8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義

8.4空間點、線、平之間的置關(guān)系知梳、平面的概念（1平面的定義幾何里所說的“平面”是從課桌面、黑板面、海洋這樣一些物體中抽象出來的．但是，幾何里平面是無限延展的．平面的兩個特點：①平；②無限延展性．點評：（2平面的畫法．①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形；②它的銳角通常畫成45°；③橫邊長等于其鄰邊長的．如果一個平面被另一個平面遮住，為增強立體感，把擋住的部分用虛線畫出如圖所示．（3平面的表示．下圖所示的平面可表示為：①平面ABCD②平面AC③平面、空間點、直線、平面的位置關(guān)系及三種語言的轉(zhuǎn)化文字語言表達點在線l上點在線l外

數(shù)學(xué)符號語言A∈lAl

圖形表示

點A在面內(nèi)

A∈點A在面外

Aα直線l在面α內(nèi)

lα直線l在面α外

lα直線l，相于點A

＝A平面，β相于直線l

∩＝l、平面的基本性質(zhì)公理公理公理

內(nèi)容如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面

圖形

符號A∈l∈，B∈lαA，C三點不共線存唯一的平面α，AB，C∈公理

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

Pα且Pβα∩＝l∈l

111111111、空111111111①從否有公共點的角度來分：②從否共面的角度來分：、異面直線（1定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．（2畫法：圖形表示為如圖所(通常用一個或兩個平面)．、平行公理公理4)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．這一性質(zhì)叫做空間平行的傳遞性．符號表述：、等角定理

∥b∥

∥c空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．如圖，∥A，∥B，于∠BC兩個角的方向相同，這兩個角相等；對于∠C兩個角的方向不同，這兩個角互補，即＋∠B＝、直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系

直線a在平面

直線在平面α外直線a與面交直與面行公共點符號

有無數(shù)個公共點a?

有且只有一個公共點∩

無公共點aα

表示圖形表示、兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

圖示

表示法αβαβ

公共點個數(shù)有無數(shù)個(在一條直線上)知識典例題型一平面例

如圖，四棱錐PABCD，AC

，M是的點，直線AM交面PBD于N，下列結(jié)論正確的是（）A

,N,

四點不共面

B．

M,

四點共面C．

ONM

三點共線

D．

,,O

三點共線【答案】D【分析】根據(jù)公理一、二、三逐一排除即可．【詳解】直線AC與直線交于點，所以平面PCA與面PBD交點，所以必相交于直線，直線AM平面PAC內(nèi)，點NAM故NPAC，，NPM

四點共面，所以A錯．點

若與N共，則直線BD在面PAC內(nèi)與題目矛盾，故B錯．

M

為中點，所以

OM/

，

ONPA

，故

ONOM

，故C．故選．鞏練下列說法正確的______.①平面的厚度是

；②經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面；③兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面；④經(jīng)過三點確定一個平面.【答案】③【分析】根據(jù)歐式幾何四個公理，對四個說法逐一判斷是否正.【詳解】對于①，由于平面是可以無限延伸的，故①說法錯.于②，這個必須在直線外，故②判斷錯對于③，由于三個交點各不相同，根據(jù)公理2可，③說法正.對于④，這三個點必須不在同一條直線上，故④斷錯.故本小題答案為：題型二異面線例

若a，b是異面直線b，c是異面直線，則ac的置關(guān)系為()A相交、平行或異面C．面

B．交或平行D．行異面【答案】A【分析】ac【詳解】因為a，

b

是異面直線，

b

，是面直線，則，位置關(guān)如下圖所示，滿足題意的條件，圖①中a，c相，圖②中a，c行，圖③中a，c是面直線.

故選：A鞏練在正方體

BD中BD與C是）11A相交直線C．面直線

B．行直線D．交垂直的直線【答案】C【分析】根據(jù)異面直線的概念可判斷出與B異面直.1【詳解】由圖形可知，故選：C.

