C02 軸向拉伸和壓縮 2

2.4材料拉伸或壓縮時的力學性能分析構(gòu)件的強度時,除計算應力外,還應了解材料的力學性能。2.4.1低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較廣,在拉伸試驗中表現(xiàn)出的力學性能也最為典型。材料的力學性能也稱為機械性質(zhì),是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。它要由實驗來測定。2.4材料拉伸或壓縮時的力學性能為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果,對試樣的形狀、加工精度、加載速度、試驗環(huán)境等,國家標準都有統(tǒng)一規(guī)定。標準圓試樣1.試樣l＝5d

和l＝10d在試樣上取長為l的一段作為試驗段,l稱為標距。對圓截面試樣,標距l(xiāng)與直徑d兩種比例,即2.4材料拉伸或壓縮時的力學性能標準矩形試樣對矩形截面標準試樣,則規(guī)定其標距l(xiāng)與橫截面面積A的比例,也有兩種和2.4材料拉伸或壓縮時的力學性能在室溫下,以緩慢平穩(wěn)的加載方式進行試驗,稱為常溫靜載試驗,是測定材料力學性能的基本試驗。2.試驗條件3.試驗儀器液壓式萬能試驗機液壓式萬能試驗機底座活動試臺活塞油管2.4材料拉伸或壓縮時的力學性能4.試驗過程試樣裝在試驗機上,受到緩慢增加的拉力作用。對應著每一個拉力F,試樣標距l(xiāng)有一個伸長量Δl。表示F和Δl的關(guān)系的曲線,稱為拉伸圖或F－Δl曲線。試驗過程F－Δl曲線與試樣的尺寸有關(guān)。把拉力F除以試樣橫截面的原始面積A,得出正應力s;同時,把伸長量Δl除以標距的原始長度l,得到應變e。以s為縱坐標,e為橫坐標,作圖表示s與e的關(guān)系稱為應力－應變圖或s－e曲線。s與e的關(guān)系為直線Oa,應力s與應變e成正比。這就是拉伸或壓縮的胡克定律。1)彈性階段––Oa段E為與材料有關(guān)的比例常數(shù),稱為彈性模量。E的量綱與s相同,常用單位為GPa(1GPa=109Pa)s/e是直線Oa的斜率。直線部分的最高點a所對應的應力sp稱為比例極限。只有應力低于比例極限時,應力才與應變成正比,材料才服從胡克定律。這時,稱材料是線彈性的。超過比例極限后,從a點到b點,s與e之間的關(guān)系不再是直線,但解除拉力后變形仍可完全消失,這種變形稱為彈性變形。b點所對應的應力se是材料只出現(xiàn)彈性變形的極限值,稱為彈性極限。a,b兩點非常接近,工程上對彈性極限和比例極限并不嚴格區(qū)分,而統(tǒng)稱為彈性極限。2)屈服階段––bc段應力大于彈性極限,解除拉力,試樣變形的一部分消失(彈性變形)。留下一部分不能消失的變形,稱為塑性變形或殘余變形。應力基本保持不變,而應變顯著增加的現(xiàn)象稱為屈服或流動。在屈服階段內(nèi)的最高應力和最低應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。應力超過b點增加到某一數(shù)值,應變明顯增加,應力先是下降,然后作微小的波動,在s-e曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段。上屈服極限的數(shù)值與試樣形狀、加載速度等因素有關(guān),一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則有比較穩(wěn)定的數(shù)值,能夠反應材料的性能。通常把下屈服極限稱為屈服極限或屈服點,用ss來表示。表面磨光的試樣屈服時,表面將出現(xiàn)與軸線大致成45o傾角的條紋。這是由于材料內(nèi)部相對滑移形成的,稱為滑移線。因為拉伸時在與桿軸成45o傾角的斜截面上,切應力為最大值,可見屈服現(xiàn)象的出現(xiàn)與最大切應力有關(guān)。

