現(xiàn)代分析第八章

今天講這個東西！2023/2/5新課程現(xiàn)代數(shù)學——《分形幾何簡介》2分形幾何簡介

AnIntroductionto

FractalGeometry現(xiàn)代分析第八章上帝必定是一個幾何學家！Godmustbeageometer！

名人名言

——伽利略——Galileo分形(fractal)分形幾何理論誕生于20世紀70年代中期，創(chuàng)始人是美國數(shù)學家---曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《大自然的分形幾何學》(TheFractalGeometryofNature)是這一學科經(jīng)典之作。分形(fractal)是20多年來科學前沿領域提出的一個非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton)

是非線性科學(nonlinearscience)中三個最重要的概念。幾何學的基本研究對象是“空間形式的抽象化——形。研究形的各種變換不變性質形成了不同研究內容的幾何學——歐幾里德幾何學、射影幾何、拓撲學、……用不同的方法去研究形，又形成了以研究方法為特征的各種幾何學——幾何學的發(fā)展陳省身的觀點歷史上幾何學可分為六個時期：1)公理(歐幾里德)；2)坐標(笛卡爾，費馬)；3)微積分(牛頓，萊布尼茲)；4)群(克萊因，李)；5)流形(黎曼)；6)纖維叢(嘉當，惠特尼)。7）分形幾何（曼德布羅特）兩千多年來，雖然幾何學的研究方法發(fā)生了多次革命，但是其研究對象卻始終保持在兩千多年前的局面——歐幾里德幾何對象——直線、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線之類的空間規(guī)則圖形。幾何學的發(fā)展2023/2/58歐幾里德幾何學的局限傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學已經(jīng)在改造自然、訓練思維、推進人類文明方面發(fā)揮了不可替代的作用。但是，歐幾里德幾何所研究的圖形限于直線、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線之類的空間規(guī)則圖形。當我們嚴格地去分析歐幾里得幾何與自然的關系時，我們會發(fā)現(xiàn)，要想在自然界中找到真正的圓形、球形、正方形、正方體等，幾乎是不可能的，歐幾里德幾何圖形其實只是人類對大自然的理想化產(chǎn)物。歐幾里德幾何學的局限黑板房子轎車盒子太陽描述事物：平時我們可以用歐幾里德幾何圖形近似地表示形狀簡單的物體.歐幾里德幾何學的局限可是對于一些不規(guī)則而復雜的物體，用什么方法描述這些幾何圖形呢？歐幾里德幾何學的局限歐幾里德幾何圖形并不能準確地描述大自然測量事物歐幾里得幾何學的研究對象僅涉及具有特征長度的幾何物體：0維空間：點，可以計數(shù)，沒有長度；1維空間：線段，有長度，沒有寬度；2維空間：矩形，有周長、面積，沒有體積；3維空間：方體，有表面積、體積；自然界中很多物體具有特征長度，比如：人有高度、山有海拔高度等。歐幾里德幾何學的局限歐幾里德幾何學的局限但是事物大多沒有這么簡單。美國計算機科學家曼德爾布羅特（Mandelbrot

）就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？海岸線

英國的海岸線地圖英國的海岸線有多長？英國的海岸線有多長？當你用一把固定長度的直尺來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似。因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大。如果尺子小到無窮小，則測得的長度將是無窮大。英國的海岸線有多長？得到的結論是：海岸線的長度是多少？——這取決于所用尺子的長短。精細的測量發(fā)現(xiàn)：海岸線的長度是無限的！而顯然海岸線的面積為零；而我們確實看到了海岸線的存在，而且海岸線應該是有界的。但是，海岸線面積為零，長度無窮，究竟海岸線的什么量有界呢？英國的海岸線有多長？海岸線的長度問題，并不僅僅是一個特別的個例！許多事物都有類似的困惑——2023/2/520分形幾何學被譽為大自然的幾何學的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支，其本質是一種新的世界觀和方法論。它承認，在一定條件下、一定過程中、在某一方面（形態(tài)，結構，信息，功能，時間，能量等），世界的局部可能表現(xiàn)出與整體的相似性；它承認，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的……分形幾何學2023/2/522認識分形2023/2/523分形理論源自于數(shù)學內部2023/2/524“病態(tài)”的“數(shù)學怪物”“病態(tài)”的“數(shù)學怪物”