與C1

不同在任何一個平面，這兩條直線為異面直.題型三三點線例3

如下圖E，，G，H分是空間四邊形ABCD的邊AB，，DA上點，且直線EH與線FG于點.求證：B，，O三共線．

證明要證三點共線，只需確定點在另兩點確定的直線上即可．∵E∈，H∈AD，∴E∈平面ABD，∈平面，∴平面，∵EH∩FGO∴O∈平面同理O平面，即∈平面ABD平面BCD.又∵平∩面＝BD∴O，即B，D，O三共線．鞏練在四面體

ABCD

中EH分是線段AD的中點F

分別是線段

CD

上的點

CFCGBFDG

證：（1）四邊形

是梯形；（2），EF，GH三直線相交于同一點．【答案】（1）見證明；（2）證明【分析】（1）連結(jié)BD推導(dǎo)出∥且EH

，由此能證明四邊形

EFGH

是梯形．（2）設(shè)

HGK

，則，KACD，由平面ABC

平面ACDAC，KAC，此能證明AC，EF，條直線相交于同一點．【詳解】證明：（1）連結(jié)BD，∵E，H分是邊AB，的點，

∴EH∥BD，且EHBD，CFCG1又∵，CBCD3∴∥BD且

BD

，因此EH且EHFG

，故四邊形

是梯形．（2）由（），HG相交，設(shè)EFHGK

，∵KEF

，EF平面

，∴K

，同理K

ACD

，又平面

平面

ACDAC

，∴

K

，故EF和的點在直線上所以EF，GH三直線相交于同一點．題型四點線位置關(guān)系例

已知直線l，與面α，，，mβ，下列命題中正確的是（

）A若l∥，則必有∥C．l⊥β，則必有α⊥

B．l⊥，必有α⊥D．⊥，必有⊥【答案】C【分析】對各選項舉出反例或者根據(jù)判定定理進行判斷即可【詳解】解：對于選項A，面α和面還可能相交，以選項A錯；對于選項B，平面α和面β還可能相交或平行，所以選項錯誤；

對于選項，為lα，l⊥，合面面垂直的判定定理，所以⊥，以選項確；對于選項D，直線m可和平面α不直，所以選項D錯誤．故選：．鞏練下列四個命題中正確的是（）①如一條直線不在某個平面內(nèi)，那么這條直線就與這個平面平行；②過線外一點有無數(shù)個平面與這條直線平行；③過面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行；④過間一點必存在某個平面與兩條異面直線都平行．A①④

B②③

C．②③

D．②④【答案】B【分析】①可由空間中直線與平面的位置關(guān)系判斷；②③由直線與平面平行的性質(zhì)判斷；④可用排查法判斷．【詳解】空間中直線與平面的位置關(guān)系有相交，平行與直線在平面內(nèi)①錯誤，直線還可能與平面相交②正確③正確因為平面外一點有無條直線與這個平面平行，且這無數(shù)條直線都在與這個平面平行的平面內(nèi)．④不一定正確,當(dāng)點在其中一條線上時，不存在平面與兩條異面直線都平.故選B.鞏提1、已知，是個相交平面，其中l(wèi)，則（）Aβ內(nèi)定能找到與lB．內(nèi)一定能找到與l

