矩陣的相似及應(yīng)用

第二章矩陣的相似及應(yīng)用2.1矩陣對(duì)角化2.2－矩陣和初等因子2.3標(biāo)準(zhǔn)形2.4廣義特征向量2.1矩陣對(duì)角化

2.1.1特征值與特征向量

假如是線性空間中的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)基，如果在下的矩陣是對(duì)角形，那么應(yīng)具備什么樣的性質(zhì)呢？即使T滿(mǎn)足

(2.1.1)將式(2.1.1)寫(xiě)成向量的形式，其中，基S中每一個(gè)向量在變換下滿(mǎn)足：定義2.1.1

是線性空間中的向量，如果對(duì)于線性變換滿(mǎn)足

(2.1.2)稱(chēng)是的特征值，是線性變換屬于的特征向量。從幾何角度看，當(dāng)且為實(shí)數(shù)時(shí)，特征向量的方向經(jīng)線性變換后保持不變。當(dāng)時(shí)，與保持同指向，當(dāng)時(shí)，與指向相反。既然把一組線性無(wú)關(guān)的特征向量作為基表示的矩陣形式這樣簡(jiǎn)單，是否可以找到這樣一組特征向量和如何尋找這樣一組特殊的向量就是我們下面要做的工作.（1）特征向量的求法

在中，設(shè)是的任意一個(gè)基，是中的線性變換,在下的矩陣是矩陣。如果是中的一個(gè)屬于特征值的特征向量，就有并且因?yàn)?/p>

那么

由特征向量定義，以上二式可以寫(xiě)成

（2.1.3）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)基，是線性無(wú)關(guān)向量組，（2.1.3）成立可以等價(jià)于(2.1.4)其中是特征向量在基下的坐標(biāo)，因?yàn)?所以是非零向量,方程組（2.1.4）有非零解的充分必要條件定義2.1.2

稱(chēng)為矩陣的特征矩陣，其行列式稱(chēng)為的特征多項(xiàng)式，稱(chēng)為的特征方程，其根稱(chēng)為的特征值（特征根）。下面，我們來(lái)分析中線性變換與取定基下的矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系。

是一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式，如果是線性變換的特征值，那么必是矩陣的特征多項(xiàng)式的一個(gè)根；反之，如果是矩陣在數(shù)域中的一個(gè)特征根，即，那么，向量滿(mǎn)足(2.1.2)式，,表明是屬于的特征向量，所以只要求出在基下矩陣的特征值和特征向量就行了.換言之，的特征值與的特征值一致，而的特征向量在的基下的坐標(biāo)與的特征向量一致。因此，線性變換的特征值與特征向量計(jì)算步驟如下：(1)取定上線性空間中的一個(gè)基，寫(xiě)出線性變換在下的矩陣(2)計(jì)算的特征多項(xiàng)式全部根，它們也是的全部特征值；；(3)把求得的特征根逐一代入方程組(2.1.4)解出屬于每個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量;（4）以的屬于每個(gè)特征值的特征向量為中取定基的坐標(biāo)，就得到的特征向量.如果是對(duì)應(yīng)的特征向量，則也是對(duì)應(yīng)的的特征向量，其中，即若，就有這說(shuō)明特征向量不是由唯一決定的。但是，特征值卻被特征向量唯一決定，因此每一個(gè)特征向量只屬于一個(gè)特征值。例2.1.1（2）矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)對(duì)于線性空間的線性變換的任一特征值,的屬于的全體特征向量，再添加上零向量構(gòu)成的集合（2.1.5）是的一個(gè)線性子空間.

