知識講解-解三角形的應用舉例-提高

解角的用例編稿：張林娟

審稿：孫永釗【習標能夠利用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的問題；提高運用所學知識解決實際問題的能力，并初步掌握數學建模的思想方法；掌握運用正弦定理、余弦定理解決幾何計算問題的方.【點理要一解角應題步解三角形在實際中應用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知實際應用中，首先要弄清題意，畫出直觀示意圖，將實際問題轉化為解三角形的問題，再確定是哪解三角形問題，即應用哪個定理來解決其解題的一般步驟是：準確理解題意，尤其要理解應用題中的有關名詞和術語；明確已知和所求，理清量與量之間的系；根據題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出，將實際問題抽象成解三角形模型；分析與所研究的問題有關的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解(4)將角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問解題時應認真分析題意，做到算法簡練，算式工整，計算正.要二解角應題基思實際問

畫圖

數學問

解三角形

數學問的解

檢驗

實際問的解要三實問中一名、語仰和角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：坡和度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常字母i表示.坡比坡角的正切值方角方角方角一指正北方向線順時針旋轉到到目標方向線的水平角.方位角的取值范圍為0°～360°.如圖，點B的方位角是135

.方角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方線所成的角(一般指銳角)，通常表達成南)偏西)多少度如圖為南偏西

方向（指以正南方向為始邊，向正西方向旋轉

如圖為北偏東30方（指從正北開始正東方向旋轉東方：經過目標的射線是正東與正南的夾角平分.依此可類西南方向、西北方向等；要四解角應中常題用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：測量距離問題：這類問題的情景一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”，在測量過程，要根據實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確.測量高度問題：這類問題的情景屬于“測量底（頂）部不能到達的物體的高度測過程中，要注意選取適量不同的測量點，使測量有較高的精確.測量角度問題：這類問題的情景屬于“根據需要，對某些物體定位”.測量數據越精確，定位精越高.【型題類一距問例1.如圖，、兩都在河的對岸（不可到達者在河岸邊選定兩點、D測得m，并且在C、D兩點分別測得

ADB

30

45

求河的對岸的兩點、sinBCD40sin30sinBCD40sin30間的距離【思路點撥】這是一道關于研究兩個不可到達的兩點之間的距離測量問題.題目件告訴了邊的長以及以、D頂點的四個角根據三角形的內角和定理弦定理很容易算出AC、AD、或BD然后選擇恰當的三角形，再利用余弦定理可以計算出AB的離【解析】在ADC中

，60

，ADC45

ACB

30

90

，在Rt中，AD

CD402（m在中，ADB

，BCD

，ADC

，ADB60105，DBC

由正弦定理得：BDsinDBC

202（m）在中由余弦定理得：AD

ADBDcos60

20故A間距離為206【總結升華】此題雖為解三角形問題的簡單應用，但關鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉過程中應注意排除題目中非數學因素的干擾，將數量關系從題目準確地提煉出.舉反：【變式1】如圖，設兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在的側，在所在的河岸邊選定一點C，出的離是42m，，ACB75

.求A、B兩的距離【答案】根據正弦定理，得

ACBABC

，∴AB

ACsin42sin26(m)ABCsin答、B點間的距離為m.【變式】為了開鑿隧道，要測量隧道上D、間距離，為此在山一側選取適當點，圖，測得CA，CB，ACB60

，又測得AB兩點到隧道口的距離AD80m

，BED、E、在條直線上)，計隧道的.【答案】在△ABC中CB，ACB由余弦定理得AB

AC

BC

∴∴ABAD.答：隧道長約為409.2m.

