結構力學(一)第三版龍馭球球第六章力法

溫度支座一、回顧上節(jié)課內容：多因素下的位移計算一般公式§5-7線性變形體系的互等定理本節(jié)介紹線性變形體系的四個互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三個定理均可由此推導出來。

線彈性結構的互等定理1.功的互等定理:

在線性變形體系中，①狀態(tài)的外力在②狀態(tài)位移上所做虛功，恒等于②狀態(tài)外力在①狀態(tài)位移上所做虛功。N1

M1

Q1N2

M2

Q2F1F2②P1P2①功的互等定理:即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。§5-7線性變形體系的互等定理2)位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1由功的互等定理式（a）則有：即：(a)第一狀態(tài)FP1＝112δ21(b)第二狀態(tài)FP2＝112δ12§5-7

線性變形體系的互等定理位移互等定理:

即第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向上的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向上的位移。在位移互等定理中：單位力——廣義力（單位力偶、單位集中力）；位移——廣義位移（線位移、角位移）?！?-7線性變形體系的互等定理

左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移Δ1＝1時，使支座2產生的反力r21；另一種即為支座2發(fā)生單位位移Δ2＝1時，使支座1產生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個特例。(a)第一狀態(tài)r21Δ1＝112(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12§5-7

線性變形體系的互等定理

左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移Δ1＝1時，使支座2產生的反力r21；另一種即為支座2發(fā)生單位位移Δ2＝1時，使支座1產生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個特例。Δ1＝112(a)第一狀態(tài)r21(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12§5-7

線性變形體系的互等定理根據功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1發(fā)生單位位移所引起支座2的反力，等于支座2發(fā)生單位位移所引起的支座1的反力。(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12(a)第一狀態(tài)r21§5-7線性變形體系的互等定理

注意：該定理對結構上任何兩支座都適用，但應注意反力與位移在作功的關系上應相對應，即力對應線位移；力偶對應角位移。由反力互等定理，則有：

r12=r21即反力偶r12等于反力r21（數值上相等，量綱不同）(a)第一狀態(tài)

r2112φ1＝1(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r1212§5-7線性變形體系的互等定理4)反力位移互等定理這個定理同樣是功的互等定理的一種特殊情況。由兩個狀態(tài)應用功的互等定理，則有∵主功力與反力的功相反∴相差一負號(b)第二狀態(tài)（由φ1=1引起δ21）δ2112φ1＝1（a）第一狀態(tài)（由FP2=1引起r12）FP2＝1r1212§5-7

線性變形體系的互等定理單位載荷引起某支座的反力，等于因該支座發(fā)生單位位移時所引起的單位載荷作用處相應的位移，但符號相反——反力位移互等定理§5-7線性變形體系的互等定理小結二、虛功原理We=Wi力：滿足平衡位移：變形連續(xù)虛設位移虛位移原理（求未知力）虛功方程等價于平衡條件虛力原理（求未知位移）虛功方程等價于位移條件虛設力系三、Δ=剛架、梁桁架支座移動組合結構、拱各項含義正負號的確定虛設廣義單位荷載的方法一、位移標準圖形的面積和形心位置非標準圖形乘直線形的處理方法五、互等定理適用條件內容W12=W21r12=r21四、圖乘法求位移圖乘法求位移的適用條件y0的取法?ò?==DPEIydxEIMM0w2112dd=第6章力法

§6-1超靜定結構的組成和超靜定次數

§6-2力法的基本概念

§6-3超靜定剛架和排架

§6-4超靜定桁架、組合結構

§6-5對稱結構的計算

§6-6、7超靜定拱

§6-8支座移動、溫度變化的計算

§6-9具有彈性支座的計算

§6-10超靜定結構位移的計算§6-11超靜定結構計算的校核

§6-12靜定、超靜定結構特征比較主要內容1）超靜定結構

拱

組合結構§6-1超靜定結構的組成和超靜定次數——由于有多余約束，其反力、內力不能由靜力平衡條件全部確定的結構?！獛缀尾蛔?，有多余約束。2）特征3）超靜定結構的類型

