)刻t的人口,t=0時(shí)人口數(shù)為x0指數(shù)增長(zhǎng)模型實(shí)際中，常用1.由前100年的數(shù)據(jù)求出美國(guó)的人口增長(zhǎng)Malthus模型。2.預(yù)測(cè)后100年（每隔10年）的人口狀況。3.根據(jù)預(yù)測(cè)的人口狀況和實(shí)際的人口數(shù)量,討論人口模型的改進(jìn)情況。美國(guó)1790年－1980年每隔10年的人口記錄226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百萬)1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百萬)1880187018601850184018301820181018001790年份例１解：取得最小值.其中,表示人口數(shù)量。表示年份,解方程組:即得參數(shù)的值.使得問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)％prog41.m%%Thisprogramistopredictthenumberofpopulation%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);

A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2];

ab=inv(A)*D;

disp('a=');disp(ab(1));

disp('b=');disp(ab(2));

fori=1:10

xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i));

end

fori=1:10

xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i));

end

plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-',t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');

a=-49.79535457790735b=0.02859807120038仿真結(jié)果表明：人口增加的指數(shù)模型在短期內(nèi)基本上能比較準(zhǔn)確地反映人口自然增長(zhǎng)的規(guī)律，但長(zhǎng)期預(yù)測(cè)誤差很大，需要修正預(yù)測(cè)模型。擬合曲線原始數(shù)據(jù)曲線四、人口預(yù)測(cè)的Logistic模型人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))k~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)例１的Logistic模型留給同學(xué)們練習(xí)五、多項(xiàng)式擬合的Matlab指令a=polyfit（xdata，ydata，n）其中n表示多項(xiàng)式的最高階數(shù)

xdata，ydata為要擬合的數(shù)據(jù)，它是用向量的方式輸入。輸出參數(shù)a為擬合多項(xiàng)式

y=a1xn+…+anx+an+1的系數(shù)a=[a1,…,an,an+1]。多項(xiàng)式在x處的值y可用下面程序計(jì)算。

y=polyval(a,x)

用多項(xiàng)式擬合人口模型%Thisprogramistopredictthemodelofpopulationby4-degreepolynomial%%prog42.m%formatlongt1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880];t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980];t=[t1;t2];P1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2];P2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5];P=[P1;P2];n=4;%Thedegreeofthefittingpolynomial%[a,s]=polyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);%aisthecoefficientsvectorfromn-degreeto0-degree%plot(t,P,'r*--',t,y,'b+-');23a=1.0e+006*-0.000000000000140.00000000107892-0.000003048785950.00381927346813-1.79012132225427仿真結(jié)果表明,人口增加的模型用多項(xiàng)式擬合能比較準(zhǔn)確地反映人口自然增長(zhǎng)的規(guī)律，對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)具有指導(dǎo)意義。例2:海底光纜線長(zhǎng)度預(yù)測(cè)模型某一通信公司在一次施工中,需要在水面寬為20m的河溝底沿直線走向鋪設(shè)一條溝底光纜.在鋪設(shè)光纜之前需要對(duì)溝底的地形做初B2468101214161820986420ADC探測(cè)到一組等分點(diǎn)位置的深度數(shù)據(jù)如下表所示.25步探測(cè),從而估計(jì)所需光纜的長(zhǎng)度,為工程預(yù)算提供依據(jù).基本情況如圖所示.10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度(m)9876543210分點(diǎn)21個(gè)等分點(diǎn)處的深度(1)預(yù)測(cè)通過這條河溝所需光纜長(zhǎng)度的近似值.(2)作出鋪設(shè)溝底光纜的曲線圖.解：用12次多項(xiàng)式函數(shù)擬合光纜走勢(shì)的曲線圖如下仿真結(jié)果表明,擬合曲線能較準(zhǔn)確地反映光纜的走勢(shì)圖.Thelengthofthelabelis

L=26.3809(m)假設(shè)所鋪設(shè)的光纜足夠柔軟,在鋪設(shè)過程中光纜觸地走勢(shì)光滑,緊貼地面,并且忽略水流對(duì)光纜的沖擊.%prog45.mThisprogramistofitthedatabypolynomial%formatlongt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=[9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93];[a,s]=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);plot(x,yy,'r*--',t,P,'b+-');L=0;fori=2:100L=L+sqrt((x(i)-x(i-1))^2+(yy(i)-yy(i-1))^2);enddisp('ThelengthofthelabelisL=');disp(L);formatlongt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=[9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93];n=input(‘n=’)%通過鍵盤輸入擬合次數(shù)[a,s]=polyfit(t,P,n);yy=polyval(a,x);p1=polyval(a,t);d=norm(P-p1)%計(jì)算擬合誤差plot(x,yy,'r*--',t,P,'b+-');L=0;fori=2:100L=L+sqrt((x(i)-x(i-1))^2+(yy(i)-yy(i-1))^2);enddisp('ThelengthofthelabelisL=');disp(L);x0x1x2x3x4xg(x)實(shí)驗(yàn)14插值問題

f(x)插值函數(shù)有各種類型，如代數(shù)多項(xiàng)式，三角函數(shù)，有理函數(shù)等。當(dāng)p(x)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為（代數(shù)）插值多項(xiàng)式。一階二階三階由克萊姆法則知方程組有唯一解，即滿足(1.1)的插值多項(xiàng)式存在且唯一。Matlab指令：yb=interp1(x,y,xb,’method’)詳見課本204頁實(shí)驗(yàn)任務(wù):觀測(cè)序號(hào)12345678910X46495152545657585960Y40505563727077739093觀測(cè)序號(hào)11121314151617181920X61626364666768717271Y9688991101131201271371321371、下表中，X是華氏溫度，Y是一分鐘內(nèi)一只蟋蟀的鳴叫次數(shù)，試用多項(xiàng)式模型擬合這些數(shù)據(jù)，畫出擬合曲線，分析你的擬合模型是否很好？2、(1)在下列數(shù)據(jù)中，W表示一條魚的重量，l表示它的長(zhǎng)度，使用最小二乘準(zhǔn)則擬合模型W=kl3長(zhǎng)度l（英寸）14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625重量w（盎司）

2717412617492316(2)**

在下列數(shù)據(jù)中，g表示一條魚的身圍，使用最小二乘準(zhǔn)則擬合模型W=k