現(xiàn)代控制理論-第三章 傳遞矩陣的實現(xiàn)問題

2023/2/43.8傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題一、實現(xiàn)問題的基本概念給定傳遞函數(shù)陣W（s），若有狀態(tài)空間表達式使之成立則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣W（s）的一個實現(xiàn)。可實現(xiàn)條件：（1）中每個元的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。（2）的元是真有理分式。說明：真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于或等于分母的階數(shù)。嚴格真有理分式：分子多項式的階數(shù)低于分母的階數(shù)。2023/2/4當傳遞函數(shù)陣中所有元的分子多項式階數(shù)低于分母多項式的階數(shù)時，則必有當傳遞函數(shù)陣中哪怕只有一個元的分子多項式階數(shù)等于分母多項式的階數(shù)時，則，且此時，應先由得到再實現(xiàn)【例3-8】2023/2/4二、能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)先把嚴格真有理分式的傳遞函數(shù)寫成如下形式：這里，則其能控標準型實現(xiàn)為：該傳遞函數(shù)陣的特征多項式系數(shù)m×r維常數(shù)陣2023/2/4r×r維單位陣r×r維零陣2023/2/4其能觀標準型實現(xiàn)為：m×m維單位陣m×m維零陣2023/2/4【例3-9】求的能控標準型實現(xiàn)和能觀標準型實現(xiàn)。解：2023/2/4所以：直接寫出其能控標準型如下：2023/2/4能觀標準型如下：2023/2/4三、最小實現(xiàn)1、最小實現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)W（s）的一個實現(xiàn)：如果不存在其它實現(xiàn)使得的維數(shù)小于X的維數(shù)，則稱X實現(xiàn)為最小實現(xiàn)。即無窮多個實現(xiàn)中維數(shù)最小的那個實現(xiàn)。2、尋求最小實現(xiàn)的步驟傳遞函數(shù)W（s）的一個實現(xiàn)為最小實現(xiàn)的充要條件是：既是能控的又是能觀的。（1）對于給定的W（s），初選一種實現(xiàn)，一般選取能控標準型或能觀標準型。（2）對，找出其能控且能觀的部分2023/2/4那么此實現(xiàn)就是最小實現(xiàn)?！纠?-10】試求傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。解：將W（s）寫成標準形式：由于m＝1，r＝2，n＝3（為傳遞函數(shù)陣特征多項式的階數(shù)）能控型實現(xiàn)為nr＝6維，能觀型實現(xiàn)維mn＝3維，故宜采用能觀標準型實現(xiàn)。2023/2/4判斷的能控性（因為是能觀標準型，所以肯定能觀，只需檢驗能控性）。能控！所以為其最小實現(xiàn)。2023/2/43.9零極點對消與能控性和能觀性之間的關(guān)系對于SISO系統(tǒng)，系統(tǒng)能控能觀的充要條件是傳遞函數(shù)的分子分母間沒有零極點對消。對MIMO系統(tǒng)，沒有零極點對消只是最小實現(xiàn)的充分條件，而非必要條件，及時出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)仍然可能是能控能觀的。證明見教材p136如果傳遞函數(shù)中出現(xiàn)了零極點對消，系統(tǒng)肯定不是能控且能觀的，但是到底是不能控，還是不能觀，或者是既不能控也不能觀的，仍然不能確定。比如，對于傳遞函數(shù)它可以有以下三種實現(xiàn)：（1）2023/2/4該實現(xiàn)是能控但不能觀的。其結(jié)構(gòu)圖如下圖a）：（2）該實現(xiàn)是能觀但不能控的，結(jié)構(gòu)圖如b）所示。2023/2/4（3）該實現(xiàn)是既不能控也不能觀的，結(jié)構(gòu)圖如c）所示。2023/2/4本章小結(jié)和作業(yè)1、能控性、能觀性的概念2、能控性、能觀性的判據(jù)3、能控性、能觀性的對偶原理4、能控標準型和能觀標準型5