河海大學(xué)工程力學(xué),第五章 平面力系的平衡

第5章平面力系的平衡若力系中各力的作用線既不匯交于一點(diǎn)，又不全部相互平行，且位于同一個(gè)平面內(nèi)，則該力系稱為平面任意力系?！?-1平面任意力系§5-1平面任意力系MAMBABq1F2F1abq2q3FAxFAyFByFBx圖示為廠房建筑中常用的剛架結(jié)構(gòu)中的一個(gè)剛架受力簡(jiǎn)化圖。q1屋面荷載和橫梁自重q2風(fēng)壓力q3由風(fēng)壓力引起的負(fù)壓力F1、F2分別為吊車梁作用于牛腿a、b上的力§5-1平面任意力系§5-2力的平移定理OFF'O'F"Md根據(jù)加減平衡力系原理,M

=F·dM與Mo'

(F)大小相等，轉(zhuǎn)向一致。F與F"組成力偶Mo'

(F)=F·d去掉F與F"，代之以力偶M力的平移定理：作用在剛體上的力可向剛體內(nèi)任一點(diǎn)平移，但需在該力與該平移點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一個(gè)力偶，附加力偶的矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的矩。一、力的平移定理OFM二、共面的力與力偶的合成O'F'F"dOFM去掉力偶M

，代之以F'與F"則合力為F'且F=F'=F"§5-2力的平移定理一、簡(jiǎn)化方法將各力向任一點(diǎn)（即簡(jiǎn)化中心）平移，得到一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系，進(jìn)而合成得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。F1F2FiFnOA1A2AiAnA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmomO=∑mi主矢量主矩FR=∑Fi§5-3平面任意力系的簡(jiǎn)化二、簡(jiǎn)化的一般結(jié)果mO=m1+m2+…+mi+…+mn主矢量主矩=∑FiFR=F1'+F2'

+…

Fi

'

+…+

Fn'=F1+F2+…

Fi

+…+

Fn=∑miA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmomi=MO

(Fi)因?yàn)樗詍O=∑MO

(Fi)平面力系向平面內(nèi)一點(diǎn)（簡(jiǎn)化中心）簡(jiǎn)化的一般結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用于簡(jiǎn)化中心，等于原力系各力的矢量和；這個(gè)力偶在原力系所在的平面內(nèi)，其矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的代數(shù)和?！?-3平面任意力系的簡(jiǎn)化AF1F2Fi

FnFRA1A2OF1'F2'Fi

'Fn'AiAnm1m2mimnFRmoO'思考1：簡(jiǎn)化中心取在O'點(diǎn)時(shí)，簡(jiǎn)化的一般結(jié)果有無變化？主矢量是一常矢量，與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)；主矩一般隨簡(jiǎn)化中心的位置不同而不同。思考2：平面匯交力系簡(jiǎn)化的一般結(jié)果？mO=∑mi主矢量主矩FR=∑FiOFRmo§5-3平面任意力系的簡(jiǎn)化三、簡(jiǎn)化結(jié)果的討論1.FR=0，mO

≠0合力偶m與簡(jiǎn)化中心位置無關(guān)，為什么？2.FR≠0，mO

=0合力FR作用線過簡(jiǎn)化中心3.FR≠0，mO

≠0使mo=MO

(F'R)mo=FR·dx=moFRyxyOO'F'RdxxyOFRmoF'RO'dx可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為合力F'R§5-3平面任意力系的簡(jiǎn)化mO=MO

(F'R)合力矩定理：設(shè)平面力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，則合力對(duì)于該力系平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩就等于各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。4.FR=0，mO