桁架

超靜定梁

剛架（1）超靜定次數——結構多余約束或多余未知力的數目，即為超靜定次數。（2）確定超靜定次數的方法——通過去掉多余約束來確定。（去掉n個多余約束，即為n次超靜定）。（3）去掉（解除）多余約束的方式4）超靜定次數確定

a、去掉或切斷一根鏈桿——去掉1個約束（聯系）；X1

b、去掉一個單鉸——

去掉2個約束；

c、切斷剛性聯系或去掉一個固定端——去掉3個約束；X1X2X1X2X3X1X2X3

d、將剛性連結改為單鉸——去掉1個約束。注意事項（1）對于同一超靜定結構，可以采取不同方式去掉多余約束，而得到不同形式的靜定結構，但去掉多余約束的總個數應相同。（2）去掉多余約束后的體系，必須是幾何不變的體系，因此，某些約束是不能去掉的。X1舉例：X1X2X1X2X1X3X2X4X3X1X2X1X2舉例：X1X2X3X1X2X3每個無鉸封閉框超三次靜定超靜定次數3×封閉框數=3×5=15超靜定次數3×封閉框數－單鉸數目=3×5－5=10舉例：（4）對于復雜結構，可用計算自由度的方法確定超靜定次數①組合結構：n—超靜定次數；m—剛片數；h—單鉸數；r—支座鏈桿數。例：確定圖示結構超靜定次數。

該結構為一次超靜定結構此兩鏈桿任一根都不能去掉此鏈桿不能去掉②桁架結構：n—超靜定次數；j—結點數；b—桿件數；r—支座鏈桿數。例：確定圖示桁架超靜定次數。該結構為二次超靜定結構。③框架結構：

n—超靜定次數；f—封閉框格數；h—單鉸個數。例：確定圖示結構的超靜定次數。

該結構為3次超靜定結構該結構為11次超靜定結構211111課間休息聽段音樂§6-2力法的基本概念1）解題思路——將超靜定問題轉化為靜定問題求解（1）確定超靜定次數——具有一個多余約束，原結構為一次超靜定結構。（2）取基本體系——去掉多余約束（鏈桿B），代之以多余未知力X1。

基本體系X1例：圖示單跨超靜定梁X1—稱為力法的基本未知量。2）解題步驟qABqABl

原結構（3）求基本未知量X1

==+

①建立變形協(xié)調方程

Δ11：由多余未知力X1單獨作用時，基本結構B點沿X1方向產生的位移Δ1P：由荷載q單獨作用時，基本結構B點沿X1方向產生的位移由迭加原理，上式寫成：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

——變形協(xié)調方程?；倔w系與原結構在去掉多余約束處沿多余未知力方向上的位移應一致，即：Δ1＝0§6-2力法的基本概念qABlABX1qqABABX1

=BBX1=+§6-2力法的基本概念由于X1是未知的，△11無法求出，為此令：△11=δ11×X1

δ11——表示X1為單位力時，在B處沿X1方向產生的位移。式：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

可改寫成：

δ11X1＋Δ1P＝0式中δ11、Δ1P被稱為系數和自由項，可用求解靜定結構位移的方法求出。一次超靜定結構的力法方程1×X1AAqBlqqX1ABAδ11X1

②求系數δ11、自由項Δ1P由圖乘法，得：δ11Δ1P——均為靜定結構在已知力作用下的位移，故可由積分法或圖乘法求得。

ABlM1圖作、圖，MMP

MP圖lAB§6-2力法的基本概念

③

將δ11、Δ1P代入力法方程，求得X1由上式，得：

④按靜定結構求解其余反力、內力、繪制內力圖

其中：（與所設方向一致）δ11X1＋Δ1P＝0——迭加原理繪制ABlqM圖§6-2力法的基本概念

3）力法概念小結

解題過程（1）判定超靜定次數，確定基本未知量；（2）取基本體系；（3）建立變形協(xié)調方程（力法方程）；（4）求力法方程系數、自由項（作Mp、M圖）；（5）解力法方程，求基本未知量（X）；（6）由靜定的基本結構求其余反力、內力、位移?！?-2力法的基本概念力法的特點