過屈服階段后,材料又恢復了抵抗變形的能力,要使它繼續(xù)變形必須增加拉力。這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強化階段中的最高點e所對應的應力sb是材料所能承受的最大應力,稱為強度極限或抗拉強度。3)強化階段––ce段過e點后,在試樣的某一局部范圍內(nèi),橫向尺寸突然急劇縮小,形成縮頸現(xiàn)象。4)局部變形階段––ef段由于在縮頸部分橫截面面積迅速減小,使試樣繼續(xù)伸長所需要的拉力也相應減少。在s-e圖中,用橫截面原始面積A算出的應力s＝F/A隨之下降,降落到f點,試樣被拉斷。d＞5%--塑性材料d＜5%--脆性材料伸長率(延伸率)斷面收縮率5)伸長率和斷面收縮率如把試樣拉到超過屈服極限的d點,然后逐漸卸除拉力,應力和應變關(guān)系將沿著斜直線dd'回到d'點。斜直線dd'近似地平行于Oa。6)卸載定律及冷作硬化在卸載過程中,應力和應變按直線規(guī)律變化。這就是卸載定律。拉力完全卸除后,應力—應變圖中,d'g表示消失了的彈性變形,而Od'表示不再消失的塑性變形。卸載后,如在短期內(nèi)再次加載,則應力和應變大致上沿卸載時的斜直線d'd變化。直到d點后,又沿曲線def變化?？梢娫谠俅渭虞d時,直到d點以前材料的變形是彈性的,過d點后才開始出現(xiàn)塑性變形。

比較圖中的Oabcdef和d'def兩條曲線,可見在第二次加載時,其比例極限(亦即彈性階段)得到了提高,但塑性變形和伸長率卻有所降低。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后又可消除。工程上經(jīng)常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段。如起重用的鋼索和建筑用的鋼筋,常用冷拔工藝以提高強度。對某些零件進行噴丸處理,使其表面發(fā)生塑性變形,形成冷硬層,以提高零件表面層的強度。但另一方面,零件初加工后,由于冷作硬化使材料變脆變硬,給下一步加工造成困難,且容易產(chǎn)生裂紋,往往就需要在工序之間安排退火,以消除冷作硬化的影響。若試樣拉伸至強化階段后卸載,經(jīng)過一段時間后再受拉,則其線彈性范圍的最大荷載還有所提高,如圖中虛線cb'所示。這種現(xiàn)象稱為冷作時效。冷作時效不僅與卸載后至加載的時間間隔有關(guān),而且與試樣所處的溫度有關(guān)。工程上常用的塑性材料,除低碳鋼外,還有中碳鋼、高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、黃銅等。2.4.2其它金屬材料在拉伸時的力學性能其中有些材料,如Q345鋼,和低碳鋼一樣,有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料,如黃銅H62,沒有屈服階段,但其它三階段卻很明顯。還有些材料,如高碳鋼T10A,沒有屈服階段和局部變形階段,只有彈性階段和強化階段。對沒有明顯屈服極限的塑性材料,可以將產(chǎn)生0.2%塑性應變時的應力作為屈服指標,并用s0.2來表示,稱為名義屈服應力。各類碳素鋼中,隨含碳量的增加,屈服極限和強度極限相應提高,但伸長率降低。例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼材,屈服極限較高,但塑性性能卻較差。名義屈服應力(規(guī)定非比例伸長應力、屈服強度)灰口鑄鐵拉伸時的應力—應變關(guān)系是一段微彎曲線,沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應力下就被拉斷,沒有屈服和縮頸現(xiàn)象,拉斷前的應變很小,伸長率也很小?