20-21 第6章 6.3 6.3.4 平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示

6.3.4

平面向量數(shù)乘算的坐表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算法則．(重點)2.理解用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件．(難點)3.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線，并掌握三點共線的判斷方法．(重點)4.兩直線平行與兩向量共線的判定．(易混點)

核心素養(yǎng)1.通過向量的線性運算，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.通過平面向量共線的坐標(biāo)表示培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).貝貝和晶晶同做一道數(shù)學(xué)題“一人從地到地，依次經(jīng)過B地地、D地，且相鄰兩地之間的距離均為505km.從地到E地的行程有多少？”其解答方法是：貝貝：505505505505010505505515＋5052020(km)．晶晶：505×42．可以看出晶的計算較簡捷，乘法是加法的簡便運算，構(gòu)建了乘法運算體系后，給這類問題的解決帶來了很大的方便．問題：當(dāng)a∥b時，a，的坐標(biāo)成比例嗎？λa與a的坐標(biāo)有什么關(guān)系？1．?dāng)?shù)乘算的坐標(biāo)表示符號表示：已知a＝，)，則λa(λx，λy(2)文字描述：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．1/13

112212211122＝11222222112212211122＝1122222211x11221122121＝－8,8)AC(3y∵AC點共線，2．平面量共線的坐標(biāo)表示設(shè)＝(，y)，＝(x，y)，其中b≠0，，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝b.如果用坐標(biāo)表示，向量，bb≠0)共線的充要條件是xy－＝0.思考：兩向量(，y)b(x，)共線的坐標(biāo)條件能表示成

xx

嗎？[示]才能使用．

不一定，x，y有一者為零時，比例式?jīng)]有意義，只有y≠0，1．思考析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”x若a(，y)，＝(x，y)，且a與共線，則＝22

()若a(，y)，＝(x，y)，且xy≠xy，則與b不共線．()→→→若A，B三點共線，則向量B，BC都是共線向量．()[案]

×

(2)√

√2.知，－4,0)，則的中點坐標(biāo)為_______．－1,3)[據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，PQ中點坐標(biāo)為－．]3．已知a＝(－3,2)，＝，y)，且a∥，則＝________.－4

[a∥b∴－3－2×60解得y－4.]4．若A(3，－6)，－5,2)，(6，y三點共線，則y＝________.－9

→→→→[∥

∴－＋6)8×30解得＝－向量共線的判定與證明【例1】下列各組向量中，共線的是()A．a(chǎn)＝(－，b＝(4,6)B．a(chǎn)＝，＝(3,2)C．a(chǎn)＝(1－2)＝(7,14)2/13

→→→1→→→112122D．＝(－，b＝(6，－4)→→(2)已知A1，－1)，，，，向量A與CD平行嗎？直線平行于直線CD嗎？D

[A中，－×34≠0B中×3×≠，中×14(－2)7≠0D中(×－－×60.選D](2)[解]

∵AB(1(－3(－＝，→

＝(21,75)．又×－×10→→∴AB∥CD又C，AB，∴2×42×6≠0∴A，C不線，∴與CD重合，∴AB∥CD向量共線的判定方法提醒：向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式極易寫錯，如寫成x－y0或x－yy＝0是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減．[進訓(xùn)練]1．已知A(1，－3)，，求證：，B三點共線．3/13

＋3＝＝，－，13)(8,4)，22＋3＝＝，－，13)(8,4)，222→→→→133→→[明]，7∵7×4×＝0∴AB∥，且B，有公共點A∴A，C三共線.已知平面向量共線求參數(shù)【例2】已知a＝1,2＝(－3,2)當(dāng)為何值時ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？[]

法一：共線向量定理)abk(1,2)(－＝－3,2k，a3＝－3((10－，當(dāng)ka與－3平行時，存在唯一實數(shù)λ使ka＝λa)由－3,2k＝λ，－4)所以

