2021屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題十八離心率精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練理

.培點(diǎn)八

離率1．離心率的值例1：設(shè)，分別是橢圓C:

x22的、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上線(xiàn)段bPF的點(diǎn)在y

軸上，假設(shè)F

，那么橢圓的離心率為〔〕A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】此題存在焦點(diǎn)三角形eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F，線(xiàn)段PF的中點(diǎn)在PF∥軸

軸上，為中可得從而PFFF，又因?yàn)镻FFPF:PF:FF3

，那么直角三角形eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F中且2PF，2FF，以e2．離心率的取值范圍

cFF3，選A．a(chǎn)23例2：是曲線(xiàn)

xy2b的左焦點(diǎn)，E是雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)F且2直于x軸直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A兩，假eq\o\ac(△,設(shè))ABE是銳角三角形，那么該雙曲線(xiàn)的離心率e的值范圍為〔〕A．

B．

C．2

D．2,1【答案】【解析從圖中可觀察到假設(shè)△ABE為角三角形只要AEB銳角由稱(chēng)性可得只b需即FE均用abc表，是徑的一半：AF，a

yt1yt1，所以tan

.AFcFEaaa

，即eB對(duì)增集一、單項(xiàng)選擇題1假雙曲線(xiàn):

x22a2

的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

那該雙曲線(xiàn)的心率為〔〕A．10

B．

C．

D．

【答案】b2b【解析】雙線(xiàn)的漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)2,，代入x，可得：，aa即

b1，a2

ba

，應(yīng)選．π22．傾斜角為的線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓a右點(diǎn)F，橢圓交于、兩點(diǎn)，，那么該橢圓的離心率為〔〕A．

23

B．

22

C．

D．

【答案】2t【解析】設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為，入橢圓方程并化簡(jiǎn)得

t

2b

，所以t

22ba

c

2b，，于2FB，即t，入上述韋達(dá)定理，

xy2xy2化簡(jiǎn)得8，

.c2c，．選．a(chǎn)33九算?是我國(guó)古代內(nèi)容極豐富的數(shù)學(xué)名著章“勾股〞述“勾股定理〞及一些應(yīng)用，還提出了一元二次方程的解法問(wèn)題角三角形的三條邊長(zhǎng)分別稱(chēng)“勾〞“股〞“弦〞F、F分是雙曲xy22b

，的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上的一點(diǎn)，假設(shè)，PF分別是FPF的“勾〞“股〞，且PFab，么雙曲線(xiàn)的離心率為〔〕A．【答案】

B．

C．2D．5【解析】由雙曲線(xiàn)的定義得PFPF，以PF

，即PF

PF

由意得PF所

PF

F

c

，又PF，以4c

，解得a，而離心率e

a

，選．4．雙曲線(xiàn)C:1

焦與物線(xiàn)y2b2樣，它們交于，B兩，且直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)，么雙曲線(xiàn)C的離心率為〔〕A．

B．

C．2

D【答案】【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

，由題意可得：F

p2

，那么A,，,，Acc，c，又：AFAF，'

'F

c，據(jù)此有：2，

2a那么雙曲線(xiàn)的離心率：

c2．題選擇選項(xiàng)．2

a2aa2a5．點(diǎn)P

.x22上假設(shè)點(diǎn)M為圓右頂點(diǎn)，2且PM〔為標(biāo)原點(diǎn)么橢圓C的心率的值范圍是〔〕A．

B．

C．

2

D．

【答案】【解析】由題意POPM，所以點(diǎn)P在為直徑的圓上，圓心，徑為，2所以圓的方程aa為：x，b與橢圓方程聯(lián)立得：ax，方程在區(qū)間上有解，a由于a為方程的一個(gè)根，且另一根在此區(qū)間內(nèi)，所以對(duì)稱(chēng)軸要介于與a之，2aa所以2b

，合，解得，2c2根據(jù)離心率公式可得

．選．6．橢圓

x22a，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)，使得2APB么該橢圓的離心率的最小值為〔〕A．

22

B．

C．

D．

【答案】【解析】設(shè)為圓短軸一端點(diǎn)，那么由題意得AMBAPB120即因?yàn)镺MA

aa2以tan603a3baa2e，bb3e

63

，應(yīng)選C．xy7曲的焦分別為FF在雙曲線(xiàn)的右支上PFPF，2b2

25,.25,那么此雙曲線(xiàn)的離心率的大值為〔〕A．

43

B．

53

C．2

D．

73【答案】【解析】由雙曲線(xiàn)的定義知PFa8聯(lián)立①②解得a，PFa，3在eq\o\ac(△,)F中，由余弦定理，得F

①；又PF，②4e，2883要求的大值，即求PF的最小值，當(dāng)cosPF解得e

55，即e的大值為，選B．3解法二：由雙曲線(xiàn)的定義知PF

①，又PF，②，聯(lián)立①②解得82，a，因?yàn)辄c(diǎn)P在支所以PF，即a故，33335最大值為，選B．3x228．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，點(diǎn)在橢圓上，為標(biāo)點(diǎn)，21假設(shè)FF，PF12

2

，那么該橢圓的離心率為〔〕A．

B．

C．

D．

22【答案】【解析】由橢圓的定義可得，PF，又12

2

，可得PF，即P為圓的短軸的端點(diǎn)，OP，OP

FF，有ca

c2，即為2，a

．應(yīng)選D．9假設(shè)直線(xiàn)y與曲線(xiàn)圍為〔〕

x22a有公共點(diǎn)，那么雙曲線(xiàn)的離心率的取值范2bA．

B．

C．

5,

D．

【答案】

cx22cx22【解析】雙曲線(xiàn)