；铱阼T鐵是典型的脆性材料。2.4.2其它金屬材料在拉伸時的力學性能鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限,沒有屈服現(xiàn)象,強度極限sb是衡量強度的唯一指標。鑄鐵的s-e圖沒有明顯的直線部分,彈性模量E的數(shù)值隨應力的大小而變。脆性材料的抗拉強度很低,所以不宜作為抗拉零件。在工程中鑄鐵的拉應力不能很高,在較低的拉應力下,可近似地認為服從胡克定律。通常取總應變?yōu)?.1%時s-e曲線的割線的斜率作為彈性模量,稱為割線彈性模量。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后,力學性能有顯著變化,不但有較高的強度,還有較好的塑性性能。國內(nèi)不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸、齒輪等零件。2.4.3材料壓縮時的力學性能壓縮試樣通常用圓截面或正方形截面的短柱體,其長度l與橫截面直徑d或邊長b的比值一般規(guī)定為1到3,這樣才能避免試樣在試驗過程中被壓彎。2.4.3材料壓縮時的力學性能由于壓縮試樣的高度與寬度之間的比值較小,因而試樣兩端的端部影響必將波及整個試樣。此外,試樣受壓后,其橫向尺寸將增大,而試樣的兩端面與試驗機承壓平臺間的摩擦阻力則阻止其擴大。這些因素將使壓縮試樣中的應力情況變得較為復雜,從而使試驗所測定的在壓縮時材料的力學性能帶有一定的條件性。2.4.3材料壓縮時的力學性能低碳鋼壓縮時的彈性模量E和屈服極限ss都與拉伸時大致相同。屈服階段以后,試樣越壓越扁,橫截面面積不斷增大,試樣抗壓能力也繼續(xù)增高,因而得不到壓縮時的強度極限。由于可從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的主要性能,所以不一定要進行壓縮試驗。2.4.3材料壓縮時的力學性能類似情況在一般的塑性材料中也存在。但有些材料(例如鉻鉬硅合金鋼)在拉伸和壓縮時的屈服極限并不相同,因此,對這些材料需要做壓縮試驗,以確定其壓縮屈服極限。2.4.3材料壓縮時的力學性能脆性材料在壓縮和拉伸時的力學性能有較大的區(qū)別。50o~55o圖示為灰口鑄鐵在拉伸(虛線)和壓縮(實線)時的s-e曲線,壓縮試樣的l:d＝5:1。比較拉伸和壓縮兩條曲線看出:(1)在壓縮時無論是強度極限還是伸長率都比在拉伸時要大得多,因而這種材料宜用作受壓構(gòu)件;(2)無論在拉伸或壓縮時,其s-e曲線中的直線部分都很短,因此,只能認為近似地符合胡克定律。

50o~55o比例極限p彈性模量E彈性極限e屈服極限s強度極限b伸長率d斷面收縮率Y衡量材料力學性能的主要指標:溫度和時間對材料力學性能的影響汽輪機的葉片長期在高溫中運轉(zhuǎn);液態(tài)氫或液態(tài)氮的容器則在低溫下工作。材料在高溫和低溫下的力學性能與常溫下并不相同,且往往與作用時間的長短有關(guān)。短期靜載下,溫度對材料力學性能的影響確定金屬材料在高溫下的性能,可對處于一定溫度下的試件進行短期靜載拉伸試驗,例如在15或20分鐘內(nèi)拉斷的試驗。溫度和時間對材料力學性能的影響在高溫短期靜載下,低碳鋼的ss和E隨溫度的增高而降低。在250℃～300℃之前,隨溫度的升高,d,ψ降低而sb增加;在250℃～300℃之后,隨溫度的升高,d,ψ增加而sb降低。溫度和時間對材料力學性能的影響在低溫情況下,碳鋼的彈性極限和強度極限都有所提高,但伸長率則相應降低。在低溫下,碳鋼傾向于變脆。在高溫下,長期作用載荷將影響材料的力學性能。試驗結(jié)果表明,如低于一定溫度(例如對碳鋼來說,溫度在300℃～350℃以下),雖長期作用載荷,材料的力學性能并無明顯的變化。