（1）以多余未知力作為基本未知量，并根據基本結構與原結構變形協(xié)調的位移條件，求解基本未知量；（2）力法的整個計算過程自始至終都是在基本體系上進行的。因此，就是把超靜定結構的計算問題，轉化成了前面已學習過的靜定問題；（3）基本體系與原結構在受力、變形和位移方面完全相同，二者是等價的。（4）基本體系的選取不是唯一的?！?-2力法的基本概念（3）根據變形條件，建立力法方程——二次超靜定結構的力法方程BAqC

基本體系X2X1LLqABC

原結構

4）力法的典型方程——多次超靜定結構討論解：（1）超靜定次數：2次（2）選擇支座B的約束為多余約束，取基本體系如圖所示。例：圖示一超靜定結構?！?-2力法的基本概念

δ11、δ12、Δ1P——、和荷載分別單獨作用于基本體系時，B點沿X1方向產生的位移；X1＝1X2＝1δ11δ21δ12δ21Δ1PΔ2P

δ21、δ22、Δ2P——、和荷載分別單獨作用于基本結構時，B點沿X2方向產生的位移；X1＝1X2＝1荷載作用X2＝1作用X2＝1X1＝1作用X1＝1ACBqCBACBA§6-2力法的基本概念（4）求系數、自由項——上述各系數和自由項均可由上式積分或通過、、圖的圖乘求得。MPM2M1（5）解力法方程，求基本未知量：X1、X2?！?-2力法的基本概念推廣至n次超靜定結構（1）力法方程——力法典型方程

注：對于有支座沉降的情況，右邊相應的項就等于已知位移（沉降量），而不等于零。§6-2力法的基本概念（2）系數（柔度系數）、自由項

主系數δii(i＝1,2,…n)——單位多余未知力單獨作用于基本結構時，所引起的沿其本身方向上的位移，恒為正；Xi＝1

副系數δ

i

j(

i≠j)——單位多余未知力單獨作用于基本結構時，所引起的沿Xi方向的位移，可為正、負或零，且由位移互等定理：

δ

i

j=δ

j

iX

j＝1§6-2力法的基本概念

自由項ΔiP

——荷載FP單獨作用于基本體系時，所引起Xi方向的位移，可正、可負或為零。（3）典型方程的矩陣表示（4）最后彎矩§6-2力法的基本概念§6-3超靜定剛架和排架1）剛架

以圖示剛架為例解：●

判定超靜定次數，選擇基本體系X2X1原結構為：二次超靜定拆去A端的固定支座，以多余未知力X1、X2代之，其基本體系如圖所示。

原結構CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本體系

●根據基本體系與原結構變形協(xié)調條件，建立力法方程。由水平位移Δ1＝0垂直位移Δ2＝0——力法典型方程得：

原結構CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本體系

X1X2§6-3超靜定剛架和排架

注：計算系數和自由項時，對于剛架通常可略去軸力和剪力的影響，而只考慮彎矩一項，為此，只需繪出彎矩圖。X1＝1

M1圖Mp圖X2＝1

M2圖●作基本體系的圖，求系數及自由項2ICBAIFPCBA2IIaCBI2IA

a§6-3超靜定剛架和排架利用圖乘法，可求得：Mp圖FPCBI2IAX1＝1

M1圖2ICBAI

aX2＝1

M2圖CBA2IIa§6-3超靜定剛架和排架利用圖乘法，可求得：Mp圖FPCBI2IA

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa§6-3超靜定剛架和排架

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa●將系數、自由項代入方程中，求得多余未知力§6-3超靜定剛架和排架解得：●求內力圖（1）M圖—由§6-3 超靜定剛架和排架迭加原理繪制aa/2a/2FP

M圖

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa（2）FQ圖—可由基本體系逐桿、分段定點繪制，也可利用M圖繪制?！?-3 超靜定剛架和排架FQ圖ABFPCD2II基本體系