19世紀后半葉起，數(shù)學家們在研究函數(shù)的連續(xù)性時構造出一系列不符合人們傳統(tǒng)觀念的集合。德國數(shù)學家維爾斯特拉斯（K.Weierstrass）1872年構造的以他的名字命名的函數(shù)W（x）是這類集合的第一例其中1<s<2且>1，W(x)是處處連續(xù)、但處處不可微的函數(shù)。對應參數(shù)s

=1.4,=2，W(x)的圖象是

Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)Weierstrass函數(shù)W(x)的缺陷是：其圖象難以繪出，因此不夠直觀。但是，由于該函數(shù)處處連續(xù)卻無處可微，從而人們認識到其圖象是處處連續(xù)卻處處無切線的曲線，這引起了當時數(shù)學界的極大震驚。怪物1Weierstrass函數(shù)1883年，德國數(shù)學家康托(G.Cantor)構造了一個奇異集合——康托三分集：將數(shù)軸上的閉區(qū)間E0=[0,1]三等分，刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)，剩下兩個閉區(qū)間[0,1/3]，[2/3,1]記為E1；再將這兩個閉區(qū)間分別三等分，各去掉中間的開區(qū)間(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，剩下更短的四個閉區(qū)間記為E2，……，這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮。怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集在這樣的操作下，有些點是永遠刪不去的，比如，1/3，2/3，以及所有被刪去的開區(qū)間的端點。最后剩下的是一個離散的無窮點集F，稱為康托三分集.怪物2康托三分集如果用0維的（點的個數(shù)）尺度去測量它，其度量值顯然是無窮；如果用一維的長度尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

由長度為(1/3)n

的2n個區(qū)間段構成，其長度為2n(1/3)n，因此，康托三分集的長度為怪物2康托三分集這說明，康托三分集無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物2康托三分集1904年，瑞典數(shù)學家馮·科赫（H.vonKoch）構造了著名的魔線：取單位長度線段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長為E0的1/3的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線段，對E1的每條線段重復同樣的操作后得E2，對E2的每條線段重復同樣的操作后得E3，……，繼續(xù)重復同樣的操作無窮次時所得的曲線稱為科赫曲線

怪物3VonKoch雪花曲線怪物3VonKoch雪花曲線如果用一維的長度尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

由4n個長度為(1/3)n

的區(qū)間段構成，其總長度為(4/3)n，因此，科赫曲線的長度為無窮。怪物3VonKoch雪花曲線怪物3VonKoch雪花曲線因此科赫曲線的面積為0。如果用二維的面積尺度去測量它，注意其第n步過后的生成元En