高溫、長期靜載下材料的力學性能但如高于一定溫度,且應力超過某一限度,則材料在這一固定應力和不變溫度下,隨著時間的增長,變形將緩慢加大,這種現(xiàn)象稱為蠕變。蠕變變形是塑性變形,卸載后不再消失。在高溫下工作的零件往往因蠕變而引起事故。例如汽輪機的葉片可能因蠕變發(fā)生過大的塑性變形,以致與輪殼相碰而打碎。圖示曲線是金屬材料在不變溫度和固定應力下,蠕變變形‘隨時間’變化的典型曲線。圖中A點所對應的應變是載荷作用時立刻就得到的應變。從A到B蠕變速度(即曲線的斜率)不斷減小,是不穩(wěn)定的蠕變階段。從B到C蠕變速度最小,且接近于常量,是穩(wěn)定的蠕變階段。從C點開始蠕變速度又逐漸增加,是蠕變的加速階段。過D點后,蠕變速度急劇加大以至斷裂。溫度和時間對材料力學性能的影響高溫下工作的零件,在發(fā)生彈性變形后,如保持其變形總量不變,根據(jù)胡克定律,則零件內(nèi)將保持一定的預緊力。隨著時間的增長,因蠕變而逐漸發(fā)展的塑性變形將逐步地代替了原來的彈性變形,從而使零件內(nèi)的預緊力逐漸降低、這種現(xiàn)象稱為松弛。靠預緊力密封或連接的機器,往往因松弛而引起漏氣或松脫。例如汽輪機轉(zhuǎn)子與軸的緊密配合可能因松弛而松脫。對這類問題就需要了解材料有關(guān)蠕變的性質(zhì)。2.5拉伸或壓縮時的強度計算2.5.1失效由脆性材料制成的構(gòu)件,在拉力作用下,當變形很小時就會突然斷裂。塑性材料制成的構(gòu)件,在拉斷之前先已出現(xiàn)塑性變形,由于不能保持原有的形狀和尺寸,它已不能正常工作。把斷裂和出現(xiàn)塑性變形統(tǒng)稱為失效。受壓短桿的被壓潰、壓扁同樣也是失效。若機床主軸變形過大,即使未出現(xiàn)塑性變形,但還是不能保證加工精度,這也是失效,它是剛度不足造成的。受壓細長桿的被壓彎,則是穩(wěn)定性不足引起的失效。此外,不同的加載方式,如沖擊、交變應力等,以及不同的環(huán)境條件,如高溫、腐蝕介質(zhì)等,都可以導致失效。上述這些失效現(xiàn)象都是強度不足造成的。2.5拉伸或壓縮時的強度計算2.5拉伸或壓縮時的強度計算2.5.2極限應力脆性材料斷裂時的應力是強度極限sb,塑性材料達到屈服時的應力是屈服極限ss,這兩者都是構(gòu)件失效時的極限應力,用su表示。脆性材料塑性材料為保證構(gòu)件有足夠的強度,在載荷作用下構(gòu)件的實際應力s(以后稱為工作應力)應低于極限應力。強度計算中,以大于1的因數(shù)除極限應力,所得結(jié)果稱為許用應力,用[s]來表示。對于塑性材料對于脆性材料式中大于1的因數(shù)ns、nb

或n稱為安全因數(shù)。2.5.3許用應力把許用應力[s]作為構(gòu)件工作應力的最高限度,即要求工作應力s不超過許用應力[s]。于是得構(gòu)件軸向拉伸或壓縮時的強度條件為2.5.4強度條件2.5.5強度計算的三類問題①強度校核②截面沒計③確定許可載荷＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊由于一般所指的塑性材料和脆性材料,其劃分界線的依據(jù)不夠確切,因此以材料的屈服極限與抗拉強度之比ss/sb為依據(jù)來選取極限應力和安全因數(shù)。比值ss/sb稱為屈強比。對屈強比較低的材料,以屈服極限作為極限應力,其安全因數(shù)ns也較低一些,例如在靜載荷作用下的一般零部件,軋件和鍛件的安全因數(shù)取ns＝1.2～2.2,鑄件取nb＝1.6～2.5。對屈強比較高的材料,例如高強度鋼,由于其屈服點已接近于抗拉強度,則取作為極限應力,其安全因數(shù)nb也較高一些。例如一般情況下鋼材取nb＝2.0～2.5;鑄件取nb＝4。對脆性材料,取nb＝2.0～3.5。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊

安全因數(shù)的確定是一件復雜的工作,它受具體構(gòu)件的工作條件影響很大,還有經(jīng)濟上的考慮。企圖對一種材料規(guī)定統(tǒng)一的安全因數(shù),從而得到統(tǒng)一的許用應力,并將它用于設(shè)計各種工作條件不同的構(gòu)件,這是不科學的。在機械設(shè)計和建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計中,均傾向于根據(jù)構(gòu)件的材料和具體工作條件,并結(jié)合過去制造同類型構(gòu)件的實踐經(jīng)驗和現(xiàn)實的技術(shù)水平,規(guī)定不同的安全因數(shù)。對于各種不同構(gòu)件的安全因數(shù)和許用應力,有關(guān)設(shè)計部門在規(guī)范中有具體的規(guī)定。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊土建工程中的金屬結(jié)構(gòu),基本上承受靜載荷,常用Q235鋼,取n＝1.5。相應的許用應力[s]＝160MPa。起重機金屬結(jié)構(gòu),因承受動載荷,安全因數(shù)比土建工程用金屬結(jié)構(gòu)要大些,對Q235鋼,取n＝1.7,其許用應力則為[s]＝140MPa。緊連接螺栓的許用應力還與其直徑有關(guān)。對小直徑的螺栓,由于擰緊時比大直徑螺栓更易于超載,其許用應力要取得小些。例如,在靜載荷下,對碳素鋼螺栓,當名義直徑d0＝6mm～16mm時,取[s]＝(0.20～0.25)ss;當d0＝16mm～30mm時,取[s]＝(0.25～0.4)ss;當d0＝30mm～60mm時,取[s]＝(0.4～0.6)ss。如受動載荷,則再將這些許用應力降低1/5～1/3。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊起重用鋼絲繩,由于提升重物時有一加速過程,實際受力比重物大;同時考慮到部分鋼絲的折斷、磨損、銹蝕以及彎曲變形等因素,因此按靜荷拉伸計算時其安全因數(shù)取得較大。對于人力驅(qū)動的起重鋼絲繩,取n＝4.5;機器驅(qū)動時取n＝5～6;而對于載人用的鋼絲繩則取n＝9。由上可見,對各種不同情況下工作的構(gòu)件,它們的安全因數(shù)或許用應力的差別是比較大的,須根據(jù)構(gòu)件的具體情況來確定。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊安全因數(shù)的選取,關(guān)系到構(gòu)件的安全和經(jīng)濟,兩者是矛盾的,應適當處理,將兩者合理地統(tǒng)一起來。若片面地強調(diào)安全,采用過大的安全因數(shù),就會造成構(gòu)件的尺寸過大,這不僅浪費材料,而且會使設(shè)計出的機器或結(jié)構(gòu)物粗笨。若不適當?shù)貜娬{(diào)經(jīng)濟,采用過小的安全因數(shù),就會使構(gòu)件尺寸過小,而不能保證構(gòu)件的安全耐用,甚至造成事故。安全因數(shù)也不是固定不變的,隨著工業(yè)技術(shù)的飛速發(fā)展,設(shè)計能力、工藝水平、材料產(chǎn)品質(zhì)量的不斷提高,以及人們對客觀事物的進一步認識,安全因數(shù)將會取得較小。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊確定安全因數(shù)應考慮的因素,一般有以下幾點:(1)材料的素質(zhì),包括材料的均勻程度,質(zhì)地好壞,是塑性的還是脆性的等。(2)載荷情況,包括對載荷的估計是否準確,是靜載荷還是動載荷等。(3)實際構(gòu)件簡化過程和計算方法的精確程度。(4)零件在設(shè)備中的重要性,工作條件,損壞后造成后果的嚴重程度,制造和修配的難易程度等。