X1X2○○+BCAD○+

M圖ADCB（3）FN圖—可由FQ圖中取出結點，由平衡方程求得各桿FN，同桿也可以由基本體系逐桿，分段求得。?FQCBFNCBFNCD取C結點：FQCAFN圖BCADFQ圖○+BCAD○+○○○§6-3 超靜定剛架和排架說明：1）超靜定結構在載荷作用下，其內力與各桿件EI的具體數值無關，只與各桿EI的比值（相對剛度）有關；2）對于同一超靜定結構，其基本結構的選取可有多種，只要不為幾何可變或瞬變體系均可。然而不論采用哪一種基本體系,所得的最后內力圖是一樣的。ABFPCD2II基本體系1

X1X2X1X2A

基本體系2CBD2IIFPFP

基本體系3X2X1如前面的剛架：§6-3 超靜定剛架和排架2）排架——單層工業(yè)廠房（1）排架結構與計算簡圖結構形式計算簡圖基礎柱子桁架EA=∞§6-3 超靜定剛架和排架（2）計算假定

計算橫向排架（受側向力作用的排架），就是對柱子進行內力分析。通常作如下假設：

認為聯系兩個柱頂的屋架（或屋面大梁）兩端之間的距離不變，而將它看作是一根軸向剛度為無限大（即EA=∞）的鏈桿。計算簡圖EA=∞§6-3 超靜定剛架和排架（3）計算方法及步驟●將橫梁作為多余約束，并將其切斷，代之以多余反力，得到基本結構；●作Mp、圖，求系數及自由項；

M

●解力法方程，求出多余未知力；

●按靜定問題求作最后內力圖。

●利用切口處相對位移為零的條件，建立力法方程；

§6-3 超靜定剛架和排架（4）舉例

計算圖示兩跨排架，作出彎矩圖。E＝C，I2＝5I1，h1＝3m，h2＝10m，ME=20KN·m，MH＝60KN·m，CD桿、HG桿的EA=∞。DC原結構I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFGX1X2DC基本體系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超靜定剛架和排架解：（1）此排架為二次超靜定，選取基本結構如圖。（2）建立力法方程。（3）作、、圖，求系數及自由項。X1X2DC基本體系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超靜定剛架和排架X2=1M1圖Mp圖

X1=1DCABEHFG2060DCABEHFGDCABEHFG1010377M2圖2060§6-3 超靜定剛架和排架M1圖X1=1DCABEHFG10103X2=1DCABEHFG77M2圖Mp圖

2060DCABEHFG2060§6-3 超靜定剛架和排架由圖乘法，得：M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架X2=1DCABEHFG77M2圖M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架Mp圖

2060DCABEHFG2060X2=1DCABEHFG77M2圖M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架（4）解力法方程，求多余未知力解得：（5）由迭加法繪制彎矩圖§6-3 超靜定剛架和排架M圖26.3713.916.067.506.0946.09EHDCABFG§6-4超靜定桁架、組合結構（1）解題步驟及相關公式a、判定超靜定次數，選取基本體系——切斷多余桁架桿。b、根據切口處變形協(xié)調條件，建立力法方程。

——切口兩側截面相對軸向線位移應為零。c、求力法典型方程中的系數和自由項。

——分別求出基本結構在單位多余未知力和載荷作用下各桿的內力和NP，然后利用靜定桁架位移計算公式求解。Xi＝1N1）桁架d、解力法方程，求出多余未知力Xie、求出各桿最后軸力——按迭加法求得

即：即：

§6-4超靜定桁架、組合結構（2）例題

求圖示超靜定桁架的內力，EA為常數。解：a、確定超靜定次數，取基本體系。aaCADB

原結構FP

一次超靜定，切斷BC桿b、建立力法典型方程由：得：X1§6-4超靜定桁架、組合結構FP基本體系c、求各桿的、及、

其系數、自由項為：§6-4超靜定桁架、組合結構X1-1-1-1-1圖FPFP圖FPd、解方程，求X1e、求各桿最后的軸力§6-4超靜定桁架、組合結構FPFN圖其中：2）組合結構（1）解題要點及公式