可以由4n-1個底邊長度為(1/3)n-1

，高為的三角形所覆蓋（如圖），這些三角形的總面積為，這說明，科赫曲線無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物3VonKoch雪花曲線若把初始元E0“——”改為邊長為1的等邊三角形，對它的三邊都反復施以同樣的變換，直至無窮，最后所得圖形稱為科赫雪花曲線.它被用作晶瑩剔透的雪花模型.怪物3VonKoch雪花曲線觀察雪花分形過程第一次分叉：1第一次分叉，周長為3(4/3)1，圍出面積0.5772第二次分叉，周長為3(4/3)2，圍出面積0.6423第三次分叉，周長為3(4/3)3，圍出面積0.674第四次分叉，周長為3(4/3)4，圍出面積0.6835第五次分叉，周長為3(4/3)5，圍出面積0.688Koch雪花曲線長度趨于無窮，但是，其圍出的面積保持有界，曲線本身所占有的面積為0。這說明，Koch雪花無法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。1915~1916年，波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基(W.Sierpinski)將三分康托爾集的構造思想推廣到二維平面，構造出謝爾賓斯基“墊片”：怪物4謝爾賓斯基墊片設E0是邊長為1的等邊三角形區(qū)域，將它均分成四個小等邊三角形，去掉中間一個得E1，對E1的每個小等邊三角形進行相同的操作得E2，……，這樣的操作不斷繼續(xù)下去直到無窮，所得圖形F稱為謝爾賓斯基“墊片”，它被用作超導現(xiàn)象和非晶態(tài)物質的模型。怪物4謝爾賓斯基墊片不要心急仔細看我將類似的操作施以正方形區(qū)域（與前面不同的是這里將正方形九等分）所得圖形F稱為謝爾賓斯基“地毯”。怪物4謝爾賓斯基墊片數(shù)學家門杰（K.Menger）從三維的單位立方體出發(fā)，用與構造謝爾賓斯基地毯類似的方法，構造了門杰“海綿”。構造過程為：怪物5門杰海綿從一個立方體出發(fā)，將其每邊三等分，得27個小立方體，將體心和六面心上共七個小立方體舍去保留其余20個小立方體；再對每個小立方體進行同樣操作，得到更小的20×20＝400個立方體，如此操作進行下去直至無窮，便得到門杰“海綿”。怪物5門杰海綿門杰“海綿”怪物5門杰海綿類似前述討論可以知道：對于謝爾賓斯基“墊片”，如果用一維的長度尺度去測量它，其長度為無窮；如果用二維的面積尺度去測量它，其面積為0。怪物5門杰海綿對于門杰“海綿”，如果用二維的面積尺度去測量它們，其面積為無窮；如果用三維的體積尺度去測量它們，其體積為0。

這種“百孔千窗”、“有皮沒有肉”的結構，由于其表面積為無窮大，是化學反應中催化劑或阻化劑最理想的結構模型。怪物5門杰海綿這些說明，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度也無法去度量謝爾賓斯基墊片和門杰海綿。怪物5門杰海綿2023/2/577由復解析函數(shù)迭代

產(chǎn)生的圖形在第一次世界大戰(zhàn)期間，法國數(shù)學家G.Julia和P.Fatou受牛頓迭代法求解方程的啟發(fā)，研究了復解析函數(shù)的迭代性質，建立了復解析動力系統(tǒng)理論。在他們的理論中，設f是一個非常數(shù)的有理函數(shù)或整函數(shù),考慮f的迭代序列f0(z)=z,f1(z)=f

(z),……，fn+1(z)=f

ofn(z)=f[fn(z)],……

Julia集研究在n→∞時該序列的漸近性態(tài)。對于一個給定的函數(shù)，他們把復平面分成兩部分，一部分稱作穩(wěn)定集或Fatou集F=F(f)

F=F(f)={z∈C:序列{fn}在z的某鄰域上是正規(guī)的}.另一部分稱作非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)

J=J(f)=C-F(f)

Julia集籠統(tǒng)地說，穩(wěn)定集或Fatou集F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)良好的點集，在其中的每一點，都存在一個鄰域U，使得{fn(z)}在U上一致收斂到一個有限數(shù)或一致發(fā)散到無窮；非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)=C-F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)混亂的點集。F(f)是一個開集，而J(f)是一個閉集。Julia集比如，對函數(shù)f(z)=z2,容易算出開集F(f)包含兩部分：單位圓的內部和外部，它們分別是使得{fn(z)}一致收斂到0和一致發(fā)散到無窮的點集，而J(f)=單位圓周{z∈C:|z|=1}。Julia集需要注意的是，在一般情況下，J(f)都是極其復雜的幾何圖形，遠沒有單位圓周這么簡單。事實上，幾乎所有的Julia集都非常復雜，又非常美麗。Julia集2023/2/583f(z)=z2+c,c=0.11+0.66i