(5)對減輕設(shè)備自重和提高設(shè)備機動性的要求。＊＊＊安全因數(shù)＊＊＊例如材料的均勻程度較差,分析方法的精度不高,載荷估計粗糙等都是偏于不安全的因素,這時就要適當?shù)卦黾影踩驍?shù)的數(shù)值,以補償這些不利因素的影響。又如某些工程結(jié)構(gòu)對減輕自重的要求高,材料質(zhì)地好,而且不要求長期使用。這就不妨適當?shù)靥岣咴S用應力的數(shù)值?？梢娫诖_定安全因數(shù)時,要綜合考慮多方面的因素,很難作統(tǒng)一的規(guī)定。不過,人類對客觀事物的認識總是逐步地從不完善趨向于完善。隨著原材料質(zhì)量的日益提高,制造工藝和設(shè)計方法的不斷改進,對客觀世界認識的不斷深化,安全因數(shù)的選擇必將日益趨向于合理。例:圖示三鉸屋架的主要尺寸如圖所示。它所承受的豎向均布載荷沿水平方向的集度為q＝4.2kN/m,屋架的鋼拉桿直徑d＝16mm,許用應力[s]＝170MPa,試校核拉桿的強度。q1.42m0.4m螺栓鋼拉桿8.5m9.3m解:(1)作計算簡圖。由于兩屋面板之間和拉桿與屋面板之間的接頭不堅固,故把屋架的接頭看作鉸接,得屋架的計算簡圖如圖所示。8.5mqABC9.3m(2)求軸力。qABCFAxFAyFBqACFAxFAyFNFCyFCx4.25m4.65m(3)求拉桿橫截面上的應力(4)強度校核滿足強度條件,故鋼拉桿在強度方面是安全的。例:起重三鉸架如圖所示。木桿AB的許用應力[1]=12MPa,AC為鋼桿,許用應力[2]=160MPa,求結(jié)構(gòu)的最大荷載F。解:取節(jié)點A分析,受力如圖鋼桿設(shè)計:80∠20x4FBCA30o木桿設(shè)計:FAFNABFNAC選結(jié)構(gòu)不合理，AC可能失穩(wěn)例:剛性桿ACB由圓桿CD懸掛在C點,B端作用集中力F＝25kN,已知CD桿的直徑d＝20mm,許用應力[]＝160MPa,試校核CD桿的強度,并求:（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];（2）若F＝50kN,設(shè)計CD桿的直徑。解:求CD桿受力CD桿滿足強度條件。2aaFABDCFABCFNFAyFAx(1)結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];2aaFABDCFABCFNFAyFAx結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];d＝20mm,[]＝160MPa(2)若F＝50kN,設(shè)計CD桿的直徑。取d＝25mm2aaFABDCFABCFNFAyFAx例:圖示結(jié)構(gòu),AC

為剛性梁,BD為斜撐桿,載荷F可沿梁AC

水平移動。已知梁長為l,節(jié)點A和D間的距離為h。試問:為使斜撐桿的重量最輕,斜撐桿與梁之間的夾角應取何值,即確定夾角的最佳角。lhABCDFq解:設(shè)斜撐桿的軸力為FN,載荷F的位置用坐標x表示。FACBxqFNFAyFAx顯然,當x＝l時,軸力FN最大:則由平衡方程MA(F)

=0,得:FACBxqFNFAyFAx根據(jù)強度要求,斜撐桿所需之最小橫截面面積為:于是得夾角的最佳值為:可見,要使斜撐桿的重量最輕,應使其體積最小。由上式得由此得斜撐桿的體積為:例:某工地自制懸臂起重機如圖所示。撐桿AB為空心鋼管,外徑105mm,內(nèi)徑95mm。鋼索1和2互相平行,且設(shè)鋼索可作為相當于直徑d＝25mm的圓桿計算。材料的許用應力同為[s]＝60MPa。試確定起重機的許可吊重。解:分析滑輪A,假設(shè)撐桿AB受壓,軸力為FN;鋼索1受拉,拉力為F1。若不計摩擦力,則鋼索2的拉力F2與吊重W相等,即F2=W。