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高階微分方程小結(jié)

第十二章2.

理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)；3.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；4.

掌握自由項(xiàng)為的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式．和一基本要求基本概念一階方程

類(lèi)型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.線性方程5.伯努利方程變量代換可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程及其根對(duì)應(yīng)的通解形式f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法二內(nèi)容提要1.可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)

型接連積分n次,得通解．

型解法

型解法2.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(1)

二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):解的疊加(2)

二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):定理3

設(shè)y*是(2)的一個(gè)特解,Y是與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程(1)的通解,是二階非齊次線性微分方程(2)的通解.那么疊加3.二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法

由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為微分方程特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)推廣：

n階常系數(shù)齊次線性方程解法4.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法通解

用待定系數(shù)法求特解設(shè)特解的形式答：選擇C問(wèn)題1三問(wèn)題與思考問(wèn)題2.以為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為答：正確.例1解代入方程，得故方程的通解為四典型題目例2解方程兩邊求導(dǎo)兩邊再求導(dǎo)，得由原方程和(1)式,得初始條件求解初值問(wèn)題例3

試確定以解

從而相應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程為為特解的二階常系數(shù)齊次線性方程.例4解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為設(shè)由解得故原方程的通解為由即例

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