Julia集Julia集(二)C=-1Julia集(三)C=-0.5+0.5iJulia集(四)C=-0.2+0.75iJulia集(四)C=0.64i

針對二次函數(shù)簇fc(z)=z2+c，其中c是復參數(shù)，他引入一個集合M，叫做Mandelbrot集,M={c∈C:序列{fcn(0)}不趨于∞}={c∈C:J(fc)是連通集}并驚奇地發(fā)現(xiàn)集合M具有驚人的復雜性和許多美妙的性質。

Mandelbrot集Mandelbrot集新課程現(xiàn)代數(shù)學——《分形幾何簡介》Mandelbrot集32023/2/591分形概念的引入星系、云團、山川河流、動物植物等是不規(guī)則的；晶體的生長，分子的運動軌跡等也是不規(guī)則的；數(shù)學中的某些自然生成的形體也是不規(guī)則的。問題：如何用幾何來描述它們？分形的定義美國計算機科學家曼德爾布羅特（B.Mandelbrot）觀察到這些圖形的共同特征，提出了一門描述大自然的幾何形態(tài)的學科---分形(Fractal)幾何。分形的定義1975年曼德爾布羅特在其《分形：形狀、機遇和維數(shù)》一書中第一次引入分形這一概念，1977年他又出版了其第二部著作《大自然的分形幾何學》。分形的定義曼德爾布羅特對分形的定義：分形的定義Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway分形是其組成部分以某種方式與整體相似的圖形據(jù)曼德爾布羅特教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)則碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數(shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德爾布羅特一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。Fractal（分形）一詞的由來

因此，取拉丁詞之頭，英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分數(shù)的。曼德爾布羅特是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學所不能描述的一大類復雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。Fractal（分形）一詞的由來

“分形”的命名70年代末fractal傳到中國，一時難以定譯。中科院物理所李蔭遠院士說，fractal應當譯成“分形”，郝柏林、張恭慶、朱照宣等科學家表示贊同，于是在中國大陸fractal逐漸定譯為“分形”。如今臺灣還譯“碎形”，顯然不如“分形”好。分形的特點是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結構?！胺中巍敝g的確抓住了fractal的本質--科學本質、哲學本質和藝術本質?！胺中巍钡拿袊鴤鹘y(tǒng)文化中關于“分”與“形”有豐富的論述，想必李蔭遠院士極為熟悉。李院士是物理學名詞審定委員會三名顧問之一。宋明理學關于“理”(“理念”或者“太極”)與“萬物”、整體與部分、一般與具體的關系的思想吸收了佛家觀念，特別是華嚴宗和禪宗的觀念。李蔭遠的譯名實在于平凡處見功力，如李善蘭(1811-1882)譯“微分”

(differentiation)、“積分”

(integration)，王竹溪(1911-1983)譯“湍流”(turbulence)、“逾滲”

(percolation)和“運輸”(transportation)。2023/2/5100分形的特征對于什么是分形，雖然曼德爾布羅特曾經(jīng)提出了一個定義，但卻很難據(jù)此判定一個圖形是否是分形。到目前為止,人們還沒有給出分形的一個確切定義。正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形也可同樣的處理。分形的特征分形作為一種全新的概念，使許多人在第一次見到分形圖形時都有新的感受，不管你是從科學的觀點看還是從美學的觀點看。分形圖可以體現(xiàn)出許多傳統(tǒng)美學的標準，如平衡、和諧、對稱等等，但更多的是超越這些標準的新的表現(xiàn)。分形的特征分形圖中的平衡，是一種動態(tài)的平衡，一種畫面各個部分在變化過程中相互制約的平衡；分形圖的和諧，是一種數(shù)學上的和諧，每一個形狀的變化，每一塊顏色的過渡都是一種自然的流動，毫無生硬之感；分形的對稱，既不是左右對稱也不是上下對稱，而是畫面的局部與更大范圍的對稱，或說局部與整體的對稱。分形的特征在分形圖中更多的是分叉、纏繞、不規(guī)整的邊緣和豐富的變換，它表現(xiàn)的是自然界的千姿百態(tài)和復雜性。分形的特征分形幾何學認為：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結構不變。局部可以反映整體。分形的特征維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標數(shù)目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間.對于更抽象或更復雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應，也容易確定維數(shù)。但通常人們習慣于整數(shù)的維數(shù)。分形的特征當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。分形的特征分形理論認為維數(shù)也可以是分數(shù)，這類維數(shù)是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。對于我們上面提到的Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成.用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0.那么只有找一個與該曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是分數(shù)了。分形的特征分形的特征，歸納起來有以下幾點：無限精細的結構不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述自相似性分數(shù)維數(shù)可以由簡單的方式生成分形的特征（1）具有無限精細的結構，即在任意小的尺度之下，它總有復雜的細節(jié)；無限精細的結構（2）具有不規(guī)則性，以至于無論它的局部或整體都不能用傳統(tǒng)的幾何語言、乃至微積分的語言來描述；不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述（3）具有某種自相似性，其任意小的局部都可能在統(tǒng)計或者是近似意義上與其整體具有相似性；自相似性分形最明顯的特征是自相似性

