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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15602.已知函數(shù),則()A. B. C. D.3.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.4.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列5.已知函數(shù),若恒成立,則滿足條件的的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.36.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點、,O為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,三角形AOB的面積為,則p=().A.1 B. C.2 D.37.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.8.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.9.已知數(shù)列的前項和為,且,,,則的通項公式()A. B. C. D.10.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.11.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.12.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),則除以的余數(shù)是______.14.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____15.下圖是一個算法流程圖,則輸出的S的值是______.16.已知,則展開式的系數(shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點,且此時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.18.(12分)已知是遞增的等差數(shù)列,,是方程的根.(1)求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況,隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員,統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員,其中平均車速超過的有30人,不超過的有10人;在其余20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.(1)完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為,家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān);平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體,隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中,駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為,假定抽取的結(jié)果相互獨立,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:其中臨界值表:0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率是,動點在橢圓上運(yùn)動,當(dāng)軸時,.(1)求橢圓的方程;(2)延長分別交橢圓于點(不重合).設(shè),求的最小值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.22.(10分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點.已知長為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長為,求的表達(dá)式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項公式和前項和,利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進(jìn)而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設(shè)該數(shù)列為,令,設(shè)的前項和為,又令,設(shè)的前項和為.易,,進(jìn)而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運(yùn)用,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【詳解】依題意,.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.4、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題5、C【解析】
由不等式恒成立問題分類討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng),考查方程的解的個數(shù),綜合①②③得解.【詳解】①當(dāng)時,,滿足題意,②當(dāng)時,,,,,故不恒成立,③當(dāng)時,設(shè),,令,得,,得,下面考查方程的解的個數(shù),設(shè)(a),則(a)由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得:(a)在為減函數(shù),在,為增函數(shù),則(a),即有一解,又,均為增函數(shù),所以存在1個使得成立,綜合①②③得:滿足條件的的個數(shù)是2個,故選:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù),重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬難度較大的題型.6、C【解析】試題分析:拋物線的準(zhǔn)線為,雙曲線的離心率為2,則,,漸近線方程為,求出交點,,,則;選C考點:1.雙曲線的漸近線和離心率;2.拋物線的準(zhǔn)線方程;7、D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡單題目,8、B【解析】
首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計算可得.【詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【點睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個數(shù)的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識.10、A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計算公式的應(yīng)用,屬于容易題.11、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.12、B【解析】
因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
利用二項式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項均有88這個因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.14、80211【解析】
由,利用二項式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)流程圖,運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行,;第二次運(yùn)行,;第三次運(yùn)行,;第四次運(yùn)行;所以輸出的S的值是.故答案為:【點睛】本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
先根據(jù)定積分求出的值,再用二項展開式公式即可求解.【詳解】因為所以的通項公式為當(dāng)時,當(dāng)時,故展開式中的系數(shù)為故答案為:【點睛】此題考查定積分公式,二項展開式公式等知識點,屬于簡單題目.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2).【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;時,令得,時,,遞減,時,,遞增,綜上所述,時,在上單調(diào)遞增,時,在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點,則或.當(dāng)時,,,從而只需時,恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時,,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點個數(shù)與不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過導(dǎo)數(shù)求解.18、(1);(2).【解析】
(1)方程的兩根為,由題意得,在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出;(2)利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式即可求出.【詳解】方程x2-5x+6=0的兩根為2,3.由題意得a2=2,a4=3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,故d=,從而得a1=.所以{an}的通項公式為an=n+1.(2)設(shè)的前n項和為Sn,由(1)知=,則Sn=++…++,Sn=++…++,兩式相減得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考點:等差數(shù)列的性質(zhì);數(shù)列的求和.【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應(yīng)用,解答中方程的兩根為,由題意得,即可求解數(shù)列的通項公式,進(jìn)而利用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.19、(1)填表見解析;有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān)(2)詳見解析【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計算出的值,由此判斷出有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為,,所以有的把握認(rèn)為,平均車速超過與性別有關(guān).(2)服從,即,.所以的分布列如下0123的期望【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗,考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)題意直接計算得到,,得到橢圓方程.(2)不妨設(shè),且,設(shè),代入數(shù)據(jù)化簡得到,故,得到答案.【詳解】(1),所以,,化簡得,所以,,所以方程為;(2)由題意得,不在軸上,不妨設(shè),且,設(shè),所以由,得,所以,由,得,代入,化簡得:,由于,所以,同理可得,所以,所以當(dāng)時,最小為【點睛】本題考查了橢圓方程,橢圓中的向量運(yùn)算和最值,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(1);(2)不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】
(1)分類時,恒成立,時,分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因為當(dāng)時,恒成立,所以,若,為任意實數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值.,所以,要使時,恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時,,,所以,曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而,即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等
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