2021屆新高考數(shù)學多題一解篇03 輔助角公式(文理通用解析版)

22，22，屆多一輔角篇【識備新課標人教A版修四第三章習題3.2B組第6題（1求函數(shù)

y3sinxcosx

的最大值與最小值；（2你能用a,b表示函數(shù)

yasinxx

的最大值和最小值嗎？解析：（）＋cos＝a2

＋b2

（

＋cos，＋＋2因

2

a

2

b

，故令φ

，sin＝2＋b2

＋則＋cos＝

＋b（sinxcos＋cosxsinφ

＋b（sin+φ，（或令sin＝

，＝，＋＝＋b22＋b2

＋b－)溫馨提示：、＋中是一個角，提取系數(shù)時，一般提取

a2

b2

，

角所在的象限由a,b的號確定，值tan

ba

確定，特別是當

ba

=

33

時，殊角，此時取

4

3

6

。2、對于形如

xaxx

的函數(shù)，在研究其最值、周期、單調、對稱等性質時，都需要化為一個角的三角函數(shù)轉的手段是利用三角函數(shù)的和、差角、半角公式結合輔助角公式后再利用三角函數(shù)的圖象及性質去研究

x的性質。【進考【2019年考全國Ⅰ卷理數(shù)】在直角坐標系Oy，曲線C參數(shù)方程為（t為數(shù)）．以坐4

22標原點O為點軸的半軸為極軸建立極坐標系l的極坐標方程為

3sin

．（1求和l的角坐標方程；（）求C上點到l距的最小值．【答案】（1）

4

；

l

的直角坐標方程為x3；（）．【解析】（1）因為

11

22

，

t

，所以C直角坐標方程為

2

4

．

l

的直角坐標方程為23y

．（2由（）可設參數(shù)方程為（y

為參數(shù)，

）．C上點到l距離為

π2cos3sin377

．當

時，

3

取得最小值，故上的點到

l

距離的最小值為

7

．【名師點睛題查參數(shù)方程坐標方程與直角坐標方程的互化解圓上的點到直線距離最值問題解題中的最值問題通常用參數(shù)方程來表示橢圓上的點問題轉化為三角函數(shù)的最值求問題．、【年考浙江卷】設函數(shù)

f)x

.（）知

[0,2

函數(shù)

f(x

)

是偶函數(shù)，求

的值；（）函數(shù)

y(x

)]2f(x)]24

的值域．【答案】（1）

π333或；2）,1]．【解析】（1）因為f

是偶函數(shù)，所以，對任意實x有x

，即

sincosx

cosxsin

故2sinxcos

，以cos

．又

)

，因此

π3或．

2xsin2sin1241242xsin2sin124124（2

f

π

1x232x222222

2x3

．因此，函數(shù)的值域是

[1

,1]

．【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎知識，同時考查運算求解能、【年考全國Ⅰ卷理數(shù)】△ABC內角，，的邊分別為，，，設(sinsin

2

sin

2

AsinC

．（）若

2

，求C．【答案）AC

2

.【解析）由已知得2B2sinC，故正弦定理得b22bc．b由余弦定理得cosbc2

．因為

，所以A

．（）（）B，題設及正弦定理得

2sin

C

，即

31CC2sin，得cosC22

．由于0

，所以

，故

sinCsinsin

．

【名師點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，涉及到兩角和差正弦公式、角三角函數(shù)關系的應用，解題關鍵是能夠利用正弦定理對邊角關系式進行化簡，得到余弦定理的形式或之間的關系．(2018全卷)若f(x)cosxx

在[]

是減函數(shù)，則

的最大值是A

π

B

π

C．

3

D．

π【答案】A【解析】解法一f(x)sinx

πcos(

，且函數(shù)y

在區(qū)間[0,

]

上單調遞減，則由≤x≤≤x≤f(x)4

在[]