不要心急仔細看我（4）分形的分數(shù)維數(shù)（用某種方式定義的）通常嚴格大于它的拓撲維數(shù)；分數(shù)維數(shù)（5）在許多令人感興趣的情形，可以由非常簡單的方法定義，并由遞歸、迭代等產(chǎn)生。

分形幾何的主要價值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性：本來看來十分復雜的事物，事實上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡單公式來描述。其實簡單并不簡單，它蘊含著復雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認識簡單與復雜的辯證關系的生動例子?？梢杂珊唵蔚姆绞缴善渲校?）、（2）、（4）說明了分形的復雜性；（3）、（5）項說明了分形的規(guī)律性和生成機制。以分形的觀念來考察前面提到的各種“病態(tài)”曲線時，可以看出它們不過是各種分形而已。分形的特征2023/2/5117分形的應用分形觀念的引入并非僅是一個描述手法上的改變，從根本上講分形反映了自然界中某些規(guī)律性的東西。分形打開了一個完全嶄新和令人興奮的幾何學大門。這一新的數(shù)學領域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現(xiàn)象的描述，電影攝影術、天文學、經(jīng)濟學、氣象學、地質學、醫(yī)學、生態(tài)學、地震預報、圖象編碼理論、信號處理、等等。分形的應用分形的應用領域1.數(shù)學：動力系統(tǒng)2.物理學、化學等自然科學：如雷電、相變、聚合物生長、天文、地理、地質、生態(tài)、生命等自然現(xiàn)象；3.非線性動力系統(tǒng)中的分形研究；4.人文、經(jīng)濟：如股票漲落分析等；5.國民經(jīng)濟：如地震、氣象的預報預測、石油的多次開采等領域。其他：醫(yī)學、計算機，社會，藝術等等以植物為例，植物的生長是植物細胞按一定的遺傳規(guī)律不斷發(fā)育、分裂的過程。這種按規(guī)律分裂的過程可以近似地看作是遞歸、迭代過程，這與分形的產(chǎn)生極為相似。在此意義上，人們可以認為一種植物對應一個迭代函數(shù)系統(tǒng)。人們甚至可以通過改變該系統(tǒng)中的某些參數(shù)來模擬植物的變異過程。分形的應用在醫(yī)學、生態(tài)學領域，分形被用于描述和預示不同生態(tài)系統(tǒng)的演化。有一些科學家認為分形幾何有助于他們理解被觀察的正?；罴毎慕Y構和組成癌組織的病細胞的結構。所以通過建立與健康的或患病的組織相像的分形生長模型，科學家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長的信息，以及如果這種生長結果的信息被破壞時，癌組織是如何發(fā)展的。分形的應用在數(shù)學內部，分形幾何對以往歐氏幾何無能為力的“病態(tài)”曲線的全新解釋是人類認識客體不斷開拓的必然結果。當前，人們迫切需要一種能夠更好地研究、描述各種復雜自然曲線的幾何學。而分形幾何恰好可以擔當此用。所以說，分形幾何也就是自然幾何，以分形或分形的組合的眼光來看待周圍的物質世界就是自然幾何觀。分形的應用分形作為一種新的世界觀和方法論，具有廣闊的應用前景，在分形的發(fā)展過程中，許多傳統(tǒng)的科學難題，由于分形的引入而取得顯著進展。美國著名物理學家惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。分形的應用2023/2/5124研究分形2023/2/5125如何來研究分形？如何來研究分形？研究分形遇到的首要問題是如何度量它們，比如，如何比較兩個分形的大小？如何認定兩個分形是相似的？如何衡量兩個不同的分形在度量上是等價的？分形是復雜的、不規(guī)則的系統(tǒng)，從前面提出的康托三分集等分形圖形討論中我們知道，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度無法去度量分形。

