山西省忻州市楊芳學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省忻州市楊芳學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的最小值和最大值分別為（

▲

）A.3，1

B.2，2

C.3，

D.2，參考答案：C略2.已知下列四個(gè)命題：

①底面積和高均相等的柱體體積是錐體體積的3倍：

②正方體的截面是一個(gè)n邊形，則n的是大值是6;

③在棱長為1的正方體中，三棱錐的體積是；

④6條棱均為的四面體的體積是

其中真命題的序號是(A)①②③

(B)①②④

(C)①③④

(D)②③④參考答案：B3.（6）下圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量（單位：臺）的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[20,30）內(nèi)的概率為（A）0.2

（B）0.4（C）0.5

（D）0.6參考答案：B．4.下列函數(shù)中，在其定義域中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)。為非奇非偶函數(shù)。在定義域上是奇函數(shù)，但不單調(diào)。所以選C.5.已知m、n、s、t∈R*，m+n=4，+=9其中m、n是常數(shù)，且s+t的最小值是，滿足條件的點(diǎn)（m，n）是雙曲線﹣=1一弦的中點(diǎn)，則此弦所在直線方程為（）A．x+4y﹣10=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．4x+y﹣10=0 D．4x﹣y﹣6=0參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題設(shè)中所給的條件，求出點(diǎn)（m，n）的坐標(biāo)，由于此點(diǎn)是其所在弦的中點(diǎn)，故可以用點(diǎn)差法求出此弦所在直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．【解答】解：由已知得s+t=（s+t）（+）=（m+n++）≥（m+n+2）=（+）2，由于s+t的最小值是，因此（+）2=，即+=2，又m+n=4，所以m=n=2．設(shè)以點(diǎn)（m，n）為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），則有x1+x2=y1+y2=4．又該兩點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程，兩式相減得=4，即所求直線的斜率是4，所求直線的方程是y﹣2=4（x﹣2），即4x﹣y﹣6=0．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，求解本題的關(guān)鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關(guān)系求出參數(shù)的值，一是利用點(diǎn)差法與中點(diǎn)的性質(zhì)求出弦所在直線的斜率，點(diǎn)差法是知道中點(diǎn)的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點(diǎn)出現(xiàn)，做題時(shí)要善于運(yùn)用．6.斜率為的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】先根據(jù)題意表示出兩個(gè)焦點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩邊乘2a2b2，求得關(guān)于的方程求得e．【解答】解：兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是﹣c，c所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣c，﹣c）（c，c）代入橢圓=1兩邊乘2a2b2則c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故選A【點(diǎn)評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了橢圓方程中a，b和c的關(guān)系．7.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），則的最小值為（）A．3 B． C．5 D．7參考答案：A考點(diǎn)： 基本不等式．

專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： 先判斷a、c是正數(shù)，且ac=4，把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．解答： 解：由題意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，則則≥2×=3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的最小值是3．故選A．點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的值域及基本不等式的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵就是拆項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．8.已知集合A＝{x|x＋1<2}，B＝{x|x2<9}，則A∩B＝A.(1，3)

B.(－∞，1)

C.(－3，3)

D.(－3.1)參考答案：D9.在區(qū)間和內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為（

）A

B

C

D參考答案：B略10.已知△ABC是邊長為2的正三角形,則=（

）A．2 B． C．－2 D．參考答案：C由于△ABC是邊長為2的正三角形，故選C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

設(shè)，則不等式的解集為

參考答案：12.函數(shù)的最大值為______________________。參考答案：.【分析】化簡已知得，再求函數(shù)的最大值.【詳解】，則的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.13.已知向量，的夾角為，且，，，則_____參考答案：-3由已知可設(shè)故可得解得或則或則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，的夾角為，故可得則14.已知點(diǎn)P（1，m）是函數(shù)y=ax+圖象上的點(diǎn)，直線x+y=b是該函數(shù)圖象在P點(diǎn)處的切線，則a+b﹣m=．參考答案：2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：求出函數(shù)y=ax+的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由已知切線，得到a﹣2=﹣1，從而得到m，再由切線過切點(diǎn)，即可得到b，進(jìn)而得到a+b﹣m．解答：解：點(diǎn)P（1，m）是函數(shù)y=ax+圖象上的點(diǎn)，則m=a+2，函數(shù)y=ax+的導(dǎo)數(shù)y′=a﹣，該函數(shù)圖象在P點(diǎn)處的切線斜率為a﹣2，由于直線x+y=b是該函數(shù)圖象在P點(diǎn)處的切線，則有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4，則有a+b﹣m=1+4﹣3=2．故答案為：2．點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值是

.參考答案：略16.設(shè)函數(shù)，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為________.

參考答案：π17.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

（用數(shù)字作答）。參考答案：60三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，.（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線（為參數(shù)，）的最短距離.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）1．19.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，EA⊥平面ABCD，EF//AB，AB=4，AE=EF=2．（1）若G為BC的中點(diǎn)，求證：FG∥平面BDE；（2）求證：AF⊥平面FBC。參考答案：略20.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知＝.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面積S.參考答案：（Ⅰ）由正弦定理，設(shè)＝＝＝k，則＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.（Ⅱ）由＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×.解得a＝1，從而c＝2.又因?yàn)閏osB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，因此S＝acsinB＝×1×2×＝.21.已知⊙C過點(diǎn)P（1，1），且與⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）關(guān)于直線x+y+2=0對稱．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）設(shè)Q為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（Ⅲ）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（a，b），則，解得則圓C的方程為x2+y2=r2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則x2+y2=2，=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，∴（θ+）=2kπ﹣時(shí)，2sin（θ+）=﹣1，所以的最小值為﹣2﹣2=﹣4．（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得同理，，所以=kOP

，所以，直線AB和OP一定平行略22.已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn)．（I）求證：EF平面PAD；（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大??；

參考答案：方法1：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，∴平面PAD，

∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，∴