2007529.2(m)類二測高問【清堂解三角形應用舉例377493例2例人在塔的正東沿著南偏西6方向前進40米后望見塔在東北方向，若沿測得塔的最大仰角為

塔高.【思路點撥】找出“當看到塔的最大仰角時，某人的位置”是解決本題的關鍵.先出空間圖形再將空間問題轉化為平面問題，利用正、余弦定理求..【解析】由右圖所示，過B做BE于E，題意知在E點得塔的最大仰角3

，在在△BCD中，CD40,BCD

,DBC135

.由正弦定理CDDBCBCD∴BD

40sin30

在RtBED中BDE

，∴sin15

20

64

10(3

，在Rt中30

∴ABBEtan30

3)

（米）故所求塔高為

(33)

米【總結升華】測高度是在與面垂直的豎直平面內構造三角形依條件結合正弦定理和余弦定理來解，解決測量高度的問題時，常出現仰角與俯角的問題，要注意它們的區(qū)別與聯.舉反：BCBCBCBC【變式某處測得建筑物的端仰角為BE方向前進30m點C處得端A仰角為2再繼續(xù)前進103m至點，得頂端的角為4求大和建筑物的.【答案】所求角15

，建筑物高度為

.類三方角題例圖一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路南側遠處一山頂D在西偏北

的方向上駛后達處得此山頂在偏北75

的方向上角15

此山的高度CD【思路點撥】欲求出，只需在BCD中求出BD或BC，在BCD中求BC邊比較適合；或設

，列方程解.【解析】方一在中，

，

，2，根據正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴CBtan15

8tan15

3(km).方二設CD=x，則

CDCD3)tan150

，根據正弦定理：=，C

sinsin30sinsin45

，∴(23)x，解得x16(km答：此山的高度為8.

，即3(km).【總結升華】正確地畫出其空間示意圖、將空間問題轉化為平面問題是解題的關.舉反：【變式兩燈塔B與洋觀察站的距都等于塔在察站的偏30在觀察站南西60則A、之的距離為.【答案】2

燈塔B如圖，AC

，ACB18090

，AB2km.【變式2如圖所示知座塔和與洋觀察站C的離都等于燈在察站的北偏東20°燈塔B在察站C的偏東40°，則燈塔A燈塔B的離()A.akmC.2【答案】類四航問

B.akmD.【清堂解三角形的應用舉例377493例3】例4.如圖所示在岸A處發(fā)現北偏東45°向距為3)kmB處一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距為2km的C處緝私船奉命以103km/h的度追截走私此時走私船正以10的度從B處北偏東30°方向逃竄,則緝私船沿什方向能最快追上走私?求出所需要的時.【思路點撥】仔細審題，畫出示意圖，即可求出CD的位角及由C到D需航行的時.這里必須弄清楚三個概念：(1)方位角(2)沿什么方向追，按什么方位角航行最快追上，即應理解為按直線航行，且船所用時間相等.【解析】設緝私船追上走私船需th，3t由余弦定理，得

，BDt

.

AB831)cos(45

)6(km)，由正弦定理，得

ACBC2

，∴ABC45

，CBD

，∴sinBCD

BDtsin1203t

＝＝＝＝∴30

，BDC

.∴BDBC)

，即1t，∴t

(h).答：緝私船向東偏北30方，只需

便能追上走私.【總結升華】航海問題中關鍵是方向角的表示，最好要參照方向坐標，準確的畫出圖.舉反：【變式1】如圖A，是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個觀測點，現位于A北偏東45°，B點偏西60°D有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點偏西60°且與B點距203海的的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里小，求該救援船到達點要多長時間？【答案】由意知AB53045，∴，在△DAB中由正弦定理得

∴DB

AB53sinADBsin105

sin

4560cos45

sin60

＝3又∠DBCDBA＋60，，在△中，由余弦定理得CD

＋

2300×20×

＝900，∴

(海里，需要的時間

(小).答：救援船到達D點需要1小時【清堂解三角形應用舉例377493變式練】【變式2圖所示中島A的圍海里內有暗礁某船正由北向航行處得島在船的南偏東30航30里后，在C處得小島在船的南偏東450，如此船不改變航向，繼續(xù)向航行，有無觸礁危險？，∴，∴【答案】船繼續(xù)向南航行，有無觸