如何來研究分形？分形區(qū)別于傳統(tǒng)幾何對象的一個重要特征就是，它承認，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的。描述分形系統(tǒng)的粗糙、破碎、不規(guī)則、不光滑程度及復雜性的定量指標和手段就是分數(shù)維數(shù)，它度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力，刻劃了系統(tǒng)的無序性，表征了動力學系統(tǒng)最小的基本或獨立變量的個數(shù)。如何來研究分形？因此關于各種分形維數(shù)的計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，是研究分形的科學家們普遍關注的問題。2023/2/5129拓撲維數(shù)拓撲維數(shù)

拓撲維數(shù)是空間幾何體的一個基本量,以Dt表示，它取整數(shù)值。直觀地講，點、線、面、體分別是0、1、2、3維幾何體.點---0維；線---1維；面---2維；體---3維。這里0、1、2、3就是該幾何體的拓撲維數(shù)。拓撲維數(shù)

一般地，如果一個幾何體，可以通過對它進行適當?shù)目s放、位移、拉伸、旋轉等拓撲變換，轉換成由相互孤立的點組成的幾何體，就稱該幾何體的拓撲維數(shù)為0；而經(jīng)過上述變換可轉換成直線的幾何體的拓撲維數(shù)是1；余此類推。所以，拓撲維數(shù)就是幾何對象的經(jīng)典維數(shù)Dt=d，它是不隨幾何對象形狀的變化而變化的整數(shù)維數(shù)。2023/2/5132相似維數(shù)相似維數(shù)將長度為1的線段分為n等分,每段長為r,則

n?r=1將面積為1的正方形n等分,每一個小正方形的邊長為r,則

n?

r2=1將體積為1的正方體n等分,每一個小正方體的邊長為r,則

n?r3=1相似維數(shù)從上面的等式中可以看到,r

的冪次D實際就是該幾何體的空間維數(shù).這個D與線段的長度r和段數(shù)n沒有關系，可以統(tǒng)一表示為:

n?rD=1對上式兩邊取對數(shù)得:顯然,D具有維數(shù)的含義.定義相似維數(shù)：設分形F是自相似的，即F由m

個子集構成，每個子集放大c倍（相似比）后同F(xiàn)一樣，則定義F的相似維數(shù)為

相似維數(shù)相似維數(shù)對于一條直線段，將它n等分，共分為m=n段,每段都與原線段相似，相似比為c=n。將一個正方形每邊等分成n段，將它等分成m=n2個小正方形，每個小正方形都與原正方形相似，相似比為c=n。將一個立方體每邊等分成n段，將它等分成m=n3個小立方體，每個小正方體都與原正方體相似，相似比為c=n。一般地，設一圖形可分解為m個與之相似的子圖形，相似比為c，則圖形的維數(shù)D滿足：cD