平行的直線垂直的直線C．β有一條直線與l

平行，則該直線與α平行

D．β內(nèi)有無數(shù)條直線與l【答案】B【分析】

垂直，則β與垂當(dāng)l

與β的線交時內(nèi)能找到與l

平行的直線由直線與平面的位關(guān)系知β內(nèi)定能找到與l

垂直的直線；β內(nèi)一條直線與l

平行，則該直線與α平或該直在α內(nèi)；內(nèi)有無數(shù)條直線與l

垂直，則β與α不定垂.【詳解】由α，是個交平面，其中l(wèi)，知：在，當(dāng)l

與α，的線相交時，內(nèi)能找到與l

平行的直線，故錯；在，由直線與平面的位置關(guān)系知β內(nèi)定能找到與l

垂直的直線，故正；在C中，內(nèi)一條直線與l

平行，則該直線與α平或該直在內(nèi)故錯誤；在中，有無數(shù)條直線與l

垂直，則β與α不定垂直，故D錯．故選：B．2、下列說法中正確的是()A過一點有且只有一條直線與已知直線平行B過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．平面外一點有且只有一條直線與該平面平行D．平外一點有且只有一個平面與該平面平行【答案】D【分析】根據(jù)空間點、線、面間的位置關(guān)系進行判斷，即可得出結(jié)【詳解】解：對于A，當(dāng)點在已知直線上時，不存在過該點的直線與已知直線平行，故A錯對于，于垂直包括相交垂直和異面垂直，因而過一點與已知直線垂直的直線有無數(shù)條故B錯；對于C，過面外一點與已知平面平行的直線有無數(shù)條，如過正方體的上底面的中心任意作一條直線（此直線在上底面內(nèi)），此直線均與下底面平行，故C錯對于，平面外一點與已知平面平行的平面有且只有一個，故D對故選：3、若直線不平行于平面且，下列結(jié)論成立的是)A平面內(nèi)所有直線與a異B平面內(nèi)存在與行的直線C．面內(nèi)在唯一的直線與平D．面內(nèi)直線與a都交

【答案】B【分析】由題意知直線與平面相，依次判斷選項即.【詳解】解由件知直線與面相，則平面內(nèi)直線與a可相交，也可能異.故選:

不可能平行4、如圖在三棱柱

ABC1

中，下列直線與成異面直線的是（）1A

1

BCC

C．

B1

D．【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系判斷出各選項中的直線與直線AA的位置關(guān)系，可得出結(jié)1【詳解】由在三棱柱

AB中，，CC//AA，C與AA異面，11111

AB

故選：C.5、經(jīng)過平面外一點和平面一點與平面垂的平面(A1個

B．2個

C．?dāng)?shù)個

D．個或無數(shù)個【答案】D【分析】討論平面外點和平面內(nèi)點連線，與平面垂和不垂直兩種情【詳解】（1設(shè)平面

ABCD

為平面，A為面外點，點

為平面內(nèi)點，

a,a,此時，直線

1

垂直底面，過直線

1

的平面有無數(shù)多個與底面垂直；（2設(shè)平面

為平面，B為平面外一點，點為平面內(nèi)點，此時，直線AB與底面不垂直，過直線的平面，只有平面1點與平面垂的平面有1個無數(shù)個，故選D.

11

垂直底.綜上，過平面外一和平面內(nèi)6、若平面和線a，b滿

A，b，與b的位置關(guān)系一定是（）A相交

B平行

C．面

D．交異面【答案】D【分析】當(dāng)

Ab

時與

b

相交，當(dāng)

Ab

時a與

b

異面【詳解】當(dāng)時與相，當(dāng)A時與b異.故答案為D7、下列說法正確的是（）A不共面的四點中，其中任意三點不共線B若點，B，CD共，點，BC，面，則A，B，，E共C．直線

，

b

共面，直線

，c共面，則直線

b

，c共D．次尾相接的四條線段必共面【答案】A【分析】利用反證法可知A正確線直線

異面時A,B,,

不共面除C中,可異面直線除C中條線段可構(gòu)成空間四邊形，排除D.【詳解】A選項：若任意三點共線，則由該線與第四個點可構(gòu)成一個平面，則與四點不共面矛盾，則任三點不共線，A確；選：若

BC

三點共線，直線直線異，此時

B,,E

不共面，B錯；

選項：

a,b

共面，共面，此時

b,c

可為異面直線，

錯誤；

選：依次首尾相接的四條線段可構(gòu)成空間四邊形，D誤本題正確選項：8、已知m是兩不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的()A若αβ,m

α,n

β，mn

B．⊥，

α,則⊥βC．⊥則m

D．α∥，，則mβ【答案】D【分析】Amn與nD

//

【詳解】mA

/

m與A

與

mnn

D

/

m

/

DD9、設(shè)，是兩條不同的線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①如果//b//，那么/b

；②如果

/

a，，那么/b

；③如果a，么//

；④如果，a，么其中正確命題的序號是（）A①

B②

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的定義、性質(zhì)進行判.【詳解】①如果//b//，則,b可相交、平行或異面，故錯誤；

②如果

/，

，則

a,b

沒有公共點，所以

a,b

可以平行或異面，故錯誤；③如果a，/

，故正確；④如果，不妨

，