解得kλ＝－

13

.當(dāng)k－時，ab3平行，這時a＝－3

11a＝－(－b，因為λ－

13

<0所以ka與－3反向．法二：坐標(biāo)法)由題知ka＝(k3,2＋2)a3＝(10－，因為ka與－3平行，所以－3)×(10＋2)0解得k－

13

.4/13

333112212，所以2sinαcos333112212，所以2sinαcos＝＝2－2－＋12這時ka＝3－＋2ab，所以當(dāng)k－時，a與－b平，并且反向．3利用向量平行的條件處理求值問題的思路利用共線向量定理λb≠0列方程組求解．利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式y(tǒng)－＝直接求解．[進訓(xùn)練]2知量a(1,2)＝2)＝)∥(2aλ＝________.12

[題可得2a＝，∵∥(2a，c＝，λ，1∴4－20即λ＝.]向量共線的綜合應(yīng)用【例3】已知向量＝(cosα－b＝(sin且∥則2sinαcosα等()A．3

B．－C．－

45

D．

45如圖所示，已知點，CAC與OB的交點的坐標(biāo)．1)C[為a∥，所cos×1(2)×＝0α－2sinαα－

1αcos2tanαsin2＋2tanα＋2×＝＝－

.]

5/13

→→→→→→→→→→→4→→→→→→→→→→→44→→→→x→→→→42＝＝444(2)[解]

法一：(定理法)OPB三點共線，可設(shè)OPλOB(4，λ，則POP＝－4,4)，＝OC＝－．由AC線(4×6λ×(2)解得λ，所POB，所以P的坐標(biāo)為(．法二坐標(biāo)法)設(shè)y)OP(xy，因OB，與B線，所以＝，即＝.44又P－4y，＝(－2,6)，與C線，則x4)×6y×－2)＝0解得＝＝3所以點的坐標(biāo)為(．應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟[進訓(xùn)練]→→→→3.如圖所示已知△B＝OD＝OB，AD與BC相交于點，求點M的坐標(biāo)．[]

→1→因C＝

，所以C

6/13

因為D＝222→－5＝＝22→→又CM，＝44因為CM，所以＝04412因為D＝222→－5＝＝22→→又CM，＝44因為CM，所以＝0441271122121→→12－＝－OP∴＝＋21121→→＝

，所以D設(shè)M(xy，則AM(，y5)→37AD，因為∥，所以－

72

x2(－5)0即x4y＝20.①→→7

，→→75∥－4即x16y－20.②聯(lián)立①②解得x，＝，故點M坐標(biāo)為，7

.共線向量與線段分點坐標(biāo)的計算[究問題]1．P，的坐標(biāo)分別(，，(x，y)如何求線段PP的中點P的坐標(biāo)？[示]

如圖所示，∵P為P的中點，∴P，→→→→1→→→∴(

)＝

x＋y＋y，2

，7/13

12221122121＝時OP＋＝＋＝OP＋－OP3331121112＋3121212221122121＝時OP＋＝＋＝OP＋－OP3331121112＋31212＝時，3112＝＋＝＋31112→－＋3312121＝λ12P＝＋λPP(OP)＋－112212，＝＋λ121122＋xy＋∴線段P2的中點坐標(biāo)，2．P，的坐標(biāo)分別(，，(x，y)點P線段的一個三等分點，則P點坐標(biāo)是什么？[示]

點是線段PP的一個三等分點，分兩種情況：→→→→→→1→→→→①PPPPPP(→→OP

＝

23＝

2＋xy＋，3

；→2→②當(dāng)PP→→→→2→＝＋1

23

→→2

)＝

1→2→＝

2y＋2y，3→→3．PP

(λ≠－時，點的坐標(biāo)是什么？→→→→→→→→→→提示∵→λ→∴

→→1λ

＝

1λ(，)(，y)1λ＋λ8/13

1211λ1λ1211λ1λ12121λ＋λ→→1，0.3→→3＝

1λλx11，y1λ＋λ1λ＋λ

λx＋λy＝，

，λx＋λy∴，→→【例4】已知點(3－與點(－1,2)點在直線上且|AP＝|，求點的坐標(biāo)．［思路探究］P直線AB，包括P線段AB和在線段AB延長線上，因此應(yīng)分類討論.[]