=0該力系平衡mO=∑MO

(Fi)FRxyOmoF'RO'dx§5-3平面任意力系的簡(jiǎn)化四、簡(jiǎn)化結(jié)果的解析計(jì)算FR=√FRx2+FRy2FRx

=

∑FixFRy

=∑Fiycos(FR，x)=FRxFRmO=∑MO

(Fi)主矢：主矩：思考：平面平行力系的簡(jiǎn)化F1xyOF2F3moFRFR=

∑FiymO=∑MO

(Fi)F'Rxx=moFRy進(jìn)一步簡(jiǎn)化為合力§5-3平面任意力系的簡(jiǎn)化§5-4平行線分布力的簡(jiǎn)化在實(shí)際問題里，物體所受的力，往往是分布作用于物體體積內(nèi)（如重力）或物體表面上（如水壓力），前者稱為體力，后者稱為面力。體力和面力都是分布力。如分布力的作用線彼此平行，則稱為平行分布力。面力一般是分布在一定面積上的，但在許多工程問題里，力是沿著狹長(zhǎng)面積分布的（如梁上的力），這種力可簡(jiǎn)化為沿著一條線分布的力，稱為線分布力或線分布荷載。表示力的分布情況的圖形稱為荷載圖。單位長(zhǎng)度或單位面積上所受的力，稱為分布力在該處的集度。如果分布力的集度處處相同，則稱為均布力或均布荷載；否則就稱為非均布力或非均布荷載。xyq(x)ldxxFR(xC,yC)§5-4平行線分布力的簡(jiǎn)化線段上荷載圖的面積1.合力大小2.合力作用線位置——荷載圖面積形心一、平面任意力系的平衡FR=0

MO

=0∑Fix=0∑

MO

(Fi)=0∑

Fiy

=0FR=FRxi+FRyj=∑

Fixi+∑

Fiyj§5-5平面任意力系的平衡例：求A、B處約束反力ABCFPFQ30oll/2FAxFAyFB§5-5平面任意力系的平衡二力矩形式三力矩形式∑MB

=0∑

MA=0∑Fix=0A、B兩點(diǎn)的連線不垂直x軸xyAFRBBB∑

MB=0∑

MC=0∑

MA=0A、B、C三點(diǎn)不共線靈活運(yùn)用平衡方程，不要拘泥于形式；通常盡量一個(gè)方程求解一個(gè)未知量。§5-5平面任意力系的平衡平面平行力系：FR=0

MO

=0∑

MO

(Fi)=0∑

Fiy

=0二力矩形式：∑MB

=0∑

MA=0§5-5平面任意力系的平衡例求A端約束力。ABFl45oqFAxFAyMA§5-5平面任意力系的平衡FPACDB2m1m30oqW1m1m1mMFAxFCDFTFAy例已知q=0.5kN/m，W=10kN，F(xiàn)P=5kN，M=8kN·m。求A、D處約束力。E§5-5平面任意力系的平衡§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡一、靜定與超靜定問題靜定：未知量個(gè)數(shù)=獨(dú)立方程數(shù)超靜定：未知量個(gè)數(shù)>獨(dú)立方程數(shù)對(duì)于n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)，最多可列3n個(gè)獨(dú)立的方程。約束力個(gè)數(shù)≤3n時(shí)，為靜定的；約束力個(gè)數(shù)＞3n時(shí)，為超靜定的（靜不定）?！?-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡ABCABC§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡不完全約束、完全約束、多余約束§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡超靜定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)安全，因?yàn)楫?dāng)靜定結(jié)構(gòu)中任何一個(gè)約束破壞時(shí)，就喪失了承載能力，而超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞時(shí)，依然具有一定的承載能力。而且超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布一般比靜定結(jié)構(gòu)要均勻，結(jié)構(gòu)的剛度和穩(wěn)定性也都有提高。§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡對(duì)ABC而言，A、B為外約束，C為內(nèi)約束；但對(duì)AC而言，A、C均為外約束。物體系統(tǒng)：多個(gè)物體用一定的方式連接起來組成的系統(tǒng)。外約束：其它物體對(duì)該物體系統(tǒng)約束。內(nèi)約束：物體系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互約束。二、物體系統(tǒng)的平衡問題§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡C4mABq=15kN/m4m例求A、B、C處約束反力FBxFByFAxFAy§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡C4mABq=15kN/m4m例求A、B、C處約束反力FBxFByFAxFAy4mx'y'§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡FP討論題：CFAxFAyFBxFBy求A、B處約束力。FBxFByFCxFCyFD§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡討論題：求A、E處約束力。§5-6靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡討論題：求A、B處約束力?！?-9靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡q=2kN/mABCD1m1m2m2m1m求AD、CD、BD桿內(nèi)力。例：FAFBxF