事實(shí)上，設(shè)則有

于是

說(shuō)明均屬于定義2.1.3

設(shè)是線性空間的線性變換，是的一個(gè)特征值，稱(chēng)的子空間是的屬于的特征子空間,

的維數(shù)是屬于的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)。下面來(lái)分析矩陣的特征多項(xiàng)式.是線性空間中的線性變換,在中的一個(gè)基下的矩陣是根據(jù)行列式展開(kāi)原理，的系數(shù)有性質(zhì)：

定義2.1.4

稱(chēng)是矩陣A的跡，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，(2.1.6)式有n個(gè)根（含重根）,即顯然定義2.1.5

是線性空間中線性變換,,;稱(chēng)為的譜;稱(chēng)為的譜半徑。定理2.1.1

線性變換T

的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。定理2.1.2

若是線性變換的r重特征值，則2.1.2矩陣對(duì)角化2.1.2.1矩陣的相似關(guān)系定義2.1.6令是的矩陣,是非奇異矩陣,如果他們之間存在關(guān)系則稱(chēng)與矩陣是相似矩陣,記為;矩陣的相似關(guān)系，滿(mǎn)足以下性質(zhì):

(1)，這是因?yàn)?(2)若，則；如果，那么存在，使得令，可以得到，所以

.⑶若,則,是

n×n

矩陣這是因?yàn)榇嬖?，使得?/p>

.令，就有

定理2.1.3

線性空間中的線性變換在不同基下的矩陣相似.定理2.1.4

若與矩陣是相似矩陣,那么它們有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值.2.1.2.2矩陣對(duì)角化

如果是矩陣,其中是對(duì)角形矩陣,即，其中可能有重根;是非奇異矩陣，并且則稱(chēng)是可對(duì)角化的,如果是線性空間中線的變換在基下的矩陣,也稱(chēng)是可對(duì)角化的。(2.1.12)是否每一個(gè)矩陣都可以對(duì)角化？將(2.1.12)式寫(xiě)成矩陣形式

令就有(2.1.13)顯然對(duì)矩陣的每一個(gè)列向量滿(mǎn)足是矩陣屬于特征值的特征向量。

在例2.1.1中,是線性變換在基下對(duì)應(yīng)矩陣的3個(gè)特征向量,從而是的特征向量的坐標(biāo).于是就是由基到基的過(guò)渡矩陣，即線性變換是可對(duì)角化的.定理2.1.5

如果階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，矩陣與對(duì)角矩陣相似。推論1

如果階矩陣有個(gè)互異的特征值，矩陣與對(duì)角矩陣相似。2.1.3分解引理2.1.1

若元復(fù)向量，的范數(shù)，則一定存在一個(gè)酉矩陣，使得是它的第1列量。

定理2.1.6

（Schur定理)設(shè)為階方陣，是的特征值，不論它們是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，總存在相似酉矩陣，使得，其中為上三角矩陣，對(duì)角線上的元素是.

推論1

如果是矩陣，則存在酉矩陣，使得

推論2

如果是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣，使得2.2-矩陣和初等因子

引入-矩陣其中是數(shù)域上純量的多項(xiàng)式。例如矩陣的特征矩陣

就是一個(gè)-矩陣2.2.1-矩陣的初等變換和

Smith

標(biāo)準(zhǔn)形定義2.2.1-矩陣中不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱(chēng)為-矩陣的秩，記為，即.例2.2.1定義2.2.2

關(guān)于-矩陣的三種初等變換：⑴兩行(列)互換位置；⑵某行(列)乘不等于零的數(shù)；⑶

用

的多項(xiàng)式乘某行(列)并加到另一行(列)上。三種初等變換對(duì)應(yīng)三個(gè)初等矩陣，，并且，施于行變換時(shí)，相當(dāng)左乘相應(yīng)初等矩陣，施于列變換時(shí)，相當(dāng)右乘相應(yīng)初等矩陣，可以證明初等變換不改變-矩陣的秩。初等矩陣都是可逆矩陣，并且有定義2.2.3