→→設(shè)點坐標(biāo)為(xy，|AP＝2|PB|.當(dāng)在線段上時，＝2，∴－3y＝2(－y，∴得，∴點坐標(biāo)為當(dāng)在線段延長線上時，AP－2，∴－3y＝－2(1x,2)，∴解得，∴點坐標(biāo)為(5,8)綜上所述，點P坐標(biāo)為5,8)→→→→1．若將本條件＝2||改為AP＝”其他條件變，求點P的坐標(biāo)．9/13

→→1，2→→→→3→→1，2→→→→322111212121＝λP11[]

因＝3PB所以(x3＋4)－1x－y，所以

，解得，所以點P坐標(biāo)為

12．若將本條件改為“經(jīng)過點(－2,3)的直線分別交x軸y軸于點，B，→→且AB＝3|AP”，求點A的坐標(biāo)．[]

→→由題設(shè)知，A，P點共線，且AB＝3|，設(shè)(x,，B，y，

①點在A之間，則有AB3，∴－，)3(－3)解得x－3＝9點A的坐標(biāo)分別為(3,0)．②點不在A，之間，則有AB3AP同理，可求得點A，的坐標(biāo)分別為，，－．綜上，點A，的坐標(biāo)分別為(－，或，，－．求點的坐標(biāo)時注意的問題設(shè)P(x)P(xy)．若點是的中點時，則xy)為x＋y＋y，2求線段上或延長線上的點的坐標(biāo)時，不必過分強調(diào)公式的記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后列出方程組求解，同時要注意分類討論．→→若(λ≠0)

1221212112121221212112122111x2211221221①0λ1，P線段上；②λ1，P重合；③λ1，點P在線段延長線上；④λ0，點P在線段反向延長線上．一、知識必備兩個向量共線條件的表示方法已知a＝(x，)，b＝，)，當(dāng)≠0，a＝b.y－＝x當(dāng)y≠0，＝，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例．2二、方法必備向量共線的問題常涉及兩個方面1．已知兩個向量的坐標(biāo)或四個點的坐標(biāo)，判斷三點

(兩個向量是否共線一般先利用向量的坐標(biāo)運算求出需要判斷的平面向量的坐標(biāo)再依據(jù)下面的結(jié)論來判斷向量是否平行：已＝(y)＝(xy)，b≠0，x－y＝0，則a∥b.2．已知向共線求參數(shù)．解題時要注意方程思想的運用，向量共線、向量相等都可以作為列方程的依據(jù)證明或判斷三點共線兩直線平行時要注意聯(lián)系平面幾何的相關(guān)知識．由向量共線求參數(shù)的問題中參數(shù)的設(shè)置一般有兩種一是向量的坐標(biāo)本身含有參數(shù)二是相關(guān)向量用已知兩個向量的含參關(guān)系式表示解題時應(yīng)根據(jù)題目特點選擇向量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式，建立方程(組)求解．1．下列各向量中，共線的是()

→→，4534→→，45345→→→→→A．a(chǎn)＝，b(3，－B．a(chǎn)＝，＝(4，－C．a(chǎn)＝2，－，＝D．＝，，＝(2，2)D[AB各對向量都不共線，D中＝2a兩個向量共線．]→2兩點(2B平行且方向相反的向量a以是()A．(1，－2)C．(－

B．(9,3)D．(－4，－8)D[題意，得B，所以aλ＝λ2)(中λ＜0)符合條件的只有D，故選D．]3．與向量a(－3,4)平行的單位向量是_______．