LTI系統(tǒng)的時(shí)域頻率復(fù)頻域分析

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LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析本章主要內(nèi)容：

LTI系統(tǒng)的差分/微分方程描述和框圖描述

LTI系統(tǒng)的頻域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域、頻域

與復(fù)頻域分析2一、LTI系統(tǒng)的描述用描述系統(tǒng)；用線性常系數(shù)微分或差分方程（LCCDE）描述；用方框圖描述系統(tǒng)（等價(jià)于LCCDE描述）；用系統(tǒng)頻率響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)31.用單位沖激響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)表示LTI系統(tǒng)42.用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)一個(gè)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來(lái)描述。分析這類系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。對(duì)于因果系統(tǒng)，當(dāng)輸入為0時(shí)，輸出也為0。也就是說(shuō)對(duì)于因果LTI系統(tǒng)，其輸出的初始狀態(tài)為零，此時(shí)的輸出常稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)分析時(shí)，往往不是通過(guò)微分/差分方程的時(shí)域求解，而是通過(guò)頻域或復(fù)頻域分析來(lái)求解方程。但是對(duì)離散LTI系統(tǒng)，其差分方程的時(shí)域遞歸解法在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中有非常重要的應(yīng)用。5（2）線性常系數(shù)差分方程(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation，LCCDE)

一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：

（1）線性常系數(shù)微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均為常數(shù)6（1）離散時(shí)間系統(tǒng)基本單元:A.加法器

B.放大器(乘以系數(shù))

C.單位延時(shí)器一階差分方程:

相加延時(shí)相乘a3.

LTI系統(tǒng)的方框圖表示D7(2)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一階微分方程:微分

相加相乘基本單元:A.加法器

B.放大器

C.積分器a8例：寫出右圖所示系統(tǒng)的差分方程由加法器可寫出等式：例：畫(huà)出由微分方程所描述的LTI系統(tǒng)的框圖將方程寫為：依上式可畫(huà)出系統(tǒng)框圖如右圖當(dāng)系統(tǒng)框圖中有多個(gè)積分器或延時(shí)器時(shí)，就可以描述高階系統(tǒng)，其對(duì)應(yīng)的方程為高階微分方程或差分方程。9例：某連續(xù)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖如下，求系統(tǒng)的微分方程解由圖可知第一個(gè)和第二個(gè)積分器的輸入分別為，根據(jù)加法器的輸入輸出關(guān)系有

所以系統(tǒng)的微分方程為:+3-210二.LTI系統(tǒng)的頻域分析1.LTI系統(tǒng)的頻域分析和頻率響應(yīng)

根據(jù)卷積特性,可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析,其過(guò)程為:1.由2.根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.4.11從信號(hào)分解觀點(diǎn)分析對(duì)于任意x(t),可以分解為無(wú)窮多特征函數(shù)的線性組合，每一個(gè)特征函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為頻域分析法：也是建立在線性系統(tǒng)具有疊加性、齊次性基礎(chǔ)上，與時(shí)域分析法不同處在于信號(hào)分解的基本函數(shù)不同。12

由于的傅氏變換就是頻率為的復(fù)指數(shù)信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

鑒于與是一一對(duì)應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。僅當(dāng)LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)，即：其頻率響應(yīng)存在13---幅頻特性（幅頻響應(yīng)）---相頻特性（相頻響應(yīng)）系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)令：14對(duì)LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換：由于故有2.

由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的頻域分析可見(jiàn)由LCCDE描述的LTI

系統(tǒng)其頻率特性是一個(gè)有理函數(shù)。由此可以看出，對(duì)由

LCCDE描述的LTI系統(tǒng)，當(dāng)需要求得其時(shí)(比如時(shí)域分析時(shí))，往往是由做反變換得到。對(duì)有理函數(shù)求傅立葉反變換通常采用部分分式展開(kāi)和利用常用變換對(duì)進(jìn)行。15例：描述已線性LTI系統(tǒng)的微分方程為：求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并求

時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)解：系統(tǒng)方程兩邊作FTx(t)為單邊指數(shù)函數(shù)，其FT為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)由傅里葉逆變換求y(t)16例：

可見(jiàn)，對(duì)由微分方程所描述的系統(tǒng)通過(guò)求頻率響應(yīng)可以方便地求出其單位沖激響應(yīng)。17例：某連續(xù)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖如下，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

解由傅立葉變換的微分特性首先寫出圖中各處信號(hào)的傅立葉變換，根據(jù)加法器的輸入輸出關(guān)系有

所以系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為:+-3-23.