其解題步驟與桁架基本相同，但對于系數和自由項的計算略有不同。對于梁式桿計彎矩的影響，對于鏈桿計軸力的影響。、、

的計算公式：組合結構梁式桿桿鏈§6-4超靜定桁架、組合結構ACDB2）例題

求所示組合結構的內力。解：a、取基本體系b、列力法方程原結構基本體系該結構為一次超靜定，切斷CD桿，代之以X1。§6-4超靜定桁架、組合結構A

由：得：L/2L/2aaA

CDBEI1A2A1A3

qkN/mCDBEI1A2A1A3

qkN/mX1（3）計算δ11、Δ1P

§6-4超靜定桁架、組合結構a/2ha/2hL/4A

CBEI1A1DA2A3X1=1-1L/4（3）計算δ11、Δ1P

§6-4超靜定桁架、組合結構A

CDBEI1A2A1A3X1=1a/2ha/2h-1000qL2/8（4）解力法方程，求X1（5）求最后的內力N、M

由迭加法求得§6-4超靜定桁架、組合結構

FN、M圖aX1/2haX1/2hX1LX1/4×qL2/8§6-5 對稱結構的計算1、對稱結構3EI3EIEIEI2EI3EIEIEI1）定義——結構的幾何形狀、支承狀況和各桿的剛度（EI、EA）均對稱于某一軸線，這種結構被稱為對稱結構。2）兩類問題——正對稱與反對稱問題（1）正對稱問題——對稱結構在正對稱載荷作用下的情況（2）反對稱問題——對稱結構在反對稱載荷作用下的情況§6-5 對稱結構的計算（a）正對稱FPFPFPFP（b）反對稱2、正對稱問題（a）原結構（b）基本體系§6-5 對稱結構的計算FPFP33LFPFP33LX1X2X3力法方程：66L/2L/2L/21113FP3FP作圖，求系數與自由項：§6-5 對稱結構的計算FPFPMP圖X1=1M1圖X2=1X3=1M2圖M3圖§6-5 對稱結構的計算3FP3FPFPFPMP圖66X1=1M1圖L/2L/2L/2X2=1M2圖111X3=1M3圖由上可見：MP、M1、M3圖是正對稱的，M2圖是反對稱的，由圖乘可知：由②式得：

X2=0

§6-5 對稱結構的計算力法方程變成：①②③結論：結構對稱，荷載對稱，在結構的對稱點處，只有對稱的內力存在，反對稱的內力等于零。因此上述結構在對稱荷載作用下，是2次超靜定的。3、反對稱問題§6-5 對稱結構的計算（a）原結構FPFP33L力法方程：（b）基本體系FPFP33LX1X2X33FP66L/2L/2L/21113FP作圖，求系數與自由項：§6-5 對稱結構的計算FPFPMP圖X1=1M1圖X2=1X3=1M2圖M3圖§6-5 對稱結構的計算3FP3FPFPFPMP圖66X1=1M1圖L/2L/2L/2X2=1M2圖111X3=1M3圖由上可見：M1、M3圖是正對稱的，M2、MP圖是反對稱的，由圖乘可知：由①、③式得：

X1=X2=0

§6-5 對稱結構的計算力法方程變成：①②③結論：結構對稱，荷載反對稱，在結構的對稱點處，只有反對稱的內力存在，對稱的內力等于零。因此上述結構在反對稱荷載作用下，是1次超靜定的。4、未知力分解與載荷分解

1）未知力分解對于對稱的超靜定結構，雖然選取了對稱的基本結構，但若載荷是非對稱的，那么，多余未知力對結構的對稱軸來說卻不是正對稱或反對稱的，因此，有關副系數不可能為零，因而，達不到簡化計算的目的。對于這種情況，為使副系數盡可能多的等于零，采用將未知力分解（分組）以實現這一目的?！?-5 對稱結構的計算§6-5 對稱結構的計算FPY1X2FP原結構基本體系=Y1X1Y2Y2基本體系=FPX1=Y1+Y2X2=Y1－Y2§6-5 對稱結構的計算Y1=1Y2=1Y2=1FPMP圖Y1=1M1圖力法方程：兩個獨立方程M2圖2）載荷分解