上是減函數(shù)a≤4

≤，解法二因為x)cos

，所以f

xcosx

，則由題意知fxcosx≤

在[]

上恒成立，即

sinxcosx

，即x

≥0，在[a]

上恒成立，結合函數(shù)ysin()

≥04的圖象可知有a≤

，解得a≤，以0≤，所以a的大值是

，故選．5新標Ⅰ直坐標系

中，曲線

C

的參數(shù)方程為

xy

，為數(shù)，線

l

的參數(shù)方程為

xty

(t為數(shù)．

(1)若

C與l的交點坐標；

若C的點到l距的最大值為

，求．【解析）曲線

的普通方程為

29

2

．當

時，直線

l

的普通方程為xy

．y由解得或yy

21xy25

，從而

與

l

的交點坐標為(3,0)

，(

)

．（）線

l

的普通方程為0

，故

上的點(3cos

到

l

的距離為d

|

17

．當

，的大值為

aa．由題設得1717

17，以；當

時，

的最大值為

．由題設得1717

，所以

．綜上，或

．【例析基題：【例】當時函數(shù)5【答案】

f()sin2cosx

取得最大值,則

cos

．【解析】Ⅰ

f(x)

=

sin2cos=5(

5252sinx令cos，555

，則

f()=x

)5

，

當

k

kz，即x2

z時f()

取最大值，此時=

k

z

，∴

cos

=

=

=

5

.【例】為了得到函數(shù)ysinxcosx

的圖象，可以將函數(shù)x的像A．右移C向左平移【答案】A

個單位B向右平移個單位D．向左平移

個單位個單位【解析】因為ycos3x

cos(3x)x)

，所以將函數(shù)y2

的圖象向右平移

個單位后，可得到y(tǒng)x)

的圖象，故選．【例】若將函數(shù)f(x)cos2值是

的圖象向右平移個位，所得圖象關于y

軸對稱，則的最小正A．

3B．D484【答案】C【解析】(x

sin(2)

函數(shù))

的圖象向右平移

個單位得(xsin(2

，由該函數(shù)為偶函數(shù)可知2

k3,Z，，以的小正值是為．228以坐為臺查助公：【例新標Ⅰ直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的坐標方程為1

cos

．(1)

M為線1

上的動點點P線段OM上且足OMOP

求點P

的軌跡

C

2

的直角坐

標方程；(2)設點A的坐標為(2,

，點B

在曲線

C上求OAB面的最大值．2【解析）設

的極坐標為

(

0)

，的坐標為

(

1

(

1

．由橢圓知OP

，|OM

．由|OM|OP|

得

C

2

的極坐標方程

4cos

0)

．因此C的角標方程為2

2

2

4(

．（）點B的坐標為(

,B

(

B

0)

．由題設知OA|

，

B

，于是面S

3|OAAOB4cos)|)B32

23

．當

時，取最大值2．以面的最大值為23．以數(shù)程平考輔角式【例】已知曲線：

x2y2，線l：4

xyt

（t為數(shù)(Ⅰ)寫曲C的參數(shù)方程，直線l的通方程；（Ⅰ曲C上一點作l角為的線，交l于A，的大值與最小值．【解析線程為

xy3sin

(數(shù)).

線通2xy（Ⅰ

C上任意一

l距離為

則

255sin(,其中銳角，tan.3053

(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB(sin＋sin)＝＋[sinB＋A＋)]＝＋sinB＋cosB33333233當s(得最大，最大值

in(取得最小值最小值為

5

以三形平考輔角式1【例】設Ⅰ的角A，，所的分別為，，，且acosC－c＝.2求的??；

若a1，求Ⅰ周的取值范圍．11【解析】由aC－c＝得sinAcosCsin＝221又sin＝C)sincosC＋AC，所以sinC－sinC21π因為sinC≠0，以cos＝－.又為<，所以A＝.23asinB22(2)由正弦定理得＝＝sin，＝sinC.sinA3l＝＋＋＝＋

