數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法

數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法特殊與一般的數(shù)學(xué)思想：對于在一般情況下難以求解的問題，可運用特殊化思想，通過取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規(guī)律和方法，進而推廣到一般，從而使問題順利求解。常見情形為：用字母表示數(shù)；特殊值的應(yīng)用；特殊圖形的應(yīng)用；用特殊化方法探求結(jié)論；用一般規(guī)律解題等。整體的數(shù)學(xué)思想：所謂整體思想，就是當我們遇到問題時，不著眼于問題的各個部分，而是有意識地放大考慮問題的視角，將所需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)整體與局部的內(nèi)在聯(lián)系來解決問題的思想。用整體思想解題時，是把一些彼此獨立，但實質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系的量作為整體來處理，一定要善于把握求值或求解的問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)、數(shù)與形之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，要敏銳地洞察問題的本質(zhì)，有時也不要放棄直覺的作用，把注意力和著眼點放在問題的整體上。常見的情形為：整體代入；整式約簡；整體求和與求積；整體換元與設(shè)元；整體變形與補形；整體改造與合并；整體構(gòu)造與操作等。分類討論的數(shù)學(xué)思想：也稱分情況討論，當一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。分類討論是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法運用分類討論思想解題的關(guān)鍵是如何正確的進行分類，即確定分類的標準。分類討論的原則是：（1）完全性原則，就是說分類后各子類別涵蓋的范圍之和，應(yīng)當是原被分對象所涵蓋的范圍，即分類不能遺漏；（2）互斥性原則，就是說分類后各子類別涵蓋的范圍之間彼此互相獨立，不應(yīng)重疊或部分重疊，即分類不能重復(fù)；（3）統(tǒng)一性原則，就是說在同一次分類中，只能按所確定的一個標準進行分類，即分類標準統(tǒng)一。分類的方法是：明確討論的對象，確定對象的全體，確立分類標準，正確進行分類，逐步進行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。常見的情形為：由字母系數(shù)引起的討論；由絕對值引起的討論；由點、線的運動變化引起的討論由圖形引起的討論；由邊、點的不確定引起的討論；存在特殊情形而引起的討論；應(yīng)用問題中的分類討論等。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題。解題的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程。常見的情形為：高次轉(zhuǎn)化為低次、多元轉(zhuǎn)化為一元、式子轉(zhuǎn)化為方程、次元轉(zhuǎn)化為主元、正面轉(zhuǎn)化為反面、分散轉(zhuǎn)化為集中、未知轉(zhuǎn)化為已知、動轉(zhuǎn)化為靜、部分轉(zhuǎn)化為整體、還有一般與特殊、數(shù)與形、相等與不等之間的相互轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)、式能反映圖形的準確性，圖形能增強數(shù)、式的直觀性，“數(shù)形結(jié)合”可以調(diào)動和促進學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題的有效途徑和重要策略，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美。華羅庚先生曾用“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微”作高度的概括。常見的情形為：利用數(shù)軸、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、幾何模型、方程與不等式以及數(shù)式特征可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為集合問題；利用代數(shù)計算、幾何圖形特征可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；利用三角知識解決幾何問題；利用統(tǒng)計圖表讓統(tǒng)計數(shù)據(jù)更形象更直觀等。函數(shù)與方程的、思想：函數(shù)的思想就是利用運動與變化的觀點、集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，建立和構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，達到轉(zhuǎn)化問題的目的，從而使問題獲得解決。方程的思想就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決。函數(shù)與方程的思想實際是就是一種模型化的思想常見的情形為：數(shù)字問題、面積問題、幾何問題方程化；應(yīng)用函數(shù)思想解方程問題、不等問題、幾何問題、實際問題；利用方程作判斷；構(gòu)建方程模型探求實際問題；應(yīng)用函數(shù)設(shè)計方案和探求面積等。常用數(shù)學(xué)方法如：配方法、消元法、換元法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法、主元法、面積法、類比法、參數(shù)法、降次法、圖表法、估算法、分析法、綜合法、拼湊法、割補法、反證法、倒數(shù)法、同一法等。初中數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想很多，其中最主要的數(shù)學(xué)思想方法包括轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等．（1）轉(zhuǎn)化思想．轉(zhuǎn)化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決．轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程中就是將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題通過演繹和歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題．初中數(shù)學(xué)中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)．具體而言，代數(shù)式中加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，用換元法解方程，在幾何中添加輔助線，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，將一些角轉(zhuǎn)化為圓周角并利用圓的知識解決問題等等都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．在初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想運用的最為廣泛．（2）數(shù)形結(jié)合思想．數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而，在某種程度上可以說數(shù)學(xué)研究是圍繞著數(shù)與形展開的．初中數(shù)學(xué)中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達式，初中數(shù)學(xué)中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達式．數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言（“數(shù)”）與直觀的圖象（“形“）結(jié)合起來，數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化．數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微．”數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用．（3）分類討論思想．分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同的種類．分類是以比較為基礎(chǔ)的，它有助于揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題．譬如，初中數(shù)學(xué)從整體上看分為代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等幾大版塊，并分別采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn)．具體而言，實數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類、函數(shù)的分類、統(tǒng)計量的分類等等，都是分類思想的具體體現(xiàn)．分類思想在初中數(shù)學(xué)中有大量運用，從初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的組織與展開到數(shù)學(xué)概念的界定與劃分再到數(shù)學(xué)問題的分析與解決都大量運用著分類思想．（4）函數(shù)與方程思想．函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點和方法分析問題、解決問題．函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的具體反映．函數(shù)與方程思想的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng)，即用變化的觀點和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關(guān)系表示出來，然后用函數(shù)的性質(zhì)進行研究，從而使問題獲得解決．如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想．譬如初中數(shù)學(xué)中大量涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題都要用到函數(shù)與方程思想來解決．由于函數(shù)思想與方程思想的內(nèi)容和形式相一致，因而往往將其并稱為函數(shù)與方程思想，并將二者結(jié)合學(xué)習(xí)與運用。除上述幾種主要的數(shù)學(xué)思想之外，初中數(shù)學(xué)中還有集合思想、對應(yīng)思想、符號化思想、公理化思想等．初中數(shù)學(xué)主要包括如下基本的數(shù)學(xué)方法：（1）幾種重要的科學(xué)思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與類比等；（2幾種重要的推理方法：完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（3）幾種常用的求解方法：待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)建模法、配方法、消元法、換元法、構(gòu)造法、坐標法、參數(shù)法等．1、配方法所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系3、換元法換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。4、判別式法與韋達定理一元二次方程ax2+bx+c=0