當對稱結構承受一般非對稱載荷時，除了可將未知力分解外，還可將載荷分解為正，反對稱的兩組，以實現簡化計算的目的。FP+=§6-5 對稱結構的計算原結構正對稱反對稱FP/2FP/2FP/2FP/2（b）正對稱+=§6-5 對稱結構的計算qFP（a）原結構LLEIEILLEIEIFP/2FP/2q/2LLFP/2FP/2q/2q/2（b）反對稱例：利用對稱性計算圖示結構。所有桿長均為L，EI也均相同。原結構解：1、由于該結構的反力是靜定的，求出后用反力代替約束。

2、該結構有兩根對稱軸，因此把力變換成對稱與反對稱的。==+原結構=對稱+反對稱§6-5 對稱結構的計算

對稱情況，只是三根柱受軸力，由于忽略向變形，不會產生彎矩，因此不用計算。

反對稱情況，在荷載作用下，梁會發(fā)生相對錯動，因此會產生彎矩。該結構有兩根對稱軸，對于豎向對稱軸，荷載是對稱的，對于水平對稱軸荷載是反對稱的。

+原結構§6-5 對稱結構的計算§6-5 對稱結構的計算X1X1基本體系反對稱情況的基本體系如圖所示。該結構應是6次超靜定的，但由于荷載相對水平軸是反對稱的，因此切開的截面處只有反對稱的內力存在，即只有剪力。又由于荷載對于豎向對稱軸是對稱的，因此兩個多余未知力應該大小相等，方向相反。

綜上所述，該結構在所示荷載作用下是1次超靜定的?！?-5 對稱結構的計算MP圖X1=1X1=1M1圖力法方程：后續(xù)計算省略。關于對稱性的結論1、在對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，只保留對稱未知力2、在反對稱荷載作用下，對稱未知力為零，只保留反對稱未知力3、一般荷載可分解為對稱荷載與反對稱荷載兩組，分別計算內力后進行疊加。4、若選擇了對稱基本結構而基本未知力不對稱時，可采用組合未知力的方法，將基本未知力分解為對稱和反對稱兩組分量，形成組合未知力，可使計算簡化5、具有兩個正交對稱軸的結構，可在兩個對稱軸方向上均利用對稱性，使計算盡可能簡化6、剛架、排架若只有結點集中荷載作用，則只有荷載的反對稱分量產生彎矩，荷載的對稱分量不引起彎矩。7、在對稱荷載或反對稱荷載作用下，可用半結構進行計算。8、在對稱單位未知力作用下，反對稱位移（力法方程中相應的副系數）為零；在反對稱單位未知力作用下，對稱位移（相應的副系數）為零。

兩鉸拱為一次超靜定結構，取簡支曲梁為基本體系。（2）建立力法典型方程§6-6、7超靜定拱1、無拉桿兩鉸拱

計算如圖所示兩鉸拱。原結構x1基本體系（曲梁）（1）確定超靜定次數LfFP2FP1FP2FP1§6-6超靜定拱原結構oyxX1=1yφLfFP2FP1基本體系（曲梁）x（3）計算系數及自由項在X1=1的作用下，曲梁的受力性能與拱相同，因此計算系數δ11時，應考慮彎矩和軸力的影響，計算公式：X1=1φ§6-6超靜定拱原結構LfFP2FP1（3）計算系數及自由項X1=1φoyxyφ基本體系（曲梁）xFP2FP1在FP的作用下，曲梁的受力性能與簡支梁相同，因此計算自由項△P時，只需考慮彎矩的影響，計算公式：（4）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）式中，、——分別表示相應簡支梁的彎矩和剪力。（5）求內力水平推力X1求得后，各截面內力計算與三鉸拱內力計算相同?！?-6超靜定拱2、有拉桿兩鉸拱計算如圖示有拉桿兩鉸拱。1）特點：可避免支座受推力；2）解法：與無拉桿兩鉸拱相似，只是在計算δ11時，要計入拉桿軸向變形的影響，即:§6-6超靜定拱