22233332＝＋所以sin

2ππππ2sin＋.因＝，以Ⅰ，，所以B＋Ⅰ，33B＋Ⅰ，.所Ⅰ的長的取值范為，＋.23以面量平考輔角式【例已知向量

a

函

f

的圖像過點

和點

2

．（Ⅰm

的值；

3131（Ⅰ

yf

的圖像向左平移

到數(shù)

y

的圖像若

y

圖像上各最高點到點

小為1求

yg

的單調遞增區(qū)間．【解析Ⅰ已知

fx)sinx

，

f(x)過(

2(

，Ⅰ(

msin

cos

3

，f(

4cos3

，Ⅰ

3mn3222

解得

（Ⅰ（Ⅰf)

sin2xcosx2sin(2

由題意知()2sin(2

，設

的圖象上符合題意的最高點為

x0由題意知

20

．所以

x0

，即到點(0,3)

的距離為1的高點為(0,2)

．將其代入

y

，又Ⅰ，因此

2

，2x2kk

，得

z，Ⅰfx

的單調增區(qū)間為[

kZ

．【例】已知向量x)

，

b(3,3)

，[0,

]

．（）

a

，求

的值）(x)

，求f()

的最大值和最小值以及對應的

的值．【解析因為x,sinx)

，

3)

，

a

，所以

cosx

．若

cosx，則sinx，sin矛盾，故x

．

44于是

．又x]

，所以x

．（）

f()(cosxx3)3x

π

.因為

x[0,]

，所以

x

π7[,]6

π3，從而cos(2

.于是，當

x

ππ，即x時，

f(x

取到最大值；當

x

ππx時，f()

取到最小值3．以角換平考輔角式【例】已知函數(shù)f(xtancoscos(x

.(Ⅰ)(x)

的定義域與最小正周期Ⅰ論f(x)

在區(qū)間

4

上的單調性．【解析】Ⅰ)

fx

的定義域為{|x

}

．3f()tancosxcos(x)4sinxx)34sin(cosx2

32sinxx3sin

xsin23(1cos2x)3sin3cos2x

所以f)

的最小正周期T

2

．

令

x

函數(shù)z

的單調遞增區(qū)間是

,由

k

得

設

AkZ

，易知

A,4

．

22所以當時,f()在間,444

上單調遞增在間

上單調遞減．以線離平考輔角式【例】記

d

為點P

,sin

到直線xmy

的距離，當

，

變化時，

d

的最大值為A．【答案】C

B．C．．【解析】由題意可得

sinm2

msin

m2

2

mm2

sinm2

m2

|

m2（其中

cos

2

，

2

Ⅰsin(

,Ⅰ

|2m

≤d

2m2m

，

2m2

2m

，Ⅰm時d取最值3故選C【例】在直角坐標系

中，曲線C的數(shù)方程為

（為參數(shù)坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為)2．4（Ⅰ出C的通方程和的直角坐標方程；12（Ⅰ點P在上點在C上求|PQ|的最小值及此時P的角坐標．【解析Ⅰ

C

1

的普通方程為

3

，

C

2

的直角坐標方程為x0

.

（Ⅰ題，可設點的角坐標為(

，因為C是線，2所以PQ的小值，即為到的離d)2

的最小值，

2|)

．當且僅當k

Z)

時，d()

取得最小值，最小值為2，此時P

的直角坐標為()

．【蹤習1、函數(shù)()3)(sinx)

的最小正周期是A．

Bπ

C

D．π【答案】B【解析】由題意得f(x)2T．故選．

)x)2sin(23

)

，故該函數(shù)的最小正周期2、設函數(shù)xsin(2

cos(2)4

，則A．(在Byf(Cyf()在

)

單調遞增，其圖象關于直線單調遞增，其圖象關于直線x單調遞減，其圖象關于直線

對稱對稱對稱D．(

在

(0,

)

