高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程橢圓【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

橢圓同步檢測(cè)一、選擇題1.已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為（）A..B.C.D.QUOTEsinα=±12答案：A解析：解答：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以由題意可得：，所以橢圓的方程為.分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．2D.9答案：C解析：解答：由題意可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.3.若橢圓的短軸為，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：設(shè)，因?yàn)槭堑冗吶切危?，即a=2b，∴，有，故選C分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行計(jì)算即可.4.橢圓上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于1，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A．1B．3C．D．答案：D解析：解答：根據(jù)橢圓的定義，，∴，故選D．分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.5.方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A．B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）答案：D解析：解答：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的性質(zhì)可知即,答案選D.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是橢圓的定義進(jìn)行分析即可.6.已知橢圓,是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).若,則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：，即，兩邊同除以，得（舍負(fù)），故選B．分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)進(jìn)行列示計(jì)算即可.7.已知橢圓的中心為，右焦點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，則的最大值為（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：由題可得分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.8.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為（）．A.B.C.D.答案：B解析：解答：由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)樗?，即，所以解得（舍去），答案為B分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)結(jié)合所給條件進(jìn)行計(jì)算即可.9.已知橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.答案：A解析：解答：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴B也在橢圓上設(shè)左焦點(diǎn)為F′根據(jù)橢圓定義：又∵∴①是的斜邊中點(diǎn)，∴又②③②③代入①∴即∴,所以.分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)結(jié)合所給條件計(jì)算即可.10.從一塊短軸長(zhǎng)為的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：B解析：解答：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜），則橢圓的內(nèi)接矩形長(zhǎng)為2acosθ，寬為2bsinθ，內(nèi)接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴，即e∈，故選B.分析：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的有關(guān)性質(zhì)分析計(jì)算即可.11.若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由直線，可得代入得：設(shè)的坐標(biāo)為，則有：，∴M的坐標(biāo)為：，∴OM的斜率，故選B．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行分析計(jì)算即可.12.橢圓上的點(diǎn)到直線2x－y＝7距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（－，）B．（，－）C．（－，）D．（，－）答案：B解析：解答：設(shè)和橢圓相切且和直線平行的直線為，聯(lián)立橢圓方程得，因?yàn)橹本€和橢圓相切，所以，由圖可知，直線為，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)就是所求點(diǎn)，故選B.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與圓錐曲線的關(guān)系進(jìn)行分析計(jì)算即可.13.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．1答案：B解析：解答：設(shè)點(diǎn)，所以，由此可得，，所以分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)滿足的關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.14.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，是此橢圓上的一點(diǎn)，且，，則該橢圓的方程是()A.B．C．D．答案：A解析：解答：設(shè)橢圓的方程為：，由題意可得：，又因?yàn)?，，所以，即，所以，即，所以橢圓的方程為：．分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件結(jié)合橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)計(jì)算即可.15.已知橢圓C：，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則（）A．4B．8C．12D．16答案：B解析：解答：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，由題意可知，，分別為，的中位線，∴．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)直線與橢圓的關(guān)系計(jì)算即可.二、填空題16.過(guò)點(diǎn)作一直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為弦的中點(diǎn)，則所在直線的方程為．答案：解析：解答：設(shè)，分別代入橢圓的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因?yàn)辄c(diǎn)是弦的中點(diǎn)，∴，∴=，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（1,1），所以直線的方程為，即.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所給點(diǎn)A,B,結(jié)合點(diǎn)與橢圓關(guān)系列式計(jì)算即可.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為.答案：15解析：解答：設(shè)，由，得，，研究點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值，僅考慮，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所求點(diǎn)滿足的關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.18.若方程表示橢圓，則的取值范圍是______________.答案：(1,2)∪(2,3)解析：解答：因?yàn)椋匠瘫硎緳E圓，所以，，解得，的取值范圍是(1,2)∪(2,3)分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)分析計(jì)算即可.19.橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且線段的中點(diǎn)恰好在軸上，，則.答案：7解析：解答：易知，原點(diǎn)也是的中點(diǎn)，所以平行于軸，因?yàn)?，所?設(shè)，根據(jù)橢圓定義可知，所以，解得，所以,故,所以7.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓定義列式計(jì)算即可.20.設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，4），則的最大值為_(kāi)_________.答案：15解析：解答：，此時(shí)點(diǎn)P為直線與橢圓的交點(diǎn)，故填15分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)分析計(jì)算即可.三、解答題21.已知橢圓C的焦點(diǎn)F1（－，0）和F2（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)6。(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：解：由F1（－，0）和F2（，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6得：c=2，a=3，所以b=1。所以橢圓方程為。(2)設(shè)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)答案：解：設(shè)A()B(),由（1）可知橢圓方程為，與直線AB的方程y=x+2聯(lián)立化簡(jiǎn)并整理得10x2+36x+27=0，∴x1+x2=，，。所以AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓性質(zhì)結(jié)合直線與橢圓的關(guān)系列式計(jì)算即可.22.已知橢圓C：的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.（1）求橢圓方程；答案：解：依題意得：，橢圓方程為（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，求的取值范圍.答案：解：設(shè)，，則---（*）點(diǎn)滿足，代入（*）式，得：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得：的取值范圍為解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓錐曲線的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓定義得到橢圓方程；根據(jù)所給點(diǎn)滿足關(guān)系結(jié)合平面向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.23.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)其離心率為.（1）求橢圓的方程；答案：解：由已知，所以,①又點(diǎn)在橢圓上，所以，②由①②解之得,故橢圓的方程為（2）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn).求到直線距離的最小值.答案：解：當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)時(shí)，則由消去得，，③設(shè)則，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，從而，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式，又點(diǎn)到直線的距離為：，并且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)一定在軸上，從而點(diǎn)為，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為1，所以點(diǎn)到直線的距離最小值為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓錐曲線的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是（1）由離心率為，得①，又過(guò)點(diǎn)，得②，聯(lián)立①②求；(2)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，普通會(huì)根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理列式確定參數(shù)的值或者取值范圍，設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，消去，得關(guān)于的二次方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，，因?yàn)樵跈E圓上，代入橢圓方程，得的等式①，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立①得關(guān)于，或的函數(shù)，進(jìn)而求其最小值，再考慮斜率不存在時(shí)的情況，求最小值，然后和斜率存在時(shí)候的最小值比較大小，得結(jié)論.24.已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；答案：解：由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1，又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；答案：解：設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由得由點(diǎn)P在橢圓上,得，∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是解析：分析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)計(jì)算即可得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求得動(dòng)點(diǎn)軌跡.25.已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn),右準(zhǔn)線且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；答案：解：由題意，，，，，由得.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，試探究在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若