原結構FP2FP1Lf

基本體系FP2FP1X1EIEAE1A1§6-6超靜定拱

原結構FP2FP1Lf

基本體系FP2FP1X1EIEAE1A1由力法方程可得多余力計算公式：任意點的內力計算公式：§6-6超靜定拱有拉桿兩鉸拱FP2FP1LfEIEAE1A1

結論：●

有拉桿兩鉸拱的推力要比相應無拉桿兩鉸拱的推力小。當拉桿的E1A1→∞時，則有桿兩鉸拱的內力與無拉桿兩鉸拱趨于相同；而當E1A1→0時，則

X1→0，拉桿拱將成為簡支曲梁而喪失拱的作用與特征?！裨O計時應加大抗桿抗拉度，以減小拱的彎矩。LfFP2FP1無拉桿兩鉸拱§6-8支座移動、溫度變化的計算AhB

原結構

Lbaφ超靜定結構有一個重要特點，就是在僅支座移動、溫度改變等所有使結構發(fā)生變形的因素，都能使結構產生內力。用力法求解支座移動、溫度改變時的問題，其方法與荷載荷作用時相同，唯一的區(qū)別在于典型方程中自由項的計算不同。1、支座移動時的計算

圖示剛架，設支座A發(fā)生了圖示位移。（1）判定超靜定次數，取基本體系。為二次超靜定問題基本體系如圖所示。（2）由位移條件，建立力法典型方程。

§6-8支座移動、溫度變化的計算AhB

原結構

Lbaφ

基本體系

BhLbX2X1（3）計算系數與自由項系數——計算同前由圖乘求得。自由項——基本結構由支座移動引起的沿Xi方向的位移，即：X1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1圖M2圖

§6-8支座移動、溫度變化的計算

h/L

1/LX1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1圖M2圖

§6-8支座移動、溫度變化的計算

h/L

1/L（4）將、代入力法方程，求得X1、X2。（5）求彎矩2、溫度變化時計算

圖示剛架各桿內側溫度升高10℃，外側溫度不變，各桿線膨脹系數為α。EI和截面高度h均為常數。＋10°（2）列力法方程：

§6-8支座移動、溫度變化的計算B

原結構

BALLC＋10°基本體系X1BALLC＋10°＋10°（1）確定超靜定次數一次超靜定，取基本體系如圖所示。（3）求系數與自由項X1=1BAC

§6-8支座移動、溫度變化的計算CBAX1=1LM1圖1N1圖（4）解方程求X1（5）求最后彎矩和軸力

§6-8支座移動、溫度變化的計算BCAMM圖BCANN圖

圖示梁具有彈性支座，彈簧系數為k（單位伸長所需的力）。（1）取基本結構

一次超靜定，取基本體系如圖所示。（2）彈簧處的位移負號表示△1的方向與X1相反。（3）建立力法方程Δ1

§6-8具有彈性支座的計算kFPABCL/2L/2原結構基本體系L/2L/2FPABCX1（4）求系數與自由項

作圖與圖，由圖乘求得：（5）回代，由力法方程求得X1：

§6-8具有彈性支座的計算LABL/2L/2FPABCX1=1L

M1圖FP/2MP圖§6-9 超靜定結構的位移計算

先回顧一下靜定結構位移計算的步驟（荷載作用下）：▲

畫出荷載作用下的彎矩圖；▲

虛設一個單位力，并畫出它的彎矩圖；▲

對兩個彎矩圖進行圖乘，就可得到的所要的位移。

對超靜定結構完全可以按照上述步驟及方法進行，但這樣做要多次解超靜定結構。如：求圖示結構B點的水平位移。FPBAC§6-9 超靜定結構的位移計算

如：求圖示結構B點的水平移。第一步：畫出MP圖要用力法解一次超靜定。若結構是多次超靜的，工作量將更大。第二步：畫出M圖又要用力法解一次超靜定。BACFPMPFPMFP=1§6-9 超靜定結構的位移計算

為了減少工作量，我們可以進行如下分析：=

由于基本體系與原結構完全等價，因此求超靜定結構上某點的位移，可以到靜定的基本體系上去求，步驟如下：1、畫出基本體系在FP、X1作用下的MP圖，由于X1是未知的，要畫出MP圖還需用力法求解；

2、虛設一個力的狀態(tài)，這時可以在靜定的基本體系上進行，并畫出M圖（是