單調遞減，其圖象關于直線

x

對稱【答案】D【解析】Ⅰ

f()

cos(2)=2sin(2)cos2x42

，

所以x

在(0,)

單調遞減，對稱軸為

2x

k，即x(kZ

．3、函數(shù)

2x

2

x

的最小正周期為

.【答案】

【解析】

y

3111sin2x2x=sin2xcos2sin(222

，所以其最小正周期

．4、

中，

BAC

，則+2的大值為____【答案】

7【解析據(jù)

ABACABCsinsinAsinB

C

同

BC

因此

AB4sinAC

4sin3sin(

．5、函數(shù)fxsinx

的最小正周期是，調減區(qū)間是______．【答案】

、

[

78

(

)【解析】

f(x)

sin(22

，故最小正周期為，調遞減區(qū)間為

3[(Z

)．6、設

xx

，若對任意實數(shù)都有f實數(shù)a的值范圍是．【答案】

a【解析】

f()

sin3xcos32sin(3

得

f(x

故

a

．7、設f(x)

=

x

，其中a,R，f(x()

對一切則x恒成，則

11Ⅰ(

)

；Ⅰ

f＜f)

；Ⅰ

f(x)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)Ⅰ

f)

的單調遞增區(qū)間是

k63

；Ⅰ經點(a)

的直線與函數(shù)f()

的圖像不相交以上結論正確的是【答案】ⅠⅠ

(寫出所有正確結論的編．【解析】

)sincos2xa2x

（其中

因此對一切

x

，f()f()|恒立以sin(()(xa2)3

．1111而()2)

，所以Ⅰ；|f(

717sin|sin，|f()|asin5

，所以f(

7f)|5

，故Ⅰ；Ⅰ正確；Ⅰ：由函數(shù)f)

2

2

x)

和f()a2sin(2x)

的圖（圖略可知不存在經過點()

的直線與函數(shù)x

的圖象不相交，故Ⅰ．8、設常數(shù)

，函數(shù)fxasin2

2

x

．(1)若fx

為偶函數(shù)，求

的值；(2)若f()

，求方程

f(x)2

在區(qū)【解析】f(x)

為偶函數(shù)，則對任意xR，有(x)f()

；即

asin2cos2xsin2())

簡

asin2

對任意

xR

成立

a

；(2)

f()sin(2)2cos2()，以a3，44故

f(x

2xx

．則方程

f(x

，即

32x

，

所以

3sinx

x

，化簡即為

，即

x)

5，解得x24

，k

若求該方程在[

上有解，則k

],]

，即k或；

或1，對應的x的分別為：

、、．9、設函數(shù)(x

，中0已知f()26

．（Ⅰ

；（Ⅰ函yf)

的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2（縱坐標不變將得到的圖象向左平移

個單位，得到函數(shù)ygx

的圖象，求gx)[

3]4

上的最小值．【解析Ⅰ因為f(x

2

，所以

f(

1331cossincos3(sin22

))因為f()

，所以

，

k

，故

，

k

，又

0

，所以

．（Ⅰ（Ⅰ(x)sin(2

，所以()3sin(x

)3x)3

．因為

x[

]

，所以

x]33

，當

12

，即

x

時，()

取得最小值

．x10、知函數(shù)()sincos2sin．22(Ⅰ)求f()的最小正周期；(Ⅰ)求fx)在間[上的最小值．

【解析Ⅰ因為fx

2sin(1cos2

2sin(x2

，所以f()

的最小正周期為．（Ⅰ為

，所以

3．，即4442

34

時，f()

取得最小值．所以(x)

在區(qū)間

f(

．、設向量a

sinx（I）若|a

，求x的；（II）函數(shù)f(求()

的最大值．【解析由

2

3x)

2

x

2

2

x

，b(cos)2x)，a得4sin

x

，又x[0,

],從

，所以x

.（）(x)

x