.x22ba的漸近線(xiàn)方程為yx，2由雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)y2x有點(diǎn)，那么有，有e1+15，a那么雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為

5,，應(yīng)選D．10．們把焦點(diǎn)一樣且離心率互倒數(shù)的橢圓和雙曲線(xiàn)稱(chēng)為一對(duì)“相關(guān)曲線(xiàn)〞．F，是一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，e，e分是橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率，假設(shè)為們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，么雙曲線(xiàn)的離率〕A．

BC．3

D【答案】【解析】設(shè)F長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，曲線(xiàn)的實(shí)半長(zhǎng)為m可得PFa，PF，得，由余弦定理可得FPF即有4

m

，13由離心率公式可得，，有ee

，得，選C．11．到了大家最喜〔〕〔yan的圓錐曲線(xiàn)了．直線(xiàn)l:y與圓C:1

交、B兩圓:兩假2設(shè)存在DB，么橢圓C的離心率的取值范圍是〔〕1A．0,

B．,1

2C．

2D．,1【答案】【解析】直線(xiàn)l:k，k直線(xiàn)l恒定點(diǎn)過(guò)圓C的圓心，AC，C的圓心為、兩點(diǎn)中，

eq\o\ac(△,S).eq\o\ac(△,S)設(shè)Axy，Bx,y，，上下相減可得：

x

y

，y化簡(jiǎn)可得x

b，，a2

1選C．12．為雙曲線(xiàn)

x22a右支上一點(diǎn)，點(diǎn)F，分為雙曲線(xiàn)的左右點(diǎn)，2點(diǎn)I是eq\o\ac(△,)的心〔三角形內(nèi)切的圓心恒有

eq\o\ac(△,S)

eq\o\ac(△,S)

13

eq\o\ac(△,S)IFF

成立，那么雙曲線(xiàn)的離心率取值范圍是〔〕A．

B．

C．

D．【答案】【解析】設(shè)eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的切圓半徑為r，由雙曲線(xiàn)的定義得PFPFa，F(xiàn)Fc，

111，，，22由題意得

113cr故PF，23故

a

，，以，雙曲線(xiàn)的離心率取值范圍，選D．二、填空題13．物線(xiàn)y

p

x與雙曲線(xiàn)ab22

有一樣的焦點(diǎn)F，A是曲

.線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)直線(xiàn)AF的率為，那么雙曲線(xiàn)的離心率______．【答案】

【解析】如下圖，設(shè)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，由于AF斜率為3所以60AB所以△是邊三角形，所以F以BF3，BF，1所以AF

c

cos120，所以c，雙曲線(xiàn)的定義可知a所以雙曲線(xiàn)的離心率為

．x2214．曲線(xiàn)a2b一點(diǎn)，

，其左右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，設(shè)是雙曲線(xiàn)右支上滿(mǎn)足

MFMF

，那么離心率e取值范圍__________．【答案】

【解析設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

MFMF

，在曲線(xiàn)右支上曲的第二定義，可得e2，c，exea，2，e2，e，，答案為

a,1a,115．圓

.x22a的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)，的直線(xiàn)與橢圓交于A，2的兩點(diǎn)，且AF軸假P為圓上異于A，B的點(diǎn)且

eq\o\ac(△,S)

PBF

，那么該橢圓的離心率為_(kāi)_____．【答案】

【解析】根據(jù)題意，因?yàn)榍襝,0，設(shè)在第一象限那么過(guò)作BCx軸C，么易知eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)F～△，由

eq\o\ac(△,S)

PBF

得BF，以AF，CF，5bcb2所以B,代入橢圓方程得，2533aa

a

，又

，所以c

a

，所以橢圓離心率為e

3．故答案為

．x2216．平面直角坐標(biāo)系xOy中記橢圓2

的左右焦點(diǎn)分別為，，假設(shè)該橢圓上恰好有6個(gè)不的點(diǎn)P，得△FF為等腰三角形，那么該橢圓的離心率的取值范圍是___________．【答案】2

【解析】橢圓上恰好有6個(gè)不的點(diǎn)P，得△FP為腰三角形6個(gè)不的點(diǎn)有兩個(gè)為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，另外四個(gè)分別在第一、二、三、四象限，且上下對(duì)稱(chēng)左右對(duì)稱(chēng)，設(shè)在第一象限，PF當(dāng)FFc時(shí)PFPF，即2a，得e

12

，又因?yàn)閑，所以，當(dāng)PFFFc，PFc，

.1即2c且2，得：，3綜上

1或．3三、解答題17．曲線(xiàn):

x22ab的離心率為3那么2〔1〕求雙曲線(xiàn)C的進(jìn)線(xiàn)方程．〔2〕當(dāng)時(shí)直線(xiàn)y與曲線(xiàn)交不同的兩點(diǎn)A，B且線(xiàn)段的點(diǎn)在圓上求的值．【答案〕y2〕【解析〕由題意，得e

a

c

a

，∴

2

b2，即，a2b∴所求雙曲線(xiàn)C的進(jìn)線(xiàn)方程yx．a(chǎn)〔2〕由〔〕當(dāng)時(shí)雙曲線(xiàn)C的程為

2

y．設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為yy的點(diǎn)為M

，y由2，

mx

〔別式

∴

2

m，yx，∵點(diǎn)y

在圓

上∴m

xy18．圓C2b2

的左焦點(diǎn)為

，離心率e．

121.121〔1〕求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕直線(xiàn)l交圓C于A，B兩點(diǎn)．①假設(shè)直線(xiàn)l經(jīng)橢圓的左焦Fy軸點(diǎn)且滿(mǎn)足PAPB求證：值②假設(shè)