若-矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換，化成-矩陣，則稱(chēng)與等價(jià)。記為：等價(jià)是-矩陣的一種關(guān)系，這種關(guān)系，顯然具有下面三個(gè)性質(zhì)：（1）反身性：每一個(gè)-矩陣與自己等價(jià)。（2）對(duì)稱(chēng)性：若與等價(jià)，則與等價(jià)，這是因?yàn)槌醯茸儞Q具有可逆性。（3）傳遞性：若與等價(jià)，與等價(jià),則與等價(jià)。

應(yīng)用初等變換和初等矩陣的關(guān)系，即得矩陣與等價(jià)的充分必要條件是存在一系列初等矩陣，使

引理2.1.1

設(shè)-矩陣的左上角元素，并且中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，則一定可以找到一個(gè)與矩陣等價(jià)的矩陣，它的左上角元素也不為零但是次數(shù)比低。

定理2.2.1

任意一個(gè)非零的的矩陣都等價(jià)于一個(gè)對(duì)角形矩陣

(2.2.3)其中，是首1的多項(xiàng)式，式(2.2.3)稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)形.例2.2.22.2.2行列式因子和初等因子2.2.2.1行列式因子和

Smith

標(biāo)準(zhǔn)形定義矩陣的秩是,表示的k

階子式的最大公因式，稱(chēng)是的k

階行列式因子.定理2.2.2

等價(jià)矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子.

例（2.2.3）2.2.2.2矩陣的初等因子復(fù)數(shù)域上，可將不變因子分解成一次因子之積

在式（2.2.5）中互異(2.2.5)…因?yàn)椋?在式(2.2.5)中所有指數(shù)大于零的因子都稱(chēng)為的初等因子.要注意,在計(jì)算初等因子個(gè)數(shù)時(shí),重復(fù)的初等因子按重?cái)?shù)計(jì)算,全部初等因子稱(chēng)為的初等因子組;其中稱(chēng)為與相當(dāng)?shù)某醯纫蜃咏M.定理2.2.3

與是矩陣，則的充要條件是它們有相同的秩與相同的初等因子組.例2.2.4例2.2.5求矩陣的初等因子，不變因子和標(biāo)準(zhǔn)形。解：的行列式因子是

不變因子

初等因子

行列式因子

不變因子：

1，初等因子：的初等因子：的標(biāo)準(zhǔn)形是：

2.3標(biāo)準(zhǔn)形

形如：

(2.3.1)的方陣稱(chēng)為塊，其中是復(fù)數(shù)，次對(duì)角線元素是

1。例2.3.1；例2.3.22.3.1形的標(biāo)準(zhǔn)形塊的特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)形是：由上面的計(jì)算過(guò)程可以知道，每一個(gè)塊的特征矩陣僅有一個(gè)初等因子，這個(gè)初等因子的冪指數(shù)與塊的階數(shù)相同。根據(jù)定理2.2.2對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形

的特征矩陣的初等因子就是每一個(gè)

塊的初等因子的總和。即是假設(shè)是矩陣，就有。例2.3.32.3.2矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理2.3.1

矩陣與

n階

標(biāo)準(zhǔn)形相似的充分必要條件是

與的特征矩陣等價(jià)，即定理2.3.2

每個(gè)n階復(fù)矩陣都與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形相似，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)其中塊的排列順序時(shí)，完全由矩陣唯一決定，即每一個(gè)矩陣都與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形相似。將一個(gè)矩陣化成與相似的標(biāo)準(zhǔn)形，其步驟是：⑴寫(xiě)出的特征矩陣；⑵求出的全部初等因子；⑶寫(xiě)出每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的塊；⑷寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形。例2.3.4推論1

方陣可以對(duì)角化的充分條件是矩陣的特征矩陣的初等因子的冪都是一次的。2.3.3廣義特征向量定理2.3.1已介紹了，那么當(dāng)我們利用矩陣的特征矩陣的初等因子將化成標(biāo)準(zhǔn)形以后，怎樣尋找使得

的非奇異矩陣呢？先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子開(kāi)始，給出一般計(jì)算的方法假如就有（2.3.4）顯然,是矩陣屬于特征值的特