=m.相似維數(shù)對Koch曲線而言相似維數(shù)在第n步時,其等長折線段總數(shù)為m=4n,每段的長度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則Koch曲線的相似維數(shù)為:相似維數(shù)對康托三分集而言相似維數(shù)在第n步時,其等長線段總數(shù)為m=2n,每段的長度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則康托三分集的相似維數(shù)為:2023/2/5141102103104101102103104105101loglogN()英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25Mandelbrot算出：英國海岸線的維數(shù)為D=1.25相似維數(shù)正方形與正方體的相似維數(shù)分別等于其拓撲維數(shù)，這表明相似維數(shù)是拓撲維數(shù)概念的一種推廣，是有意義的。分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統(tǒng)的無序性,表征了動力學系統(tǒng)最低的基本或獨立變量的個數(shù).相似維數(shù)但是，相似維數(shù)只適用于整體與局部相似的圖形，因而只對具有嚴格自相似性的分形才有效，使用范圍有限。所以定義對所有分形圖形都適用的維數(shù)是很有必要的。2023/2/5144豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)取長度為l的線段，放大2倍后的長度2l。邊長為l的正方形，每邊長放大2倍的面積為4l2。邊長為l的立方體，每邊長放大2倍的體積為8l3。結果整理如下：一維圖形（線段）21=2

二維圖形（正方體）22=4

三維圖形（立方體）23=8

歸結：豪斯道夫維數(shù)

這說明，在一個D維空間中，當邊長放大為L倍時，相應的規(guī)則幾何體的體積放大為K=LD倍，而D=logK/logL。一般地，當測定某集的測度的單位半徑為r，測定的結果N(r)會隨著r的減小而增大，如果存在數(shù)DH使得測定的結果N(r)滿足下式：其中C為非零常數(shù)，則該集的維數(shù)為DH，該維數(shù)稱為Hausdorff維數(shù)。Hausdorff維數(shù)具有這樣的性質：對于任何一個有確定Hausdorff維數(shù)的幾何體,若用與它相同維數(shù)的“尺r”去度量,則可得到一確定的數(shù)值;若用低于它維數(shù)的“尺”去量它,結果為無窮大;若用高于它維數(shù)的“尺”去量它,結果為零.豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)數(shù)學表達式為:N(r)～r-DH上式兩邊取自然對數(shù),整理后可得

DH

~lnN(r)/ln(1/r)或

豪斯道夫維數(shù)結論：對于正規(guī)幾何圖形，分子被分母整除，DH

為整數(shù)，是歐幾里德維數(shù)。對非規(guī)則圖形，分母一般不可整除分子，DH

一般是分數(shù)。

豪斯道夫維數(shù)定量地描述了一個集合規(guī)則與不規(guī)則的幾何尺度,其整數(shù)部分反映出圖形的空間規(guī)模(整數(shù)維數(shù)).豪斯道夫維數(shù)對于自相似集來說，其豪斯道夫維數(shù)與相似維數(shù)的計算公式與結果都是一樣的。對于非自相似集來說，其豪斯道夫維數(shù)的計算一般比較困難。2023/2/5151容量維容量維大自然中存在大量的在統(tǒng)計意義下的自相似體，一般并不知道自相似比。為了解決這類物體的分維計算，發(fā)展了計算容量維數(shù)方法.計算相似比比較復雜的圖形時，采用小方塊(或圓片、球體、方體等)去覆蓋(或填充)被測對象，統(tǒng)計覆蓋所需的方塊數(shù)來計算其維數(shù)。如此方法計算的維數(shù)稱為容量維。盒子維數(shù)：設FR是有界集合，其中R是正方形（圓形）。用邊長（半徑）為r的小正方形（小圓形）去覆蓋F，記N(r)為覆蓋F所需要的小正方形（小圓形）的最小個數(shù)。當r越來越小時，N(r)越來越大。定義F的盒子維數(shù)為

