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學業(yè)分層測評(十三)等比數(shù)列的性質(zhì)(建議用時:45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.等比數(shù)列{an}的公比q=-eq\f(1,4),a1=eq\r(2),則數(shù)列{an}是()A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.常數(shù)數(shù)列 D.擺動數(shù)列【解析】因為等比數(shù)列{an}的公比為q=-eq\f(1,4),a1=eq\r(2),故a2<0,a3>0,…所以數(shù)列{an}是擺動數(shù)列.【答案】D2.(2023·重慶高考)對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是()A.a(chǎn)1,a3,a9成等比數(shù)列B.a(chǎn)2,a3,a6成等比數(shù)列C.a(chǎn)2,a4,a8成等比數(shù)列D.a(chǎn)3,a6,a9成等比數(shù)列【解析】設等比數(shù)列的公比為q,因為eq\f(a6,a3)=eq\f(a9,a6)=q3,即aeq\o\al(2,6)=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.故選D.【答案】D3.在等比數(shù)列{an}中,a3a4a5=3,a6a7aA.48 B.72C.144 【解析】∵eq\f(a6a7a8,a3a4a5)=q9=8(q為公比),∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.【答案】D4.在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù),使三數(shù)成等差數(shù)列,若中間項減去6,則成等比數(shù)列,則此未知數(shù)是()A.3 B.27C.3或27 或27【解析】設此三數(shù)為3,a,b,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a=3+b,,a-62=3b,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=15,,b=27.))所以這個未知數(shù)為3或27.【答案】C5.已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù),且a1,eq\f(1,2)a3,a2成等差數(shù)列,則eq\f(a3+a4,a4+a5)等于()\f(\r(5)+1,2) \f(\r(5)-1,2)\f(1-\r(5),2) \f(\r(5)+1,2)或eq\f(\r(5)-1,2)【解析】由題意,得a3=a1+a2,即a1q2=a1+a1q,∴q2=1+q,解得q=eq\f(1±\r(5),2).又∵{an}各項均為正數(shù),∴q>0,即q=eq\f(1+\r(5),2).∴eq\f(a3+a4,a4+a5)=eq\f(a1q2+a1q3,a1q3+a1q4)=eq\f(1,q)=eq\f(\r(5)-1,2).【答案】B二、填空題6.(2023·青島高二檢測)在等比數(shù)列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,則【解析】因為a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因為a3=16=24,所以a8=29=512.因為a8=a3·q5,所以q=2.所以a7=eq\f(a8,q)=256.【答案】2567.在右列表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每縱列成等比數(shù)列,則x+y+z的值為________.【解析】∵eq\f(x,2)=eq\f(2,4),∴x=1.∵第一行中的數(shù)成等差數(shù)列,首項為2,公差為1,故后兩格中數(shù)字分別為5,6.同理,第二行后兩格中數(shù)字分別為,3.∴y=5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,z=6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4.∴x+y+z=1+5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3+6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4=eq\f(32,16)=2.【答案】28.某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍,那么該單位此年的月平均增長率是________.【解析】由題意可知,這一年中的每一個月的產(chǎn)值成等比數(shù)列,求月平均增長率只需利用eq\f(a12,a1)=m,所以月平均增長率為eq\r(11,m)-1.【答案】eq\r(11,m)-1三、解答題9.在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數(shù)列{an}的首項、公比.【【解】設該數(shù)列的公比為q.由已知,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q-a1=2,,4a1q=3a1+a1q2,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q-1=2,,q2-4q+3=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=1,,q=3.))(q=1舍去)故首項a1=1,公比q=3.10.(2023·福建高考改編)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個不同的零點,且a,b,-2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列,也可適當排序后成等比數(shù)列,求p+q的值.【解】不妨設a>b,由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b=p>0,,ab=q>0,))∴a>0,b>0,則a,-2,b成等比數(shù)列,a,b,-2成等差數(shù)列,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab=-22,,a-2=2b,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=1,))∴p=5,q=4,∴p+q=9.[能力提升]1.等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,前n項的積為Tn,若T13=4T9,則a8a15A.±2 B.±4C.2 【解析】∵T13=4T9.∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.∴a10a11a12a13=4.又∵a10·a13=a11·a12=a8·a15,∴(a8·a15)2=4.∴a8a15=±2.又∵{an}為遞減數(shù)列,∴q>0.∴a8a15=2.【答案】C2.公差不為零的等差數(shù)列{an}中,2a3-aeq\o\al(2,7)+2a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8=()A.16 B.14C.4 【解析】∵2a3-aeq\o\al(2,7)+2a11=2(a3+a11)-aeq\o\al(2,7)=4a7-aeq\o\al(2,7)=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=beq\o\al(2,7)=16.【答案】A3.設{an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{-53,-23,19,37,82}中,則6q=________.【解析】由題意知,數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{-53,-23,19,37,82}中,說明{an}有連續(xù)四項在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中連續(xù)四項至少有一項為負,∴q<0.又∵|q|>1,∴{an}的連續(xù)四項為-24,36,-54,81.∴q=eq\f(36,-24)=-eq\f(3,2),∴6q=-9.【答案】-94.在等差數(shù)列{an}中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項.已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比數(shù)列,求數(shù)列{kn}的通項kn.【解】依題設得an=a1+(n-1)d,aeq\o\al(2,2)=a1a4,∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d,∵d≠0,∴d=a1,得an=n
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