廣東省2016中考數(shù)學第一部分教材梳理第六章圖形與變換第3節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用復習課件新人教版

第一部分教材梳理第3節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第六章圖形與變換知識要點梳理概念定理

1.銳角三角函數(shù)的定義

假設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，則有：

（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA.

即

（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA.

即（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.

（4）銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

2.解直角三角形的應(yīng)用的有關(guān)概念（1）坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1∶m的形式.（2）坡角：把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為i==tanα.（3）仰角和俯角：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.主要公式

1.同角三角函數(shù)關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；

（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=

或sinA=tanA·cosA.

2.兩角互余的三角函數(shù)關(guān)系

在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°時，正余弦之間的關(guān)系為：

（1）一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）.

（2）一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）.

也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA.

3.特殊角的三角函數(shù)值方法規(guī)律

1.通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問題，如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，解此類問題關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

2.解直角三角形的一般過程

（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

（2）根據(jù)題目的已知條件選用適當?shù)匿J角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案.

3.解直角三角形要用到的關(guān)系（1）銳角直角的關(guān)系：∠A+∠B=90°.（2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2.（3）邊角之間的關(guān)系：sinA=，cosA=，tanA=.（a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊）中考考點精講精練考點1銳角三角函數(shù)考點精講【例1】（2013廣東）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則sinA=

.

思路點撥：首先由勾股定理求得斜邊AC=5，然后由銳角三角函數(shù)的定義知sinA=

，將相關(guān)線段的長度代入計算即可.

答案：

解題指導：解此類題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算.

解此類題要注意以下要點：

銳角三角函數(shù)的基本概念，包括正弦、余弦、正切的定義等.考題再現(xiàn)

1.（2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=

，則cosB的值是 （）

2.圖6-3-1（2014廣州）如圖6-3-1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA等于 （）BD

3.圖6-3-2（2015廣州）如圖6-3-2，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE.若BE=9，BC=12，則cosC=

.考題預測

4.如圖6-3-3，點A為∠α邊上的任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，下列用線段比表示cosα的值，錯誤的是 （）C

5.如圖6-3-4，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是 （）D

6.如圖6-3-5，在銳角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：（1）tanC的值；（2）sinA的值.解：（1）如答圖6-3-1，過點A作AD⊥BC于點D.∵S△ABC=BC·AD=84,∴×14×AD=84∴AD=12.又∵AB=15，∴CD=14-9=5.（2）如答圖6-3-1，過點B作BE⊥AC于點E.在Rt△ADC中，AC==13.∵S△ABC=AC·EB=84，∴BE=.∴sin∠BAC=考點2解直角三角形的應(yīng)用考點精講【例2】（2014廣東）如圖6-3-6，某數(shù)學興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A，B，D三點在同一直線上）.請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計算這棵樹CD的高度（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：

≈1.414，

≈1.732）

思路點撥：首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ABC的度數(shù)，得到BC的長度，然后在直角△BDC中，利用三角函數(shù)即可求解.

解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，

∴∠ACB=∠CBD-∠A=60°-30°=30°.

∴∠A=∠ACB.

∴BC=AB=10（m）.

在直角△BCD中，CD=BC·sin∠CBD=10×

=

≈5×1.732=8.7（m）.

答：這棵樹CD的高度為8.7米.

解題指導：解此類題的關(guān)鍵是借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.

解此類題要注意以下要點：

解直角三角形的應(yīng)用問題的一般過程：

（1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）；

（2）根據(jù)題目已知條件的特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案.考題再現(xiàn)

1.（2012廣東）如圖6-3-7，小山崗的斜坡AC的坡度是tanα=，在與山腳C距離200m的D處，測得山頂A的仰角為26.6°，求小山崗的高AB.（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，∴BC=在直角三角形ADB中，=tan26.6°=0.50,即BD=2AB.∵BD-BC=CD=200,∴2AB-AB=200.解得AB=300（m）.答：小山崗的高AB為300米.

2.（2015茂名）如圖6-3-8，一條輸電線路從A地到B地需要經(jīng)過C地，圖中AC=20km，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因線路整改需要，將從A地到B地之間鋪設(shè)一條筆直的輸電線路.（1）求新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度；（結(jié)果保留根號）（2）問整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了多少千米.（結(jié)果保留根號）解：（1）如答圖6-3-2，過點C作CD⊥AB，交AB于點D.在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=20×=10（km），AD=AC·cos∠CAD=20×（km）.在Rt△BCD中，BD==10（km）.∴AB=AD+DB=+10=10（+1）（km）.答：新鋪設(shè)的輸電線路AB的長度為10（+1）千米.（2）在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得：BC=（km），∴AC+CB-AB=20+（km）.答：整改后從A地到B地的輸電線路比原來縮短了千米.

3.（2014珠海）如圖6-3-9，一艘漁船從A處沿正南方向航行一段距離后，到達位于小島南偏東60°方向的B處.（1）求漁船從A到B的航行過程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號表示）；（2）若漁船以20海里/小時的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達小島M的航行時間（結(jié)果精確到0.1小時）.（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）解：（1）如答圖6-3-3，過點M作MD⊥AB于點D.∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°.∵AM=180海里，∴MD=AM·cos45°=（海里）.答：漁船從A到B的航行過程中與小島M間的最小距離是

海里.（2）在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°.∵MD=海里，∴MB=∴÷20==3×2.45=7.35≈7.4（小時）.答：漁船從B到達小島M的航行時間約為7.4小時.考題預測

4.如圖6-3-10，為安全起見，小明擬加長滑梯，將其傾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的長為3m，點D，B，C在同一水平地面上，那么加長后的滑梯AD的長是 （）C

5.筆直的公路AB一側(cè)有加油站C，已知從西面入口點A到C的距離為60米，西東兩個入口A,B與加油站C之間的方位角如圖6-3-11所示，則A,B兩個入口間的距離為 （）C

6.如圖6-3-12，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i=1∶1.5，則壩底AD的長度為 （）

A.26米 B.28米 C.30米 D.46米D

7.某處山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，狂風過后，大樹被刮得傾斜后折斷，倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖6-3-13所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干的傾斜角∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m.（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）這棵大樹折斷前高約多少米？（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.4）解：（1）如答圖6-3-4，延長BA交EF于點G.在Rt△AGE中，∠E=23°，∴∠GAE=67°.又∵∠BAC=38°，