由方框圖描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性18例：求下圖系統(tǒng)的頻率響應(yīng)解設(shè)第2個(gè)積分器的輸出為w(t),相應(yīng)的傅立葉變換為

由兩個(gè)加法器可以寫出如下關(guān)系式：19互聯(lián)系統(tǒng)的*級(jí)聯(lián):

*并聯(lián):H1(j)H2(j)H1(j)H2(j)20*反饋聯(lián)結(jié):21一個(gè)信號(hào)所攜帶的全部信息分別包含在其頻譜的模和相位中。LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)所起的作用包括兩個(gè)方面:1.改變輸入信號(hào)各頻率分量的幅度；

2.改變輸入信號(hào)各頻率分量的相位。在工程實(shí)際中，不同的應(yīng)用場(chǎng)合，對(duì)幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也會(huì)有不同的技術(shù)指標(biāo)要求。因此，導(dǎo)致信號(hào)失真的原因有兩種：幅度失真：由于頻譜的模改變而引起的失真。2.相位失真：由于頻譜的相位改變引起的失真。4.無(wú)失真?zhèn)鬏?2(1)線性與非線性相位當(dāng)相位特性僅僅是附加一個(gè)線性相移時(shí)，只引起信號(hào)在時(shí)間上的平移。如連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：則此時(shí)并未丟失信號(hào)所攜帶的任何信息，只是發(fā)生時(shí)間上的延遲，因而在工程應(yīng)用中是允許的。信號(hào)在傳輸過(guò)程中，相位特性或幅度特性發(fā)生改變都會(huì)引起信號(hào)波形的改變，即發(fā)生失真。

如果系統(tǒng)的相位特性是非線性的，由于不同頻率分量受相位特性影響所產(chǎn)生的時(shí)移不同，疊加起來(lái)一定會(huì)變成一個(gè)與原來(lái)信號(hào)很不相同的信號(hào)波形。23(2)信號(hào)的不失真?zhèn)鬏敆l件

如果系統(tǒng)響應(yīng)與輸入信號(hào)滿足下列條件，可視為在傳輸中未發(fā)生失真：這就要求系統(tǒng)的頻率特性為如果一個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是一個(gè)常數(shù)，稱這種系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。24——時(shí)域表征

據(jù)此可得出信號(hào)傳輸?shù)牟皇д鏃l件：

0

通常，系統(tǒng)若在被傳輸信號(hào)的帶寬范圍內(nèi)滿足不失真條件，則認(rèn)為該系統(tǒng)對(duì)此信號(hào)是不失真系統(tǒng)?！l域表征

0255.理想頻率選擇性濾波器1.頻率成形濾波器（改變各分量的幅度與相位）2.頻率選擇性濾波器（去除某些頻率分量）濾波：通過(guò)系統(tǒng)改變信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小和相位，甚至完全去除某些頻率分量的過(guò)程稱為濾波。濾波器可分為兩大類：理想頻率選擇性濾波器的頻率特性在某一個(gè)（或幾個(gè)）頻段內(nèi)，頻率響應(yīng)為常數(shù)，而在其它頻段內(nèi)頻率響應(yīng)等于零。26連續(xù)時(shí)間理想頻率選擇性濾波器的頻率特性低通高通帶阻帶通濾波器的通帶(passband):

允許信號(hào)完全通過(guò)的頻段;阻帶(stopband):完全不允許信號(hào)通過(guò)的頻段。271理想低通的頻率響應(yīng)例.

中心頻率可變的帶通濾波器：各種濾波器的特性都可以從理想低通特性而來(lái)。281等效帶通濾波器

相當(dāng)于從中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為的帶通濾波器，改變即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。29理想濾波器的時(shí)域特性以理想低通濾波器為例連續(xù)時(shí)間理想低通濾波器1由傅里葉變換可得:301.系統(tǒng)函數(shù)的概念：以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即其中是的拉氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)。三、用拉氏變換分析與表征LTI系統(tǒng)

---LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析。即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。如果、、

的ROC包括軸，以代入，即有31如果時(shí)，則系統(tǒng)是反因果的。因果系統(tǒng)的是右邊信號(hào)，的ROC必是最右邊極點(diǎn)的右邊反因果系統(tǒng)的是左邊信號(hào)，的ROC必是最左邊極點(diǎn)的左邊應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由ROC的特征，反過(guò)來(lái)并不能判定系統(tǒng)是否因果。ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊并不一定系統(tǒng)因果。只有當(dāng)是有理函數(shù)時(shí)，逆命題才成立（見(jiàn)下面例2）2.用系統(tǒng)函數(shù)表征LTI系統(tǒng)：(1)因果性：如果時(shí)，則系統(tǒng)是因果的。連同相應(yīng)的ROC也能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在及其ROC中一定有具體的體現(xiàn)。32(2)穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有。因此必存在。意味著

的ROC必然包括軸。綜合以上兩點(diǎn)，可以得到：因果穩(wěn)定系統(tǒng)的，其全部極點(diǎn)必須位于S平面的左半邊。例1.某系統(tǒng)的,顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。ROC包括軸系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。的全部極點(diǎn)都在S平面的左半邊。33例2.若有的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但是非有理函數(shù).而，故系統(tǒng)是非因果的。由于ROC包括軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。而對(duì)系統(tǒng)仍是非有理函數(shù)，ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊，但由于，系統(tǒng)是因果的。34結(jié)論：LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，若其全部極點(diǎn)位于S平面的左半平面，則系統(tǒng)是因果、穩(wěn)定的。2.若LTI系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC是最左邊極點(diǎn)的左邊。

3.如果LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的ROC必然包括軸。353.由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析對(duì)是一個(gè)有理函數(shù)進(jìn)行拉氏變換有：36例3：已知系統(tǒng)函數(shù)為，求系統(tǒng)的零、極點(diǎn)，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：零點(diǎn)：極點(diǎn)：系統(tǒng)的極點(diǎn)都在s平面的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。xxσjω-3-2-101-137例4：給定因果LTI系統(tǒng)的微分方程為