解得選取坐標軸x和y如圖所示。列出平衡方程如下:撐桿AB允許的最大軸力為同理鋼索1允許的最大拉力是代入(a)式得相應吊重代入(b)式得相應吊重比較可知,起重機的許可吊重應為17kN。2.6軸向拉伸或壓縮時的變形直桿在軸向拉力作用下,將引起軸向尺寸的增大和橫向尺寸的縮小。反之,在軸向壓力作用下,將引起軸向的縮短和橫向的增大。FFll1b1b桿件在軸線方向的伸長為桿件在橫向的收縮為縱向應變橫向應變FFll1b1b工程上使用的大多數(shù)材料,其應力與應變關(guān)系的初始階段都是線彈性的。即,當應力不超過材料的比例極限時,應力與應變成正比,這就是胡克定律?？梢詫懗墒街械膹椥阅Ａ縀隨材料而不同。當應力不超過比例極限時,桿件的伸長Δl與拉力F和桿件的原長度l成正比,與橫截面面積A成反比。這是胡克定律的另一表達形式。對長度相同,受力相等的桿件,EA越大則變形Δl越小,所以EA稱為桿件的抗拉(或抗壓)剛度。以上結(jié)果同樣可以用于軸向壓縮的情況,只要把軸向拉力改為壓力,把伸長Δl改為縮短就可以了。試驗結(jié)果表明:當應力不超過比例極限時,縱向應變e與橫向應變e'之比的絕對值是一個常數(shù)。m稱為橫向變形因數(shù)或泊松比,是一個量綱一的量。因為當桿件軸向伸長時橫向縮小,而軸向縮短時橫向增大,所以e'和e的符號是相反的。e'和e的關(guān)系可以寫成例:圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN,F2=35kN,F3=35kN。l1=l3=300mm,l2=400mm。d1=12mm,d2=16mm,d3=24mm。E＝210GPa。試求:(1)1-1,2-2,3-3截面的軸力,作軸力圖(2)桿的最大正應力max(3)AD桿的變形F1F2F3112233l1l2l3ABCD解:求支座反力FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1F2F3112233l1l2l3ABCDFR=-50kN(1)求1-1,2-2,3-3截面的軸力,作軸力圖。FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1FN11122F1FN2F2FR33FN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）FRF1F2F3112233l1l2l3ABCD50kN15kN20kN軸力圖(2)求桿的最大正應力maxAB段:d2=16mmd1=12mmd3=24mmDC段:BC段:max=176.8MPa發(fā)生在AB段。50kN15kN20kN軸力圖d2=16mmd1=12mmd3=24mm(3)求AD桿的變形AB段:BC段:CD段:F1F2F3112233l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCD縮短例:圖示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接,兩桿與鉛垂線均成＝30o的角度,長度均為l＝2m,直徑均為d＝25mm,鋼的彈性模量為E＝210GPa。設(shè)在A點處懸掛一重物F＝100kN,試求A點的位移A。AaaBC①②F解:列平衡方程,求桿的軸力AaaBC①②兩桿的變形為是伸長變形。FAxyFN2FN1FAaaBC①②變形的幾何相容條件是:變形后兩桿仍應鉸結(jié)在一起。以兩桿伸長后的長度BA1和CA2為半徑作圓弧相交于A",即為A點的新位置。AA"就是A點的位移。