容量維康托三分集的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/32(1/3)222(1/3)323(1/3)n2n科赫雪花的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(4)/log(3)rN(r)131/33×4(1/3)23×42(1/3)33×43(1/3)n3×4n謝爾賓斯基地毯的容量維r=1D(r)=1r=1/3D(r)=8r=(1/3)2D(r)=82r=(1/3)3D(r)=83D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(8)/log(3)rN(r)111/38(1/3)282(1/3)383(1/3)n8n謝爾賓斯基墊片的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/23(1/2)232(1/2)333(1/2)n3n2023/2/5185構造分形圖形迭代生成分形給定初始圖形

F0

，依照某一規(guī)則R對圖形反復作用

Fk+1=RFk,k=1,2,3,…得到圖形序列

F1,F2,…,其極限圖形是分形，作用規(guī)則R稱為生成元。例如，Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲線的生成元是圖形迭代生成分形Minkowski“香腸”圖形迭代生成分形Sierpinski地毯圖形迭代生成分形Hilbert曲線圖形迭代生成分形生物學家Lindenmayer提出,一個L系統(tǒng)可表示為一個有序的三元素集合：

G=<V,w,P>其中：V是一些運動過程集合，w是初始形狀，P是生成式。花草樹木(L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）例如，F(xiàn)表示向前距離d,+表示左轉彎,-表示右轉彎，[表示壓棧，]表示出棧。

花草樹木(L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）花草樹木(L系統(tǒng)）2012年7月197六、結束語1.分形幾何學與歐幾里得幾何學的比較描述的對象特征長度表達方式維數(shù)歐幾里得幾何學自然界和人類社會中簡單規(guī)則的構型和現(xiàn)象有數(shù)學公式0，1，2或3分形幾何學自然界和人類社會中復雜奇異的構型和現(xiàn)象無迭代語言一般是分數(shù)（也可以是正整數(shù)）2012年7月1982.陳省身的觀點

歷史上幾何學的發(fā)展可以分為以下七個時期：（1）公理化體系的奠基（歐幾里德）；（2）坐標系的建立（笛卡兒，費馬）；（3）微積分學的創(chuàng)立（牛頓，萊布尼茲）；（4）群論觀點的引入（克萊因，李）；（5）流形理論的建立（黎曼）；（6）纖維叢理論的建立（嘉當，惠特尼）；（7）分形幾何學的興起、發(fā)展（曼德爾布羅特）。2012年7月1993.分形幾何學發(fā)展的意義和作用

數(shù)千年來，無論是在思想領域的突破上，還是在科學方法論的建立上，幾何學總是扮演著開路先鋒的角色。當今被譽為開創(chuàng)了20世紀數(shù)學重要階段的分形幾何學，已發(fā)展成為科學的方法論——分形理論，并被應用到各具特色的自然科學領域、一些工程技術和社會科學領域之中，取得了巨大成就。分形幾何學是

20世紀80年代科學思想和方法的一個突破口，是數(shù)學寶庫中的一朵絢麗的奇葩。正如歐幾里得幾何學對初等數(shù)學、解析幾何學對高等數(shù)學、拓撲學對于現(xiàn)代數(shù)學產(chǎn)生的深遠影響一樣，分形幾何學對當今的數(shù)學乃至整個科學已經(jīng)產(chǎn)生了較大的影響。2012年7月200

事實上，宇宙的本質是非線性的，這種非線性現(xiàn)象的共性主要體現(xiàn)在混沌、孤立子和分形三個方面?？梢灶A料，屬于非線性科學的分形幾何學必將隨著人們對自然界、人類社會的深入研究和不斷探索而登上21世紀科學研究的舞臺，對未來的科學發(fā)展產(chǎn)生很大的推動作用。2012年7月2014.多姿多彩的分形幾何學火焰

分形幾何學的興起、發(fā)展，是人類認識世界、駕馭自然的歷史必然。分形幾何學在當代社會中顯得如此重要，以至于美國杰出的物理學家（兩彈元勛、現(xiàn)代廣義相對論之父）、物理學思想家、物理學教育家惠勒（Wheeler，1911.07.09——2007.04.13）竟斷言：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認為是科學上的文化人。”2012年7月202

據(jù)說法國拓