A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aaAaaBC①②A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aa因變形很小,故可過A1,A2分別做兩桿的垂線,相交于A,可認為A'例:圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量E=200GPa,求當F=130kN時節(jié)點A的位移。A1=2172mm2,A2=2548mm2。ABCF30o2m①②FAFN1FN2xy30o解:取鉸鏈A分析,由平衡方程求得兩桿的軸力1桿受拉,2桿受壓。劉鴻文教材習題解答ABCF30o2m①②A1Δl1A2Δl2根據(jù)胡克定律求出桿的變形30oA3AA3

為所求A點的位移ABCF30o2m①②A1Δl1A2Δl2A'30oAA1A2Δl1Δl2注意變形圖中桿件的伸長(縮短)與軸力一定要對應。3m4mFBCD例:一簡單托架如圖所示,BC桿為圓鋼,橫截面直徑d=20mm。BD桿為8號槽鋼。若[s]＝160MPa,E=200GPa,試校核托架的強度,并求B點的位移。設(shè)F＝60kN。解:由三角形BCD求出BD桿的長度為5m。然后由節(jié)點B的平衡條件求得BC桿的軸力FN1和BD桿的軸力FN2分別為(拉力)(壓力)FBFN2FN1BC桿的橫截面面積為BD桿為8號槽鋼,由型鋼表中查出其橫截面面積為求出BC和BD桿的應力分別為可見托架的兩桿都滿足強度要求。3m4mFBCDB1B3根據(jù)虎克定律求出BC和BD兩桿的變形分別為B2這里Δl1為拉伸變形而Δl2為壓縮變形。設(shè)想將托架從節(jié)點B拆開。BC桿伸長變形后變?yōu)锽1C,BD桿壓縮變形后變?yōu)锽2D。分別以C點和D點為圓心,CB1和DB2為半徑作弧相交于B3。B3點即為托架變形后B點的位置。因為變形很小,B1B3和B2B3是兩段極其微小的短弧,因而可用分別垂直于BC和BD的直線段來代替,這兩段直線的交點即為B3。3m4mFBCDB1B2B3B2BB1B4B3用圖解法求B點的位移例:一等直桿受自重及集中力F作用。桿的長度為l,橫截面面積為A,材料的容重為g,彈性模量為E,許用應力為[s]。試分析桿的自重對強度的影響,并求桿的伸長。lFmmFxmmAxFN(x)解:FN(x)=F+Ax+F+AlF強度條件為或可見,若桿的l與材料的[]相比很小,則桿的自重影響很小,可略去不計。lFmmFxmmAxFN(x)+F+AlFlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dxW=Al為桿的自重lPlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx圖示結(jié)構(gòu)中,AB為水平放置的剛性桿,桿1,2,3材料相同,其彈性模量E＝210GPa,已知l＝1m,A1＝A2＝100mm2,A3＝150mm2,F＝20kN。試求C點的水平位移和鉛垂位移。解：取剛性桿AB分析FFN2FN1AFN3BCFABC45oDEFABC45oDE1桿和2桿伸長相同，剛性桿AB作平動，C點位移與A點相同。A1A2長為b、內(nèi)徑d＝200mm、壁厚d＝5mm的薄壁圓環(huán),承受p＝2MPa的內(nèi)壓力作用,如圖所示。試求圓環(huán)徑向截面上的拉應力。如果材料的E＝2GPa，試求其直徑的改變量Δd。2.如果在計算變形時忽略內(nèi)壓力的影響，則可認為薄壁圓環(huán)沿圓環(huán)切向的線應變e(周向應變)與徑向截面上的正應力s

的關(guān)系符合單軸應力狀態(tài)下的胡克定律，即解：1.前已求出圓環(huán)徑向截面上的正應力此值小于鋼的比例極限(低碳鋼Q235的比例極限sp≈200MPa)。從而有圓環(huán)直徑的改變量(增大)為3.圓環(huán)的周向應變e與圓環(huán)直徑的相對改變量ed有如下關(guān)系：2.9軸向拉伸或壓縮的應變能固體受外力作用而變形。在變形過程中,